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15.3.2　第1课时　等边三角形的性质与判定
随堂小练
新知梳理
1. ______都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个角都______，并且每一个角都等于______.
3. 等边三角形的判定：
（1） 三个角都______的三角形是等边三角形；
（2） 有一个角是60°的______是等边三角形；
（3） 三边都______的三角形是等边三角形.
反馈训练
1. 在等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（　　）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
2. 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别为各边的中点，则图中的等边三角形共有（　　）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
3. 如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE. 若BD＝3，则DE＝______.
4. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠CDE＝______.
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边AB的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF. 求证：△ABC是等边三角形.
同步练习
基础过关
1. 下列关于等边三角形的说法中，不正确的是（　　）
A. 等边三角形的三条边都相等
B. 等边三角形的三个内角都等于60°
C. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D. 等腰三角形具有等边三角形的性质
2. 教材P93复习题T12变式 如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠E的度数为（　　）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
3. 如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝20°，则∠BAE＝______.
4. 如图，在等边三角形ABC中，D是边AB上的一点，E是CB延长线上的一点，连接CD，DE. 若∠BDE＝25°，CD＝DE，求∠ACD的度数.
5. 教材P82练习T2变式 如图，在等边三角形ABC中，CD是AB上的高，∠ADE＝∠BDF＝60°，则图中与AD相等的线段有（　　）
A. 2条
B. 5条
C. 7条
D. 9条
6. 新情境 生活实际 如图，在一个池塘旁有一条笔直的公路MN，公路对面有一个建筑A，小明在公路一侧点B处测得∠ABN＝60°，为了得到此时他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB＝60°，并测得他走了48米，则AB的长为______米.
7. 如图，延长△ABC的各边，使BF＝AC，AE＝CD＝AB，连接DE，EF，FD，得到的△DEF是等边三角形.求证：
（1） △AEF≌△CDE；
（2） △ABC是等边三角形.
能力进阶
8. （易错题）给出下列三角形：① 有两个角等于60°的三角形；② 有一个角等于60°的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④ 一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中，是等边三角形的有（　　）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③
D. ①②③④
9. 教材P85习题T11变式 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ. 有下列结论：① AD＝BE；② PQ∥AE；③ AP＝BQ；④ DE＝DP；⑤ ∠AOB＝60°.其中，一定成立的是______（填序号）.
10. 教材P86习题T13变式 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC＝AP＝AQ.
（1） 若∠B＝25°，求∠PAQ的度数；
（2） 若∠BAC＝120°，小玉认为△APQ一定是等边三角形，为什么？
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，连接BD，∠EDF＝60°，其两边分别交AB，AC于点E，F. 求证：
（1） △ABD是等边三角形；
（2） BE＝AF.
思维拓展
12. 如图①，在等边三角形ABC中，D是射线BA上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.
（1） △DBC和△EAC全等吗？请说明理由.
（2） 求证：AE∥BC.
（3） 如图②，当动点D运动到边BA的延长线上时，请问（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
随堂小练
新知梳理
1. 三边；相等；60°；相等；等腰三角形；相等
反馈训练
1. D
2. D
3. 3
4. 15°
5. 解：∵ D为边AB的中点，∴ AD＝BD. ∵ DE⊥AC，DF⊥BC，∴ ∠AED＝∠BFD＝90°.在Rt△ADE和Rt△BDF中，AD＝BD，DE＝DF，∴ Rt△ADE≌Rt△BDF. ∴ ∠A＝∠B. ∴ AC＝BC. ∵ AB＝AC，∴ AB＝BC＝AC. ∴ △ABC是等边三角形
同步练习
基础过关
1. D
2. C
3. 40°
4. 解：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°.∵ ∠BDE＝25°，∴ ∠E＝∠ABC－∠BDE＝60°－25°＝35°.∵ CD＝DE，∴ ∠DCE＝∠E＝35°.∴ ∠ACD＝∠ACB－∠DCE＝60°－35°＝25°
5. C
6. 48
7. （1） ∵ BF＝AC，AB＝AE，∴ BF＋AB＝AC＋AE，即FA＝EC. ∵ △DEF是等边三角形，∴ EF＝DE. 在△AEF和△CDE中，AE＝CD，FA＝EC，EF＝DE，∴ △AEF≌△CDE（2） 由（1），得△AEF≌△CDE，∴ ∠FEA＝∠EDC. ∵ ∠BCA＝∠EDC＋∠DEC，△DEF是等边三角形，∴ ∠BCA＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF＝60°.同理，可得∠BAC＝60°.∴ △ABC是等边三角形
能力进阶
8. D
9. ①②③⑤
10. （1） ∵ AP＝AQ，∴ ∠APQ＝∠AQP. ∴ ∠APB＝∠AQC. 在△APB和△AQC中，AP＝AQ，∠APB＝∠AQC，BP＝CQ，∴ △APB≌△AQC. ∴ AB＝AC. ∴ ∠B＝∠C＝25°.∴ ∠BAC＝180°－（∠B＋∠C）＝130°.∵ AP＝BP，AQ＝CQ，∴ ∠BAP＝∠B＝25°，∠CAQ＝∠C＝25°.∴ ∠PAQ＝∠BAC－∠BAP－∠CAQ＝80°（2） 由（1），知∠B＝∠C. ∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠B＝∠C＝30°.同（1），得∠BAP＝∠CAQ＝∠B＝∠C＝30°，∴ 易得∠PAQ＝60°.又∵ AP＝AQ，∴ △APQ是等边三角形
11. （1） ∵ ∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，∴ ∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝×120°＝60°.∵ AD＝AB，∴ △ABD是等边三角形（2） ∵ △ABD是等边三角形，∴ ∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD. ∵ ∠EDF＝60°，∴ ∠ADB＝∠EDF. ∴ ∠ADB－∠ADE＝∠EDF－∠ADE. ∴ ∠BDE＝∠ADF. 在△BDE和△ADF中，∠DBE＝∠DAF＝60°，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE≌△ADF. ∴ BE＝AF
思维拓展
12. （1） 全等　理由：∵ △ABC和△EDC是等边三角形，∴ ∠ACB＝∠B＝60°，∠DCE＝60°，BC＝AC，CD＝CE. ∴ ∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD. ∴ ∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴ △DBC≌△EAC（2） ∵ △DBC≌△EAC，∴ ∠B＝∠EAC＝60°.又∵ ∠ACB＝60°，∴ ∠EAC＝∠ACB. ∴ AE∥BC（3） 结论仍成立　∵ △ABC，△EDC为等边三角形，∴ BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠B＝∠DCE＝60°.∴ ∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴ △DBC≌△EAC. ∴ ∠B＝∠EAC＝60°.又∵ ∠ACB＝60°，∴ ∠EAC＝∠ACB. ∴ AE∥BC

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