资源简介

第十四章 全等三角形 总结提升
知识体系构建
脉络梳理，构建知识体系
考点分类突破
归纳整合，突破高频考点
考点1　全等三角形的性质
1. 如图，△AEB≌△DFC，AE⊥BE，DF⊥CF. 若∠A＝70°，则∠C的度数为（　　）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
2. [2024成都]如图，△ABC≌△CDE. 若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为______.
3. 如图，△ABC≌△EDB，点E在AB上，∠C＝∠EBD＝90°.若AC＝4，DE＝5，则AE的长为______.
考点2　全等三角形的判定
4. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 两边及一角对应相等的两个三角形全等
B. 两角及一边对应相等的两个三角形全等
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 对应角相等的两个三角形全等
5. 如图，∠ACB＝∠BDA＝90°，添加以下条件仍不能判定△ACB≌△BDA的是（　　）
A. AC＝BD
B. BC＝AD
C. ∠CAD＝∠DBC
D. ∠CBA＝∠DAB
6. 新考向 条件开放题 [2024德州]如图，C是AB的中点，且CD＝BE，要使△ACD≌△CBE，还需添加一个条件是______.
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为（－1，0），（1，3），AC＝BC，且AC⊥BC，则点B的坐标为______.
8. 如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O，∠1＝∠2，AE＝BE. 求证：AC＝BD.
9. 如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，BE交AC于点D，交FC于点O.
（1） 求证：BE＝CF；
（2） 当∠BAC＝70°时，求∠BOC的度数.
10. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD＝BC，AE＝DF，AE∥DF，连接BE，BF，CE，CF.
（1） 求证：△AEC≌△DFB；
（2） 若S△AEC＝6，求四边形BECF的面积.
考点3　尺规作图
11. 如图，OG平分∠MON，A，B是射线OM，ON上的点，连接AB，按以下步骤作图：① 以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；② 分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；③ 作射线BE，交OG于点P. 若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为______.
考点4　角平分线的性质
12. 如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H. 若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　）
A. 4.5
B. 5
C. 7
D.
13. 新情境 生活实际 某地高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园.如图，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB，AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H的位置在（　　）
A. ∠BAC的平分线与边AC上的中线的交点处
B. ∠BAC的平分线与边AB上的中线的交点处
C. ∠ABC的平分线与边AC上的中线的交点处
D. ∠ABC的平分线与边BC上的中线的交点处
14. 如图，AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E，F，G，且PE＝PG＝PF，则∠BPD＝______.
15. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C. 若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.
16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF.
（1） 求证：AF＝AD；
（2） 若BF＝7，DE＝3，求CE的长.
综合素能提升
综合运用，提升核心素养
17. 如图所示为数学实验课上小哲做的角平分仪，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在∠PRQ的两边上，则射线AE是∠PRQ的平分线.此角平分仪运用了证明三角形全等的方法，其依据是（　　）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
18. 如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC＝CD，AB＝DE. 若AC＝，BD＝9，则AE的长为（　　）
A. 2
B.
C. 3
D.
19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连接DF，DF＝DB. 若AB＝8，AF＝5，则BE的长为（　　）
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 1.5
20. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为52和36，则△EDF的面积为______.
21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，CE⊥AC，垂足为C，且AC＝CE，连接BE. 若BC＝16，则△BCE的面积为______.
22. 如图所示为∠PAB.
（1） 利用尺规在∠PAB外作∠APQ，使得∠APQ＝∠PAB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 在（1）的条件下，判断PQ与AB的位置关系，并给出依据.
23. 如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE.
（1） 求证：OC平分∠MON；
（2） 若AO＝12，BO＝4，求OD的长.
24. 在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.
（1） 如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝______.
（2） 设∠BAC＝α，∠BCE＝β.
① 如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.
② 当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出结论.
参考答案
考点分类突破
考点1　全等三角形的性质
1. A
2. 100°
3. 1
考点2　全等三角形的判定
4. B
5. C
6. 答案不唯一，如AD＝CE
7. （4，1）
8. 解：∵ ∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOE，∴ 易得∠2＝∠AEB. ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠AEB. ∴ ∠1＋∠AED＝∠AEB＋∠AED，即∠AEC＝∠BED. 在△AEC和△BED中，∵ ∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴ △AEC≌△BED. ∴ AC＝BD
9. （1） 解：∵ ∠BAC＝∠EAF，∴ ∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE. ∴ ∠BAE＝∠CAF. 在△BAE和△CAF中，∵ AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF，∴ △BAE≌△CAF. ∴ BE＝CF（2） 解：∵ △BAE≌△CAF，∴ ∠EBA＝∠FCA，即∠DBA＝∠OCD. ∵ ∠BDA＝∠ODC，∴ 易得∠BAD＝∠COD. ∵ ∠BAC＝70°，即∠BAD＝70°，∴ ∠COD＝70°，即∠BOC＝70°
10. （1） 解：∵ AE∥DF，∴ ∠A＝∠D. ∵ AB＝CD，∴ AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB. 在△AEC和△DFB中，∵ AE＝DF，∠A＝∠D，AC＝DB，∴ △AEC≌△DFB（2） 解：如图，过点E作EH⊥AC于点H. ∴ S△AEC＝EH·AC，S△BEC＝EH·BC. ∵ AB＝BC，∴ BC＝AC. ∵ S△AEC＝6，∴ S△BEC＝S△AEC＝4.5. ∵ △AEC≌△DFB，∴ ∠ACE＝∠DBF，EC＝FB. 在△BEC和△CFB中，∵ EC＝FB，∠BCE＝∠CBF，BC＝CB，∴ △BEC≌△CFB. ∴ S△BEC＝S△CFB. ∴ S四边形BECF＝2S△BEC＝9
考点3　尺规作图
11. 45°
考点4　角平分线的性质
12. D
13. A
14. 90°
15. 5
16. （1） 解：∵ ∠D＝90°，∴ AD⊥DE. ∵ EA平分∠DEF，AD⊥DE，AF⊥EF，∴ AF＝AD（2） 解：在Rt△ABF和Rt△ACD中，∵ AB＝AC，AF＝AD，∴ Rt△ABF≌Rt△ACD. ∴ BF＝CD＝7. ∵ DE＝3，∴ CE＝CD－DE＝7－3＝4
综合素能提升
综合运用，提升核心素养
17. A
18. A
19. D
20. 8
21. 64
22. （1） 解：如图，∠APQ即为所求作（2） 解：PQ∥AB　依据：内错角相等，两直线平行
23. （1） 解：∵ CD⊥OM，CE⊥ON，∴ ∠CDA＝90°，∠CEB＝90°. 在Rt△CDA和Rt△CEB中，∵ CA＝CB，AD＝BE，∴ Rt△CDA≌Rt△CEB. ∴ CD＝CE. ∵ CD⊥OM，CE⊥ON，∴ OC平分∠MON（2） 解：设OD＝x. ∵ OA＝12，∴ AD＝OA－OD＝12－x. ∴ BE＝12－x. 在Rt△OCD和Rt△OCE中，∵ OC＝OC，CD＝CE，∴ Rt△OCD≌Rt△OCE. ∴ OD＝OE＝x. ∴ BO＝OE－BE＝x－（12－x）＝2x－12. ∵ BO＝4，∴ 2x－12＝4，解得x＝8. ∴ OD＝8
24. （1） 90°（2） ① 解：α＋β＝180°　理由：∵ ∠BAC＝∠DAE，∴ ∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中，∵ AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴ △ABD≌△ACE. ∴ ∠B＝∠ACE. ∴ ∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB＝β. ∵ ∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，∴ α＋β＝180°. ② 当点D在线段BC及其延长线上时，α＋β＝180°；当点D在线段BC的反向延长线上时，α＝β

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