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14.3　第1课时　角的平分线（1）
随堂小练
新知梳理
1. 角的平分线的性质：角的平分线上的______到角两边的______相等.
用符号语言表示：如图，∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，∴ ______.
2. 证明一个几何命题的步骤如下：
（1） 明确命题中的______和______；
（2） 根据题意，画出图形，并用______表示已知和求证；
（3） 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
反馈训练
1. 如图，D是∠AOB的平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）
A. DE＝DF
B. OE＝OF
C. ∠ODE＝∠ODF
D. OD＝DE＋DF
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 如图，∠B＝∠D＝90°，根据角的平分线的性质填写相等的线段：
（1） 若∠1＝∠2，则 ______＝______；
（2） 若∠3＝∠4，则 ______＝______.
4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，AC，BD交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别为E，F. 求证：OE＝OF.
同步练习
基础过关
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. SAS
2. 新情境 生活实际 如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河岸AB与两条铁路分别交于点A处和点B处，试在河岸AB上（点A，B之间）建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？
3. 点P在∠ABC的平分线上，点P到AB边的距离等于5，D是BC边上的任意一点，连接PD，则下列判断正确的是（　　）
A. PD＞5
B. PD≥5
C. PD＜5
D. PD≤5
4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E.
（1） 若BC＝8，BD＝5，则DE＝______；
（2） 若BC＝20，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是______.
5. 如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E. 若△ABD的面积为5，则DE的长为______.
6. 教材P52习题T1变式 如图，在△ABC中，BE＝CF，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：D是BC的中点.
7. 证明命题“角的平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
（1） 补全已知和求证.
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，______，______，求证：______.
（2） 写出证明过程.
能力进阶
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E. 若△ABC与△CDE的周长分别为17和7，则AB的长为（　　）
A. 10
B. 16
C. 8
D. 5
9. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：① 以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；② 分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③ 作射线BF交AC于点G. 如果＝，那么＝______.
10. 教材P53习题T8变式 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是______.
11. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F，G. 求证：DF＝DG.
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且DF＝BD.
（1） 求证：BE＝FC；
（2） 若AE＝12，AF＝8，求BE的长.
思维拓展
13. 在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合），连接AD.
（1） 如图①，当D是边BC的中点时，∶＝______.
（2） 如图②，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求∶的值（用含m，n的式子表示）.
（3） 如图③，AD平分∠BAC，延长AD到点E，使得AD＝DE，连接BE. 若AC＝3，AB＝5，＝10，求的值.
参考答案
随堂小练
新知梳理
1. 点；距离；PC＝PD
2. 已知；求证；数学符号
反馈训练
1. D
2. B
3. （1） BC＝DC；（2） AB＝AD
4. 解：在△ABD和△CBD中，∵ AB＝CB，BD＝BD，AD＝CD，∴ △ABD≌△CBD. ∴ ∠ABD＝∠CBD，即BO平分∠ABC. 又∵ OE⊥AB，OF⊥CB，∴ OE＝OF
同步练习
基础过关
1. A
2. 解：如图，作∠AOB的平分线交AB于点M，点M处即为该水厂所建位置
3. B
4. （1） 3；（2） 8
5. 2
6. 解：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°. 在△BED和△CFD中，∵ BE＝CF，∠BED＝∠CFD，DE＝DF，∴ △BED≌△CFD. ∴ BD＝CD，即D是BC的中点
7. （1） PD⊥OA于点D；PE⊥OB于点E；PD＝PE（2） 解：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO和△PEO中，∵ ∠DOP＝∠EOP，∠PDO＝∠PEO，OP＝OP，∴ △PDO≌△PEO. ∴ PD＝PE
能力进阶
8. D
9.
10. 4
11. 解：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE. 在△ABE和△CBE中，∵ AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∴ △ABE≌△CBE. ∴ ∠AEB＝∠CEB. ∴ ∠AED＝∠CED，即ED平分∠AEC. 又∵ DF⊥AE，DG⊥CE，∴ DF＝DG
12. （1） 解：∵ ∠C＝90°，∴ DC⊥AC. ∵ AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴ DC＝DE，∠DEB＝∠DEA＝90°. 在Rt△DEB和Rt△DCF中，∵ DB＝DF，DE＝DC，∴ Rt△DEB≌Rt△DCF. ∴ BE＝FC（2） 解：由（1），知∠C＝∠DEA＝90°.∵ AD平分∠BAC，∴ ∠CAD＝∠EAD. 在△ADC和△ADE中，∵ ∠CAD＝∠EAD，∠C＝∠DEA，AD＝AD，∴ △ADC≌△ADE. ∴ AC＝AE. ∵ AC＝AF＋CF，由（1）知，BE＝FC，∴ AE＝AF＋BE. ∴ BE＝AE－AF＝12－8＝4
思维拓展
13. （1） 1∶1（2） 解：如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. ∵ AD平分∠BAC，∴ DE＝DF. ∵ AB＝m，AC＝n，∴ ∶＝AB·DE∶AC·DF＝m∶n＝（3） 解：∵ AD＝DE，∴ 由（1），知∶＝1∶1. ∵ ＝10，∴ ＝10. ∵ AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB，∴ 由（2），知∶＝AB∶AC＝5∶3. ∴ ＝6. ∴ ＝＋＝10＋6＝16

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