资源简介

15.3.1　第2课时　等腰三角形的判定
随堂小练
新知梳理
1. 有两个角相等的三角形是______（简写成“______”）.用符号语言表示：如图，在△ABC中，∵ ∠B＝∠C，∴ ______.
反馈训练
1. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则△ABC是（　　）
A. 钝角三角形
B. 含40°角的直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰直角三角形
2. 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
3. 如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于点D，BC＝8cm，则△ABC是______三角形，BD的长为______cm.
4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，∠BAD的平分线AE交BC于点E. 若CE＝2，则线段AB的长为______.
5. 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC交AB于点E. 求证：△BDE是等腰三角形.
同步练习
基础过关
1. 如图，AB＝10，BC＝8，∠A＝∠ACD，则△BCD的周长是（　　）
A. 18
B. 20
C. 26
D. 28
2. （易错题）如图，P是射线MN上一动点，∠AMN＝38°，当∠A＝______时，△AMP是等腰三角形.
3. 教材P81练习T1变式 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有______个.
4. 如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF. 求证：△GEC是等腰三角形.
5. 教材P81练习T3变式 如图，AC和BD相交于点O，AB∥DC，OA＝OB＝4.若OC＝3，则BD的长为（　　）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
6. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，分别在边AB，AC上取点D，E，使BD＝CE. 若∠A＝48°，则∠AED的度数为______.
7. 如图，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于点E，且BD＝BE，求证：△ABC是等腰三角形.
8. 教材P81例3变式 已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线的长为b（如图），求作这个等腰三角形.
能力进阶
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使△MAB为等腰三角形，符合条件的点M有（　　）
A. 6个
B. 7个
C. 8个
D. 9个
10. 教材P85习题T9变式 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40n mile/h的速度向正北方向航行，2h后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为______n mile.
11. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F. 若FG＝4，ED＝8，则EB＋DC＝______.
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，AF＝BF. 求证：
（1） △ADF是等腰三角形；
（2） DF＝2EF.
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF. 求证：
（1） EF⊥AB；
（2） △ACF为等腰三角形.
思维拓展
14. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E，CF⊥AE于点F.
（1） 若∠B＝75°，∠BAC＝60°，求∠E，∠DCF的度数；
（2） 用等式表示线段AF，AB，AC之间的数量关系，并证明.
参考答案
随堂小练
新知梳理
1. 等腰三角形；等角对等边；AB＝AC
反馈训练
1. D
2. B
3. 等腰；4
4. 3
5. 解：如图，∵ DE∥AC，∴ ∠1＝∠3.∵ AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2.∴ ∠2＝∠3.∵ AD⊥BD，∴ ∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.∴ ∠B＝∠BDE. ∴ △BDE是等腰三角形
同步练习
基础过关
1. A
2. 38°或71°或104°
3. 6
4. 解：∵ BE＝CF，∴ BE＋CE＝CF＋CE. ∴ BC＝FE. 在△ABC和△DFE中，AB＝DF，AC＝DE，BC＝FE，∴ △ABC≌△DFE. ∴ ∠ACB＝∠DEF. ∴ CG＝EG. ∴ △GEC是等腰三角形
5. C
6. 66°
7. 解：∵ BD＝BE，∴ ∠D＝∠BED. ∵ ∠BED＝∠CEF，∴ ∠D＝∠CEF. ∵ DF⊥AC，∴ ∠A＋∠D＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴ ∠A＝∠C. ∴ AB＝BC. ∴ △ABC是等腰三角形
8. 解：如答案图，作线段AB＝a，作线段AB的垂直平分线MN，与AB交于点D，在MN上取点C，使DC＝b.连接AC，BC，则△ABC即为所求作的等腰三角形
能力进阶
9. C
10. 80
11. 12
12. （1） ∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. ∵ DE⊥BC，∴ ∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°.∴ ∠D＝∠BFE. ∵ ∠BFE＝∠DFA，∴ ∠D＝∠DFA. ∴ AD＝AF. ∴ △ADF是等腰三角形（2） 过点A作AH⊥DE于点H. ∵ DE⊥BC，∴ ∠AHF＝∠BEF＝90°.由（1），知AD＝AF，∴ DH＝FH. 在△AFH和△BFE中，∠AHF＝∠BEF，∠AFH＝∠BFE，AF＝BF，∴ △AFH≌△BFE. ∴ FH＝FE. ∴ DH＝FH＝EF. ∴ DF＝DH＋FH＝2EF
13. （1） ∵ AB＝AC，∠BAC＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝（180°－∠BAC）＝72°.∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠FBD＝∠ABC＝36°.∴ ∠BAD＝∠ABD. ∴ AD＝BD. 又∵ E是AB的中点，∴ DE⊥AB，即EF⊥AB（2） ∵ EF⊥AB，E是AB的中点，∴ EF垂直平分AB. ∴ AF＝BF. ∴ ∠BAF＝∠ABF. 由（1），知∠ABD＝∠BAD＝36°，∴ 易得∠FAD＝∠FBD＝36°.又∵ ∠ACB＝72°，∴ ∠AFC＝∠ACB－∠CAF＝36°.∴ ∠CAF＝∠AFC＝36°.∴ AC＝CF，即△ACF为等腰三角形
思维拓展
14. （1） ∵ AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝60°，∴ ∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°.∵ CE∥AB，∠B＝75°，∴ ∠E＝∠BAD＝30°，∠DCE＝∠B＝75°.∵ CF⊥AE，∴ ∠ECF＝90°－∠E＝60°.∴ ∠DCF＝∠DCE－∠ECF＝75°－60°＝15°（2） AB＋AC＝2AF　由（1），知∠BAD＝∠CAD，∠E＝∠BAD，∠DCE＝∠B，∴ ∠CAD＝∠E. ∴ AC＝EC. ∵ CF⊥AE，∴ AF＝EF，即AE＝2AF. ∵ AD＝AB，∴ ∠B＝∠ADB. 又∵ ∠DCE＝∠B，∠CDE＝∠ADB，∴ ∠DCE＝∠CDE. ∴ EC＝ED. ∴ ED＝AC. ∴ AE＝AD＋ED＝AB＋AC. ∴ AB＋AC＝2AF

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