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八年级数学（湘教版）上册常考题·压轴题分类精编
第1章 因式分解、第2章 分式
一、因式分解的概念与意义
下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A.
B.
C.
D.
若多项式 分解因式后有一个因式是 ，则 的值是______.
二、提公因式法
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）.
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）.
三、平方差公式法
如图是平方差公式的几何解释：把边长为 的正方形挖去一个边长为 的小正方形，剩下的部分剪拼成一个长方形，由面积相等可得 .
请用平方差公式把下列各式分解因式：
（1）；
（2）.
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）.
四、完全平方公式法
如图是两数和完全平方公式的几何解释：边长为 的正方形被分成四块，面积分别为 、、、.
请用完全平方公式把下列各式分解因式：
（1）；
（2）.
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）.
五、因式分解的综合运用
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）.
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）.
六、因式分解的应用与探究
（1）用简便方法计算：；
已知 ，，求 的值.
求证：对于任意整数 ，代数式 的值都能被 整除.
七、分式的概念与基本性质
下列各式中，是分式的是（　　）
A. 　 B. 　 C. 　 D.
若分式 的值为 ，则 的值是______.
八、分式的约分与通分
约分：
（1）；
（2）.
通分：
（1） 与 ；
（2） 与 .
九、分式的乘法与除法
计算：
（1）；
（2）.
计算：.
十、分式的加法与减法
计算：
（1）；
（2）.
计算：.
十一、分式的化简求值
先化简，再求值：，其中 .
先化简，再求值：，然后从 、、、、 中选一个合适的数作为 的值代入求值.
十二、分式方程及其应用
解下列分式方程：
（1）；
（2）.
甲、乙两人加工同一种零件.已知甲每小时比乙多加工 个零件，甲加工 个零件所用的时间与乙加工 个零件所用的时间相等.求甲、乙两人每小时各加工多少个零件.八年级数学（湘教版）上册常考题·压轴题分类精编
第1章 因式分解、第2章 分式
一、因式分解的概念与意义
下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
分析：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。逐项判断：
A 项是把乘积展开，属于整式乘法，不是因式分解；
B 项把一个多项式化为两个整式的积，符合因式分解的定义；
C 项的结果中仍含有「和」的形式，不是积的形式，不是因式分解；
D 项中 不是整式，所以右边不是整式的积的形式，不是因式分解。
故选 B。
若多项式 分解因式后有一个因式是 ，则 的值是______。
【答案】
解：设 。
把右边展开，得
。
比较两边对应项的系数，得
。
由第二个方程得 ，
所以 。
二、提公因式法
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）。
【答案】
解：（1）各项系数的最大公约数是 ，相同字母的最低次幂是 、，
所以公因式是 。
原式 。
（2）首项系数为负，通常先提出负号。
各项的公因式是 ，
原式
。
，
原式 。
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）。
【答案】
解：（1），
原式 。
（2）（偶次幂符号不变），
原式
。
三、平方差公式法
如图是平方差公式的几何解释：把边长为 的正方形挖去一个边长为 的小正方形，剩下的部分剪拼成一个长方形，由面积相等可得 。
请用平方差公式把下列各式分解因式：
（1）；
（2）。
解：（1）原式 ，
这里相当于公式中的 ，，
所以原式 。
（2）原式 ，
把 看作一个整体，相当于公式中的 ，
所以原式 。
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）。
解：（1）原式 。
还能继续分解，
原式 。
（2）原式 。
，
原式 。
四、完全平方公式法
如图是两数和完全平方公式的几何解释：边长为 的正方形被分成四块，面积分别为 、、、。
请用完全平方公式把下列各式分解因式：
（1）；
（2）。
解：（1）原式 ，
这里相当于公式中的 ，，
所以原式 。
（2）原式 ，
这里相当于公式中的 ，，
所以原式 。
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）。
解：（1）把 看作一个整体，设 ，
则原式 ，
所以原式 。
（2）先提取负号：
原式
。
五、因式分解的综合运用
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）。
解：（1）先提公因式：
原式 ，
再用平方差公式：
原式 。
（2）先用平方差公式：
原式 ，
再把每个因式整理成完全平方式：
，，
所以原式 。
把下列各式分解因式：
（1）；
（2）。
解：（1）把 看作公因式提出：
原式 ，
再对 用平方差公式：
原式 。
（2）先展开并合并同类项：
原式
。
六、因式分解的应用与探究
（1）用简便方法计算：；
（2）已知 ，，求 的值。
解：（1），
原式 。
（2）先因式分解：
。
把 ， 代入，得
原式 。
求证：对于任意整数 ，代数式 的值都能被 整除。
证明：
。
是整数，
也是整数，
能被 整除，
即对于任意整数 ，代数式 的值都能被 整除。
七、分式的概念与基本性质
下列各式中，是分式的是（　　）
A. 　 B. 　 C. 　 D.
【解析】
判断一个式子是不是分式，关键看分母中是否含有字母（ 是常数，不是字母）。
A 项分母是 ，是常数，不是分式；
B 项分母是 ， 是常数，不是分式；
C 项分母 中含有字母，是分式；
D 项分母是 ，是常数，不是分式。
故选 C。
若分式 的值为 ，则 的值是______。
解： 分式的值为 ，
分子等于 且分母不等于 ，
即 。
由 得 ，解得 或 。
，。
。
所以填 。
八、分式的约分与通分
约分：
（1）；
（2）。
解：（1）分子、分母同时除以公因式 ：
原式 。
（2）先把分子、分母分别分解因式：
，。
原式 。
通分：
（1） 与 ；
（2） 与 。
解：（1），，
最简公分母是 。
；
。
（2），，
最简公分母是 。
；
。
九、分式的乘法与除法
计算：
（1）；
（2）。
解：（1）先把各分式的分子、分母分解因式：
，。
除法转化为乘法：
原式
。
（2）原式
。
计算：。
解：把整式 看作分母为 的分式，
原式
。
十、分式的加法与减法
计算：
（1）；
（2）。
解：（1），
原式 。
（2），
原式 。
，
原式 。
计算：。
解：，，
最简公分母是 。
原式
。
十一、分式的化简求值
先化简，再求值：，其中 。
解：原式
。
当 时，原式 。
先化简，再求值：，然后从 、、、、 中选一个合适的数作为 的值代入求值。
解：原式
。
由分式有意义的条件可知：
分母 ，即 ，所以 ；
分母 ，所以 ；
分母 ，所以 。
所以在给定的五个数中， 只能取 或 。
取 ，得原式 。
（若取 ，则原式 ，也正确。）
十二、分式方程及其应用
解下列分式方程：
（1）；
（2）。
解：（1）方程两边同乘 ，得
，
去括号得 ，
移项、合并得 ，解得 。
检验：当 时，，
所以 是原方程的解。
（2），
方程两边同乘 ，得
，
展开得 ，
化简得 ，解得 。
检验：当 时，，
所以 是原方程的增根，原方程无解。
甲、乙两人加工同一种零件。已知甲每小时比乙多加工 个零件，甲加工 个零件所用的时间与乙加工 个零件所用的时间相等。求甲、乙两人每小时各加工多少个零件。
解：设乙每小时加工 个零件，则甲每小时加工 个零件。
根据「甲加工 个所用时间 乙加工 个所用时间」，得
。
方程两边同乘 ，得
，
去括号得 ，
移项、合并得 ，解得 。
检验：当 时，，且符合题意。
，。
答：甲每小时加工 个零件，乙每小时加工 个零件。

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