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第二章：一元二次函数、方程和不等式章末复习
知识要点
1．不等式关系与不等式
（1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式．
（2）常见文字语言与符号语言的对应关系
文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过
符号语言
2．实数大小比较的依据
实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示：
文字语言 符号语言
如果，那么是正数；如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ；；
3．不等式的性质
性质1:(对称性) .
性质2:(传递性) .
性质3:(可加性) .
推论1:如果，那么.
推论2:如果，那么.
性质4:(可乘性) ;
.
推论3:如果，那么.
推论4:如果，那么.
推论5:如果，那么.
性质5:如果且，那么;
如果，且，那么.
4．基本不等式
（1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．
（2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．
【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．
上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式．
5．最值定理
（1）最值定理：已知都是正数，
①若 (和为定值)，则当时，积有最大值，且这个值为．
②若(积为定值)，则当时，和有最小值，且这个值为．
最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．
（2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．
6．三个“二次”的关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
的解集 R
的解集
7．解一元二次不等式的一般步骤
（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；
（2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根；
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解．
（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；
（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．
口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间
8．含参一元二次不等式的讨论依据
（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．
公式概念应用
1．．( )
2．已知，则的最大值为( )
3．不等式或的解集为空集，则函数无零点．( )
4．设,且,则（ ）
A． B． C． D．
5．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
基础巩固
1．，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．若，，且，则恒成立的实数的最大值是_______.
能力提升
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，且，则
7．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
8．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．
(1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围；
(2)怎样设计贮水池能使总造价最低 最低总造价是多少
9．已知不等式．
(1)若，使不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若，使不等式能成立，求的取值范围；
(3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．
10．求解下列各题：
(1)求的最大值.
(2)求的最小值.
(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
参考答案：
公式概念应用
1．正确
2．正确
3．正确
4．C
5．A
基础巩固
1．B
2．D
3．D
4．D
5．9
能力提升
6．BD
7．CD
8．（1）设，，且，
则依题意可得，则，且，
则，且，
又总造价，
则，即，
整理得，解得，
所以AD边长的范围是（单位：m）
（2）结合（1）有，
且总造价，
当且仅当时，等号成立，
所以当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
9．（1）当时，不等式为，可得，不符合题意；
将不等式化为：，由于，不等式恒成立，
所以解得：，
所以的取值范围是.
（2）因为，使不等式能成立，
也即，使得成立，
令，则，
则，
当时取等号，所以
（3）不存在，理由略.
10．（1）当时，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，函数的最大值为.
（2）当时，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
（3）因为，且，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为恒成立，则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
答案第1页（共2页）
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