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14.3　第2课时　角的平分线（2）
随堂小练
新知梳理
1. 角的内部到角两边______的点在角的平分线上.
用符号语言表示：如图，∵ PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，∴ ______.
2. 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离______.
反馈训练
1. 与相交的两条直线距离相等的点在（　　）
A. 一条直线上
B. 两条互相垂直的直线上
C. 一条射线上
D. 两条互相垂直的射线上
2. 如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是（　　）
A. 一定相等
B. 一定不相等
C. 当BD＝CD时相等
D. 当DE＝DF时相等
3. 如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3，当PD＝______时，点P在∠AOB的平分线上，即______平分∠AOB.
4. 如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D. 若QC＝QD，则∠AOQ的度数为______.
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，OE⊥BC，OF⊥AC，且OE＝OF. 求证：点O在∠BAC的平分线上.
同步练习
基础过关
1. 将两个全等的直角三角形摆放在如图所示的△ABC中，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应直角边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A. ∠A的平分线上
B. 边AC的高上
C. 边BC的高上
D. ∠B的平分线上
2. 在如图所示的网格中，∠QBC的位置如图所示，点A，P，M，N都在格点上，其中到∠QBC两边距离相等的点是（　　）
A. P
B. A
C. N
D. M
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E. 若∠B＝28°，则∠AEC的度数为______.
4. 教材P51练习T1变式 如图，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BF与CE相交于点D，BD＝CD. 求证：点D在∠BAC的平分线上.
5. 如图，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点.求证：∠BDP＝∠CDP.
6. （易错题）如图所示为三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　）
A. 1处
B. 2处
C. 3处
D. 4处
7. 教材P51例题变式 如图，O是△ABC内一点，且点O到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，即OF＝OD＝OE. 若∠BAC＝76°，则∠BOC＝______.
能力进阶
8. 如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P. 若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝15cm，AC＝17cm，P是到△ABC的三边距离相等的点，则点P到△ABC的三边的距离为______cm.
10. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为12，10，6，其三条角平分线的交点为O，则∶∶＝______.
11. 教材P51练习T2变式 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点P.
（1） 延长BA至点E，求证：AP平分∠CAE；
（2） 若∠BPC＝40°，求∠CAP的度数.
12. 如图，∠A＝∠B＝90°，E为AB的中点，DE平分∠ADC. 求证：
（1） CE平分∠BCD；
（2） AD＋BC＝CD.
思维拓展
13. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E. 过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连接DE.
（1） 求∠CAD的度数；
（2） 求证：DE平分∠ADC；
（3） 若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且＝15，求△ABE的面积.
参考答案
随堂小练
新知梳理
1. 距离相等；OP平分∠AOB
2. 相等
反馈训练
1. B
2. D
3. 3；OP
4. 35°
5. 解：如图，过点O作OM⊥AB于点M. ∵ BD是△ABC的一条角平分线，OE⊥BC，OM⊥AB，∴ OE＝OM. ∵ OE＝OF，∴ OM＝OF. 又∵ OM⊥AB，OF⊥AC，∴ 点O在∠BAC的平分线上
同步练习
基础过关
1. A
2. D
3. 59°
4. 解：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ ∠BED＝∠CFD＝90°. 在△BDE和△CDF中，∵ ∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴ △BDE≌△CDF. ∴ DE＝DF. 又∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ 点D在∠BAC的平分线上
5. 解：∵ PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，∴ AP平分∠BAC，即∠BAP＝∠CAP. ∵ ∠BAP＋∠BPA＝90°，∠CAP＋∠CPA＝90°，∴ ∠BPA＝∠CPA. 在△PBD和△PCD中，∵ PB＝PC，∠BPD＝∠CPD，PD＝PD，∴ △PBD≌△PCD. ∴ ∠BDP＝∠CDP
6. D
7. 128°
能力进阶
8. C
9. 3
10. 6∶5∶3
11. （1） 解：如图，过点P作PF⊥BE于点F，PN⊥BD于点N，PM⊥AC于点M. ∵ CP平分∠ACD，∴ PM＝PN. ∵ BP平分∠ABC，∴ PF＝PN. ∴ PF＝PM. 又∵ PF⊥AE，PM⊥AC，∴ AP平分∠CAE（2） 解：设∠ACP＝∠PCD＝x. 由（1），知AP平分∠CAE，∴ ∠FAP＝∠PAC. ∵ ∠BPC＝40°，BP平分∠ABC，∴ ∠ABP＝∠PBC＝∠PCD－∠BPC＝x－40°. ∴ ∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x－（x－40°）－（x－40°）＝80°. ∴ ∠CAF＝180°－∠BAC＝100°. ∴ ∠CAP＝∠CAF＝50°
12. （1） 解：如图，过点E作EM⊥CD于点M. ∵ DE平分∠ADC，EA⊥AD，EM⊥CD，∴ AE＝ME. ∵ E为AB的中点，∴ AE＝EB. ∴ EM＝EB. ∵ EB⊥BC，EM⊥CD，∴ CE平分∠BCD（2） 解：∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠MDE. ∵ EM⊥CD，∴ ∠A＝∠DME＝90°. 在△DEA和△DEM中，∵ ∠ADE＝∠MDE，∠A＝∠DME，DE＝DE，∴ △DEA≌△DEM. ∴ DA＝DM. 同理可证△BEC≌△MEC. ∴ CB＝CM. ∴ AD＋BC＝DM＋CM＝CD
思维拓展
13. （1） 解：∵ EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴ ∠FAE＝90°－50°＝40°. ∵ ∠BAD＝100°，∴ ∠CAD＝180°－100°－40°＝40°（2） 解：过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H. ∵ ∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴ EF＝EG. ∵ BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴ EF＝EH. ∴ EH＝EG. ∵ EG⊥AD，EH⊥BC，∴ DE平分∠ADC（3） 解：∵ ＝15，EH＝EG，∴ AD·EG＋CD·EH＝15，即×4×EG＋×8×EG＝15. ∴ EG＝. ∴ EF＝EG＝. ∴ ＝AB·EF＝×7×＝

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