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广西壮族自治区桂林市阶段性联考2025-2026学年高一上学期12月教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知实数满足，则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，且，则的值可以为（　　）
A．0 B．1 C． D．
10．已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　）
A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若幂函数在上单调递减，则　 　．
13．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，　 　，　 　
14．若函数满足是奇函数，则我们称是“基移奇函数”，点为“基移奇函数”的“基点”．已知函数是“基移奇函数”，则的“基点”坐标为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知全集，集合．
（1）求；
（2）求．
16．（1）计算：．
（2）已知，求的值．
17．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）当时，求的零点；
（3）若在上的最大值与最小值之差为2，求的值．
18．某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知.已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完．
（1）写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式；
（2）当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围；
（3）求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润）
19．已知函数是定义在上的偶函数．
（1）判断函数在上的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的结论；
（2）求函数零点的个数；
（3）设函数，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：C.
【分析】根据交集的定义，找出公共部分即可.
2．【答案】D
【知识点】函数的表示方法；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据分段函数由内到外求值即可.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，又，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以
故答案为：D.
【分析】由基本不等式可知，再代入解不等式即可.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
即，.
所以．
故答案为：A.
【分析】根据指数、对数函数的性质，并介入1比较大小即可.
5．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以，函数是增函数，排除AB选项
因为，所以，当时，，排除 D选项.
故答案为：C.
【分析】由，确定、的范围，再结合指数函数、一次函数的单调性确定图像即可.
6．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，此时，
当时，，此时，
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】指数函数的性质得当时，，此时，当时，，此时；由充分必要性的定义可得.
7．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，因此函数在上为增函数，
因此，函数在上存在零点的充要条件是且，
所以，即，解得
故答案为：B.
【分析】先确定函数的单调性，再根据零点存在定理，列不等式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
由，可知函数是奇函数，
而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减，
故不等式，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】先确定函数的单调性及奇偶性，然后利用单调性及奇偶性解不等式即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
当时，，符合题意；
当时，，令，得，令，得，
故的值可以为.
故答案为：ABD.
【分析】由集合的包含关系，分、进行求解即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以，解得或，
所以或.
故答案为：AC
【分析】由函数的类型设，则，代入已知求解即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令，得，因为，所以A正确．
令，得，所以，则是偶函数，B正确，C错误．
令，得，所以，
所以，即D正确．
故答案为：ABD.
【分析】对于A，令进行计算即可；对于BC，令，可得，则是偶函数；对于D，令，再递推求解即可.
12．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，解得，
此时在上单调递减，满足，
所以.
故答案为：
【分析】由幂函数定义得数为1，单调递减得指数为负，可得方程组，得解。
13．【答案】10；8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设矩形铁片的面积为，
因为，所以，解得，
所以，则，
当且仅当时等号成立，即取得最大值时.
故答案为：，.
【分析】由，可得，则矩形铁片的面积，然后利用基本不等式计算最值即可.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：已知函数是“基移奇函数”，
，
移项得.
令，则
因为函数是奇函数，所以是奇函数，
与定义对比可得.
则的“基点”坐标为．
故答案为：
【分析】由“基移奇函数”定义得，利用换元法，令，则得奇函数对比可得a，b.
15．【答案】（1）解：因为，所以.
（2）解：法一：因为，所以或，
同理可得，所以.
法二：因为，所以，
因为，所以.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）先求出集合A，然后根据交集的定义计算即可；
（2）法一：先计算，再求交集即可；法二：先由集合的运算性质，再求、即可.
（1）因为，所以.
（2）法一：因为，所以或，
同理可得，所以.
法二：因为，所以，
因为，所以.
16．【答案】解：（1）
.
（2）因为，所以，所以，
所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据有理数指数幂的运算性质化简求值可得解；
（2）由指对互化得关系得，即，代入得解
17．【答案】（1）解：由题意可得，
解得，则的定义域为，
（2）解：令，得，
所以，所以，即，
解得或，即的零点是和.
（3）解：由题意可得
设，因为，所以.
①当时，是上的减函数，
因为在上的最大值与最小值之差为，
所以，，即，解得
②当时，是上的增函数，
因为在上的最大值与最小值之差为2，所以，
，即，解得，
综上，或.
【知识点】函数的最大（小）值；对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域得解不等式组得解；
（2）令，得，得，解方程得的零点；
（3）对a分类讨论，求出最值并建立方程求解即可.
（1）由题意可得，
解得，则的定义域为，
（2）令，得，
所以，所以，即，
解得或，即的零点是和.
（3）由题意可得
设，因为，所以.
①当时，是上的减函数，
因为在上的最大值与最小值之差为，
所以，，即，解得
②当时，是上的增函数，
因为在上的最大值与最小值之差为2，所以，
，即，解得，
综上，或.
18．【答案】（1）解：当时，；
当时，
故.
（2）解：由题意可得或，
解得或，即所求的取值范围为.
（3）解：当时，函数，
则在上单调递增，
故时，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
即时，.
因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意分不同x范围得不同解析式，当时，；
当时，；
（2）由题意分不同x范围列两个不等式组，解不等式组即可；
（3）由题意分不同x范围，分别求单调性，及最值，在时，结合基本不等式得时，.
（1）当时，；
当时，
故.
（2）由题意可得或，
解得或，即所求的取值范围为.
（3）当时，函数，
则在上单调递增，
故时，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
即时，.
因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元.
19．【答案】（1）解：因为是上的偶函数，所以，即，
所以对恒成立，则，
在上单调递增，证明如下：
对任意的，，
因为，所以，所以，
即，故在上单调递增；
（2）解： 由，得，而，
是偶函数，得在上单调递减，
因为在上单调递增，且，
的大致图象如下，
由图可知，与的图象有2个交点，则零点的个数为2；
（3）解：由（2）知在上单调递减，则在上的最大值为，
因为对任意的，存在，使得成立，
所以在上的最大值，而的图象开口向上且关于对称．
当，即时，，则，解得，
当，即时，，则，解得，
综上，的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；对数函数图象与性质的综合应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质得，可得m得值，再用定义法证明在上单调递增即可；
（2）将零点问题化为与图象的交点个数问题，是偶函数，得在上单调递减，因为在上单调递增，且，可大体画出图象，得有2个交点；
（3）由题意得最大值，而的图象开口向上且关于对称．得或，可得解.
（1）因为是上的偶函数，所以，即，
所以对恒成立，则，
在上单调递增，证明如下：
对任意的，，
因为，所以，所以，
即，故在上单调递增；
（2）由，得，而，
由（2）且是偶函数，得在上单调递减，
因为在上单调递增，且，
的大致图象如下，
由图可知，与的图象有2个交点，则零点的个数为2；
（3）由（2）知在上单调递减，则在上的最大值为，
因为对任意的，存在，使得成立，
所以在上的最大值，而的图象开口向上且关于对称．
当，即时，，则，解得，
当，即时，，则，解得，
综上，的取值范围是.
1 / 1广西壮族自治区桂林市阶段性联考2025-2026学年高一上学期12月教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：C.
【分析】根据交集的定义，找出公共部分即可.
2．已知函数，则（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】函数的表示方法；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据分段函数由内到外求值即可.
3．已知实数满足，则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，又，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以
故答案为：D.
【分析】由基本不等式可知，再代入解不等式即可.
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
即，.
所以．
故答案为：A.
【分析】根据指数、对数函数的性质，并介入1比较大小即可.
5．当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以，函数是增函数，排除AB选项
因为，所以，当时，，排除 D选项.
故答案为：C.
【分析】由，确定、的范围，再结合指数函数、一次函数的单调性确定图像即可.
6．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，此时，
当时，，此时，
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】指数函数的性质得当时，，此时，当时，，此时；由充分必要性的定义可得.
7．若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，因此函数在上为增函数，
因此，函数在上存在零点的充要条件是且，
所以，即，解得
故答案为：B.
【分析】先确定函数的单调性，再根据零点存在定理，列不等式求解即可.
8．已知函数，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
由，可知函数是奇函数，
而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减，
故不等式，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】先确定函数的单调性及奇偶性，然后利用单调性及奇偶性解不等式即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，且，则的值可以为（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
当时，，符合题意；
当时，，令，得，令，得，
故的值可以为.
故答案为：ABD.
【分析】由集合的包含关系，分、进行求解即可.
10．已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以，解得或，
所以或.
故答案为：AC
【分析】由函数的类型设，则，代入已知求解即可.
11．已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　）
A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令，得，因为，所以A正确．
令，得，所以，则是偶函数，B正确，C错误．
令，得，所以，
所以，即D正确．
故答案为：ABD.
【分析】对于A，令进行计算即可；对于BC，令，可得，则是偶函数；对于D，令，再递推求解即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若幂函数在上单调递减，则　 　．
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，解得，
此时在上单调递减，满足，
所以.
故答案为：
【分析】由幂函数定义得数为1，单调递减得指数为负，可得方程组，得解。
13．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，　 　，　 　
【答案】10；8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设矩形铁片的面积为，
因为，所以，解得，
所以，则，
当且仅当时等号成立，即取得最大值时.
故答案为：，.
【分析】由，可得，则矩形铁片的面积，然后利用基本不等式计算最值即可.
14．若函数满足是奇函数，则我们称是“基移奇函数”，点为“基移奇函数”的“基点”．已知函数是“基移奇函数”，则的“基点”坐标为　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：已知函数是“基移奇函数”，
，
移项得.
令，则
因为函数是奇函数，所以是奇函数，
与定义对比可得.
则的“基点”坐标为．
故答案为：
【分析】由“基移奇函数”定义得，利用换元法，令，则得奇函数对比可得a，b.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知全集，集合．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）解：因为，所以.
（2）解：法一：因为，所以或，
同理可得，所以.
法二：因为，所以，
因为，所以.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）先求出集合A，然后根据交集的定义计算即可；
（2）法一：先计算，再求交集即可；法二：先由集合的运算性质，再求、即可.
（1）因为，所以.
（2）法一：因为，所以或，
同理可得，所以.
法二：因为，所以，
因为，所以.
16．（1）计算：．
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）
.
（2）因为，所以，所以，
所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据有理数指数幂的运算性质化简求值可得解；
（2）由指对互化得关系得，即，代入得解
17．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）当时，求的零点；
（3）若在上的最大值与最小值之差为2，求的值．
【答案】（1）解：由题意可得，
解得，则的定义域为，
（2）解：令，得，
所以，所以，即，
解得或，即的零点是和.
（3）解：由题意可得
设，因为，所以.
①当时，是上的减函数，
因为在上的最大值与最小值之差为，
所以，，即，解得
②当时，是上的增函数，
因为在上的最大值与最小值之差为2，所以，
，即，解得，
综上，或.
【知识点】函数的最大（小）值；对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域得解不等式组得解；
（2）令，得，得，解方程得的零点；
（3）对a分类讨论，求出最值并建立方程求解即可.
（1）由题意可得，
解得，则的定义域为，
（2）令，得，
所以，所以，即，
解得或，即的零点是和.
（3）由题意可得
设，因为，所以.
①当时，是上的减函数，
因为在上的最大值与最小值之差为，
所以，，即，解得
②当时，是上的增函数，
因为在上的最大值与最小值之差为2，所以，
，即，解得，
综上，或.
18．某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知.已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完．
（1）写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式；
（2）当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围；
（3）求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润）
【答案】（1）解：当时，；
当时，
故.
（2）解：由题意可得或，
解得或，即所求的取值范围为.
（3）解：当时，函数，
则在上单调递增，
故时，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
即时，.
因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意分不同x范围得不同解析式，当时，；
当时，；
（2）由题意分不同x范围列两个不等式组，解不等式组即可；
（3）由题意分不同x范围，分别求单调性，及最值，在时，结合基本不等式得时，.
（1）当时，；
当时，
故.
（2）由题意可得或，
解得或，即所求的取值范围为.
（3）当时，函数，
则在上单调递增，
故时，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
即时，.
因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元.
19．已知函数是定义在上的偶函数．
（1）判断函数在上的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的结论；
（2）求函数零点的个数；
（3）设函数，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为是上的偶函数，所以，即，
所以对恒成立，则，
在上单调递增，证明如下：
对任意的，，
因为，所以，所以，
即，故在上单调递增；
（2）解： 由，得，而，
是偶函数，得在上单调递减，
因为在上单调递增，且，
的大致图象如下，
由图可知，与的图象有2个交点，则零点的个数为2；
（3）解：由（2）知在上单调递减，则在上的最大值为，
因为对任意的，存在，使得成立，
所以在上的最大值，而的图象开口向上且关于对称．
当，即时，，则，解得，
当，即时，，则，解得，
综上，的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；对数函数图象与性质的综合应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质得，可得m得值，再用定义法证明在上单调递增即可；
（2）将零点问题化为与图象的交点个数问题，是偶函数，得在上单调递减，因为在上单调递增，且，可大体画出图象，得有2个交点；
（3）由题意得最大值，而的图象开口向上且关于对称．得或，可得解.
（1）因为是上的偶函数，所以，即，
所以对恒成立，则，
在上单调递增，证明如下：
对任意的，，
因为，所以，所以，
即，故在上单调递增；
（2）由，得，而，
由（2）且是偶函数，得在上单调递减，
因为在上单调递增，且，
的大致图象如下，
由图可知，与的图象有2个交点，则零点的个数为2；
（3）由（2）知在上单调递减，则在上的最大值为，
因为对任意的，存在，使得成立，
所以在上的最大值，而的图象开口向上且关于对称．
当，即时，，则，解得，
当，即时，，则，解得，
综上，的取值范围是.
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