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15.1.2　第1课时　线段的垂直平分线
随堂小练
新知梳理
1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的______.
2. 与线段两个端点______的点在这条线段的垂直平分线上.
3. ______、______正好相反的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的______.一般地，原命题成立时，它的______可能成立，也可能______.
4. 如果一个定理的逆命题经过证明是______，那么它也是一个定理，这两个定理叫作______，其中一个定理叫作另一个定理的______.
反馈训练
1. 如图，AD是BC的垂直平分线，△ABC的周长为20cm，且BD＝3cm，则AC的长为______cm.
2. 如图，BC＝10，点D在BC上，BD＝6，AD＝4，则点D在线段______的垂直平分线上.
3. 教材P67练习T3变式 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立，指出其中的互逆定理.
（1） 三边对应相等的两个三角形全等；
（2） 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
（3） 直角三角形的两锐角互余.
4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，边BC的垂直平分线MN经过点A. 求证：点A在线段CD的垂直平分线上.
同步练习
基础过关
1. 如图，CD垂直平分AB，若AC＝3cm，AD＝5cm，则四边形ADBC的周长是（　　）
A. 16cm
B. 17cm
C. 18cm
D. 19cm
2. 如图，用两根钢索加固直立的电线杆.若要使AB与AC的长相等，则需添加条件：______，这样做的理由是______.（两空答案不唯一）
3. 如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是______.
4. 如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE. 求证：AB＝EC.
5. （易错题）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，有下列结论：① AO＝BO；② PO⊥AB；③ ∠APO＝∠BPO；④ 点P在线段AB的垂直平分线上.其中，正确的有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6. 教材P67练习T2变式 如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在直线AD上，求证：BE＝CE.
7. 下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A. 如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等
B. 如果两个实数的商为－1，那么这两个实数互为相反数
C. 如果a＝b，那么＝
D. 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形两腰上的高相等
8. “两直线平行，同旁内角互补”和“______”是互逆定理.
能力进阶
9. 在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A. 三边中线的交点处
B. 三条角平分线的交点处
C. 三边高的交点处
D. 三边垂直平分线的交点处
10. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D. 若∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝______.
11. 如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E. 若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为______.
12. 如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C.
（1） 求证：OB＝OD；
（2） 若OE平分∠BOD，连接BD，BE，DE，求证：OE垂直平分BD.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，连接AD. 若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD∶∠DAB＝2∶5，求∠ADC的度数.
思维拓展
14. 如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE相交于点D，DM⊥AB交AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N. 求证：
（1） BM＝CN；
（2） AM＝（AB＋AC）.
参考答案
随堂小练
新知梳理
1. 距离相等；距离相等
2. 题设；结论；逆命题；逆命题；不成立；真命题；互逆定理；逆定理
反馈训练
1. 7
2. AC
3. （1） 逆命题：全等三角形的对应边相等，逆命题成立，它们为互逆定理（2） 逆命题：全等的两个直角三角形的两个锐角对应相等，逆命题成立（3） 逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题成立，它们为互逆定理
4. 解：连接AC. ∵ MN垂直平分BC，∴ AB＝AC. ∵ AB＝AD，∴ AC＝AD. ∴ 点A在线段CD的垂直平分线上
同步练习
基础过关
1. A
2. BD＝CD；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
3. 115°
4. 解：∵ AD⊥BC，且BD＝DE，∴ AD垂直平分BE. ∴ AB＝AE. ∵ EF垂直平分AC，∴ EA＝EC. ∴ AB＝EC
5. A
6. 解：∵ AB＝AC，DB＝DC，∴ A，D两点都在线段BC的垂直平分线上.∴ 直线AD为BC的垂直平分线.∵ 点E在直线AD上，∴ BE＝CE
7. D
8. 同旁内角互补，两直线平行
能力进阶
9. D
10. 24°
11. 6
12. （1） 在△AOB和△COD中，∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴ △AOB≌△COD. ∴ OB＝OD（2） 由（1）得OB＝OD，∴ 点O在线段BD的垂直平分线上.∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOE＝∠DOE. 在△BOE和△DOE中，OE＝OE，∠BOE＝∠DOE，OB＝OD，∴ △BOE≌△DOE. ∴ BE＝DE. ∴ 点E在线段BD的垂直平分线上.∴ OE垂直平分BD
13. 解：设∠CAD＝2x°，则∠DAB＝5x°.∵ DE垂直平分AB，∴ BD＝AD. ∴ ∠B＝∠BAD＝5x°.∴ ∠ADC＝∠B＋∠BAD＝10x°.在△ADC中，∵ ∠C＝90°，∴ ∠CAD＋∠ADC＝2x°＋10x°＝90°，解得x＝7.5.∴ ∠ADC＝75°
思维拓展
14. （1） 连接BD，CD. ∵ AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴ DM＝DN. ∵ DE垂直平分BC，∴ BD＝CD. 在Rt△BDM和Rt△CDN中，BD＝CD，DM＝DN，∴ Rt△BDM≌Rt△CDN. ∴ BM＝CN（2） ∵ AM＝AB－BM，AN＝AC＋CN，BM＝CN，∴ AM＋AN＝AB＋AC. 在Rt△ADM和Rt△ADN中，AD＝AD，DM＝DN，∴ Rt△ADM≌Rt△ADN. ∴ AM＝AN. ∴ AM＝（AB＋AC）

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