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2026-2027学年广西南宁市龙堤路初级中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几组数是勾股数的是（　　）
A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D.
2.下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A. x2-4y=0 B. x3-4x=5 C. x2+6=12x D.
3.要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A. x≠3 B. x＞3 C. x≤3 D. x≥3
4.下列运算，结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
5.如图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（　　）
A. 225
B. 144
C. 81
D. 无法确定
6.如图，已知（1）班和（2）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（　　）
A. （1）班成绩比（2）班成绩集中 B. （1）班成绩的上四分位数是80分
C. （1）班有同学的成绩超过140分 D. （1）班的最低分低于（2）班的最低分
7.如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC内角和的度数与四边形BCDE外角和的度数分别为α，β，则下列说法正确的是（）
A. α-β=0
B. 2α-β=0
C. α-2β=0
D. 无法比较α与β的大小
8.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（　　）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
9.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
10.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点.连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11.为了解脱贫攻坚成果，宣传乡村振兴发展之路，某电视台记者乘汽车赴360km外的新农村进行采访，路程的前一部分为高速公路，后一部分为省道．若汽车在高速公路和省道上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A. 汽车在高速公路上的行驶速度为180km/h B. 省道总长为90km
C. 汽车在省道上的行驶速度为60km/h D. 该记者在出发3.5h后到达采访地
12.直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（　　）
A. （-3，0）
B. （-6，0）
C. （-，0）
D. （-，0）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算÷的结果是 ．
14.一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量W（单位：L）与工作时间t（单位：h）之间的关系式： .
15.如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为 ．

16.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
解方程：
（1）3x（x+3）=2（x+3）；
（2）2x2-4x-3=0.
19.(本小题10分)
学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a=______，b=______．
（2）该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
20.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
21.(本小题10分)
小明在解决问题：已知a=，求2a2-8a+1的值，他是这样分析与解答的：
因为a===2-，
所以a-2=-．
所以（a-2）2=3，即a2-4a+4=3．
所以a2-4a=-1．
所以2a2-8a+1=2（a2-4a）+1=2×（-1）+1=-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：=______．
（2）计算：+++…+；
（3）若a=，求4a2-8a+1的值．
22.(本小题12分)
5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
进价（元/部） 售价（元/部）
A 3000 3400
B 3500 4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
23.(本小题12分)
如图，已知一次函数y=x-2的图象与y轴交于点A，一次函数y=4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y=x-2的图象分别交于点C，D，点D的坐标为（-2，m）.
（1）关于x,y的方程组的解为______；
（2）求四边形OADC的面积；
（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】D
13.【答案】3
14.【答案】W=40-6t
15.【答案】x≤1
16.【答案】
17.【答案】
2
18.【答案】解：（1）3x（x+3）=2（x+3），
3x（x+3）-2（x+3），
（x+3）（3x-2）=0，
x+3=0或3x-2=0，
解得x1=-3，；
（2）2x2-4x-3=0，
∵a=2，b=-4，c=-3，
∴b2-4ac=（-4）2-4×2×（-3）=40＞0，
∴x===，
解得，．
19.【答案】解：（1）17，20 ；
（2）2，2；
（3）扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°；
（4）估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×=120（人），
答：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为120人．
20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x=，
∵BD==2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
21.【答案】解：（1）-1；
（2）原式=（-1）+（-）+（-）+…+（-）
=-1
=10-1
=9；
（3）因为a===+1，
所以a-1=．所以（a-1）2=2，即a2-2a+1=2．
所以a2-2a=1．
所以4a2-8a+1=4（a2-2a）+1=4×1+1=5．
22.【答案】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（30-x）部，获得的利润为w元，
w=（3400-3000）x+（4000-3500）（30-x）=-100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30-x≤2x，
解得，x≥10，
∵w=-100x+15000，k=-100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=10时，w取得最大值，此时w=14000，30-x=20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
23.【答案】 4 在x轴上存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形；点E坐标为（-2，0）或（-18，0）
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