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15.3.2　第2课时　含30°角的直角三角形的性质
随堂小练
新知梳理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的______等于______的一半.用符号语言表示：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∵ ∠A＝30°，∴ BC＝______AB.
反馈训练
1. 已知一直角三角形中30°角所对的直角边的长为2cm，则该直角三角形的斜边长为（　　）
A. 2cm
B. 4cm
C. 6cm
D. 8cm
2. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为（　　）
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
3. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于点D. 若BD＝3，则CD的长是______.
4. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB＝12cm，则△ACF的面积为______cm2.
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，CP＝4cm.求BP的长.
同步练习
基础过关
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，D是边BC的中点，则AD的长是（　　）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
2. 新情境 生活实际 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面所夹锐角的度数为30°，这棵树在折断前的高度为（　　）
A. 3米
B. 6米
C. 9米
D. 12米
3. 教材P92复习题T7变式 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是（　　）
A. BD＝BC
B. BD＝BC
C. BD＝BC
D. BD＝BC
4. 如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE＝2，则△ABC的周长为______.
5. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB. 若EC＝1，则EF＝______.
6. 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于点E，DE的反向延长线交BC的延长线于点F，AE＝1.求BF的长.
能力进阶
7. 如图，在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是边AE上的一个动点，以D为顶点作∠EDC＝30°，点C在边BE上，则CD的长可以是（　　）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D. 若BD＝1，则BC的长为______.
9. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是边AC上一点，连接BE并延长到点D，连接CD. 若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE的长为______.
10. 教材P85习题T9变式 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B两处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.
（1） 求海岛B到灯塔C的距离；
（2） 若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问：还要经过多长时间，船与灯塔C的距离最短？
11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.
（1） 求证：AE＝2CE；
（2） 连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.
微专题
构造含30°角的直角三角形的常见辅助线作法
作法1　作垂线，构造含30°角的直角三角形（如本课时T10）
作法2　补形，构造含30°角的直角三角形
W1. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积为______.
W2. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.若AD＝4，BC＝1，则CD的长为______.
参考答案
随堂小练
新知梳理
1. 直角边；斜边；
反馈训练
1. B
2. C
3. 6
4. 18
5. 解：∵ AB＝AC，∠BAC＝120°，∴ ∠B＝∠C＝30°.∵ ∠BAP＝90°，∴ ∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝30°.∴ ∠PAC＝∠C. ∴ AP＝CP＝4cm.又∵ 在Rt△BAP中，∠B＝30°，∴ BP＝2AP＝8cm
同步练习
基础过关
1. B
2. C
3. C
4. 24
5. 2
6. 解：∵ △ABC是等边三角形，BD是中线，∴ ∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC. ∵ DE⊥AB，∴ ∠AED＝90°.∴ ∠ADE＝90°－∠A＝30°.∴ CD＝AD＝2AE＝2.∵ ∠CDF＝∠ADE＝30°，∴ ∠F＝∠ACB－∠CDF＝30°.∴ ∠CDF＝∠F. ∴ DC＝CF. ∴ BF＝BC＋CF＝2CD＋CD＝6
能力进阶
7. A
8. 3
9.
10. （1） 由题意，得AB＝15×2＝30（海里）.∵ ∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴ ∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝30°.∴ ∠ACB＝∠NAC. ∴ BC＝AB＝30海里.∴ 从海岛B到灯塔C的距离为30海里（2） 如图，过点C作CP⊥AN于点P. 根据垂线段最短，可知线段CP的长为船与灯塔C的最短距离.∵ ∠BPC＝90°，∠NBC＝60°，∴ ∠PCB＝180°－∠BPC－∠CBP＝30°.∴ PB＝BC＝15海里.∵ 15÷15＝1（小时），∴ 还要经过1小时，船与灯塔C的距离最短
11. （1） 连接BE. ∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴ ∠ABC＝60°.∵ DE垂直平分AB，∴ BE＝AE. ∴ ∠ABE＝∠A＝30°.∴ ∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.∴ 在Rt△BCE中，BE＝2CE. ∴ AE＝2CE（2） △BCD是等边三角形　理由：∵ DE垂直平分AB，∴ ∠ADE＝90°.∵ ∠A＝30°，∴ 在Rt△ADE中，AE＝2DE. 由（1），知AE＝2CE，∴ DE＝CE. ∴ ∠EDC＝∠ECD. ∵ ∠DEC＝∠A＋∠ADE＝120°，∴ ∠EDC＝∠ECD＝（180°－∠DEC）＝30°.∴ ∠DCB＝∠ACB－∠ECD＝60°.∵ ∠ABC＝60°，∴ ∠DCB＝∠DBC＝∠BDC＝60°.∴ △BCD是等边三角形.
微专题
W1. 36
W2. 2

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