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第十四章《全等三角形》单元检测卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　）
A．27 B．12 C．24 D．36
9．如图，是的角平分线，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（ ）．
A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____．
12．如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米．
13．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______．
14．如图，于点，且，点在上，连接、，若要用“”直接证明，则需添加的条件是________．
15．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________．
16．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个．
17．如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______．
18．如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．（6分）如图：已知，．求证：．
20．（6分）如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
21．（6分）如图，是的平分线，．求证：．
22．（8分）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．（8分）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D．
(1)求证：；
(2)求的长．
24．（10分）如图，已知，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在第（1）题的前提下，若，，求的长．
25．（10分）综合与探究
数学活动：三角形全等中的数学问题
【提出问题】
如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题：
【探究一】
(1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为
___________．
【探究二】
(2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论．
【探究三】
(3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长．
26．（12分）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)如图①，当时，______；
(2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值；
(3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度．
参考答案
一、单项选择题
1．C
解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形；
故选：C．
2．C
解：∵，，，
∴，
∴．
3．B
解：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∵，
∴，
∴．
4．B
解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
5．C
解：已知，，
选项A：若，根据即可证明，不符合题意；
选项B：若，根据即可证明，不符合题意；
选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意；
选项D：若，根据即可证明，不符合题意．
6．B
解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
由图可知，，
∴.
7．D
∵由作图可知，，
∴，
在和中，
∵
∴（），
∴；
在和中，
∵
∴（）
∴；
在和中，
∵
∴（）
∴，
∴，
∴选项正确．
8．A
解：，
，
，
又，
，
，
，
，
又点为中点
，
，
，
．
9．A
解：过点D作于点E，于点F．
∵是的平分线，
∴，
又∵，，
∴ ．
10．B
解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，，
∵，
∴，
∵，
∴分两种情况讨论： ①当时， ，，
∴，， 解得，
∴；
②当时，
∴，，
∴，，
解得，
∴；
综上所述，点的运动速度为或． 故选B．
二、填空题．
11．5
解：∵，
∴．
12．20
解：在和中，
，
，
，
，
．
13．4
解：过点D作于点E，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，即点到的距离为4．
14．
解：∵于点，且，点在上，
∴若要用“”直接证明，则需添加的条件是．
15．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
解：两个完全一样的三角尺，
且，
根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
平分．
16．
解：如下图所示，
一共可以作出三个三角形与全等，
符合条件的点最多有个．
17．
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．3
解：如图，过作交的延长线于，

∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题.
19．证明：在和中，
，
，
．
20．解：如图所示：点即为所求.
21．证明：如图，作于点，于点，则，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
22．(1)
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴．
23．(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即，
由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：的长为．
24．(1)的平分线如图所示：
（2）解：作于点E，如图，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴.
25．（1）解：，
，即．
在和中，
．
．
(2)证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，
则．
∵，
∴，
，
，
在和中，
．
．
，，
；
（3）解：如图2，过点D作，交的延长线于点H．
，
．
，
，
，
又∵，，
∴，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
即的长为2．
26．（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为，
，
∴当时，点在点处，此时．
（2）解：在中，，，，，
∴．
∵的面积等于面积的一半，
∴．
如图，当点在上时，，
∴，解得．
如图，当点在上时，过点作于点，
此时，
∵， ∴．
∴，解得．
综上所述，当的面积等于面积的一半，或．
（3）解：设点的运动速度为，
①当点在上，点在上时，，
，，
．
②当点在上，点在上时，，
，，
．
③当点在上，点在上时，，
，，
，
∴．
④当点在上，点在上时，，
，，
∴点的运动时间，
∴．
综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等．

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