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第25章一元二次方程章末检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）
一、选择题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知x＝2是关于x的方程 的一个根，则m的值为（　　）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
3．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人数逐月增加，第一个月进馆阅读人数为150人，第三个月进馆阅读人数为384人.若进馆阅读人数的月增长率相同，设月增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A． B．150(1+2x)=384
C． D．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　）。
A． B．
C． D．
8．已知方程 的一根为 则方程的另一根为(　　)
A． B． C． D．3
二、填空题
9．关于x的一元二次方程.有两个相等的实数根，则m的值是　 　。
10．设x1，x2分别是一元二次方程： 的两个根，则　 　.
11．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为　 　.
12．若，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
13．已知关于x的方程 的两实数根为x1，x2，若 ，则k=　 　.
14．已知关于的一元二次方程，称其为“同族二次方程”.如是“同族二次方程”.若关于的一元二次方程是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是　 　.
15．2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中是实数），则可求得　 　．
16．为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中的值为　 　.
三、解答题
17．解方程：
（1）x（x+2）=（x+2）；
（2）
18．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根．
（2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值．
19．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
20．已知关于x的一元二次方程
（1）判断方程根的情况；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积.
21．若一个整式能表示成a2-b2（a，b都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若a，b为整数，称“平方差数”则.如3=22-12；2a+1=（a+1）2-a2等.
（1）写出一个大于30且小于40的“平方差数”.
（2）已知（k是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个k值，并说明理由.
22．【阅读理解】配方法是数学中重要的一种解题方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题，求代数式最大值、最小值的问题，等等.
例如：求代数式的最小值.
解：，
因为（x+3）2≥0，所以（x+3）2+4≥4，
所以当x=-3时，取得最小值，最小值是4.
（1）【类比运用】当1≤x≤5时，求代数式的最小值.
（2）【拓展应用】已知实数x，y满足，求代数式的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】-4
10．【答案】- 2
11．【答案】
12．【答案】4
13．【答案】
14．【答案】2027
15．【答案】16
16．【答案】30
17．【答案】（1）解：x（x+2）=（x+2），
移项得：x（x+2）-（x+2）=0.∴（x+2）（x-1）=0
∴x+2=0或x-1=0，
解得
（2）α=1，b=-3，c=1，
则
解得
18．【答案】（1）证明：，
该方程总有两个实数根
（2）解：∵，
，
解得：，，
方程的一个根是另一个根的3倍，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
综上所述，的值为或
19．【答案】（1）解： 若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
（元）；
（2）解： 设每个房间的定价为a元，
根据题意，得：，
解得：或．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
20．【答案】（1）解：∵在方程中，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：
不妨设AB=k+1，AC=k+2，
①当BC=5为斜边时，有，即
解得：（舍去）.此时AB=3，AC=4
则直角三角形的面积为：
②当AC=k+2为斜边时，有即
解得：k=11.此时AB=12，AC=13
则直角三角形的面积为：
综上，
k=2时，△ABC面积为6；
k=11时，△ABC面积为30
21．【答案】（1）如等，答案不唯一
（2）∴k=5
22．【答案】（1）解：x2-8x+20=(x-4)2+4，
∵(x-4)2≥0，
∴(x-4)2+4≥4，
∵1≤x≤5
∴当x=4时，x2-8x+20取得最小值，最小值为4
（2）解：由条件可知y2=x-3，
∴x2+3y2-8x+14
=x2+3(x-3)-8x+14
=x2-5x+5
∵y2=x-3≥0，
∴x≥3
∵1>0，
∴当时，的值随x的增大而增大，
∴当x=3时，有最小值，最小值为
∴代数式x2+3y2-8x+14的最小值为-1
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