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2026-2027学年第一学期九年级开学学习能力检测题
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（ ）
A． B． C．3，4 D．
3．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．方程的解是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
6．将一元二次方程化成的形式，则（ ）
A．1 B． C．2025 D．
7．已知二次函数的图象，当时，y随x的增大而（ ）
A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
8．已知二次函数的图象与轴交于点，点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小体，每小题3分，共15分）
11．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为_________．
12．关于x的方程的一个根是2，则方程的另一个根是_______，______．
13．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是______．
14．已知二次函数的图象经过点，则的值是_______．
15．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到抛物线________．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分
16．计算：
(1)
(2)
17．在同一平面直角坐标系中，画出和的图象．
18．用配方法解下列方程：
(1)
(2)
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个根为m，求m的值．
20．某食品店将进价为16元/千克的奶糖按20元/千克的价格出售，每天可销售．老板发现，这种奶糖的售价每涨1元/千克，日销售量就减少．如果食品店想使每天的平均销售利润达到504元，并尽快售完这种奶糖，那么这种奶糖的售价应定为多少？
21．已知二次函数的图像经过点，，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点、，与轴正半轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的面积．
23．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标．
2026-2027学年第一学期九年级开学学习能力检测题
数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D B A B A B D
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．3
12．
13．
14．
15．（或）
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分
16．
（1）（3分）解：原式．
（2）（4分）解：原式．
17．
和的图象如下图所示即为所求：
解：当时，；当时，，则为过和的直线；
当时，；当时，，，则为过和的直线，图象绘制如答图．
18．（1）（3分）解：，
移项得，
二次项系数化为1得，
配方得，
整理得，
开方得，
解得 ，；
（2）（4分）解：，
两边同乘得，
移项得，
二次项系数化为1得，
配方得，
整理得，
开方得，
解得 ，.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．(1)（5分）证明：∵
，
∴方程总有两个实数根；
（2）（4分）解：把代入方程得：
解得：．
20．解：设这种奶糖的销售单价应定为x元/千克，
则：，
解得：，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
答：这种奶糖的销售单价应定为22元/千克．
21．（1）（4分）解：设二次函数的表达式为，
将，，代入得：，
解得：，
所以，二次函数的表达式为：；
（2）（5分），
，，
所以，抛物线开口向下，有最高点；
根据，
可知对称轴为，顶点坐标为．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．（1）（6分）解：由题意，将点代入中，得，
解得，
∴抛物线的解析式是；
（2）（7分）解：当时，，则,
∴，
令，由得，，
∴，，
∴，
∴．
23．（1）（4分）解：抛物线与轴交于、，
设其解析式为，
抛物线与轴交于点，令得，
又此时，
，
解得：，
，
点的坐标为，
设直线解析式为，
把、，代入，得
解得，
直线的解析式为．
（2）（4分）解：，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
（3）（6分）解：、、，
，，，
在中，，
延长交x轴于点，
，
∴，
设点的坐标为，
，
解得，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
直线过点，
，
又直线过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
点在抛物线上，
，
解得：（为点，舍去）或，
点的横坐标为．
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