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2026-2027学年湖南省长沙市部分校高二（上）开学联考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.直线x=cos180°的倾斜角为（　　）
A. 0° B. 45° C. 90° D. 135°
2.已知平面向量，不共线，若向量k+与-3共线，则实数k的值为（　　）
A. B. C. -3 D. 3
3.若A（0，1），B（2，0），C（-2，a）三点共线，则实数a=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.设α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A. 若α⊥β，m⊥α，则m∥β B. 若m∥α，n⊥m,则n⊥α
C. 若m β，α∩β=n,m∥α，则m∥n D. 若m α，n β，α∥β，则m∥n
5.已知空间向量=（2，-1，2），=（1，1，1），则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. （2，-1，2） D. （1，1，1）
6.若一个正四面体的体积为，则其表面积为（　　）
A. B. C. D.
7.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且，则cosC的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.已知空间向量，，两两互相垂直，且||=||=||=1，向量满足|---|=1，则 （+）的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设复数z的共轭复数为，若|z|=1，则（　　）
A. z =1 B.
C. z+一定是实数 D. z可能是方程x2-x+2=0的根
10.已知{，，}是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（　　）
A. ，+，++ B. +，+，+
C. -，-，- D. +，-，3
11.如图，圆锥SO的底面圆心为O，高SO=2，AB为底面直径，且AB=4，点C为底面圆周上异于A，B的动点，E为母线SC的中点，则下列说法正确的是（　　）
A. 三棱锥S-ABC的外接球的表面积为定值
B. 存在点C，使得直线OE⊥平面SBC
C. 直线OE与平面SAB所成角的正弦值的最大值为
D. 若∠BOC=60°，则平面SAB与平面SBC夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.假设P（A）=0.8，P（B）=0.6，且A与B相互独立，则P（A∪B）= .
13.已知向量=（2，1，-2），向量满足||=2，（+） =1，则向量与的夹角为 .
14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱A1B1，BC的中点，P为线段BD1上的动点，则△PEF面积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成5组，整理得到如下频数分布表：
学习时长（分） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70]
频数 4 6 18 14 8
（1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AB∥CD，AB=2CD.设=，=，=.
（1）试用基底{，，}表示向量.
（2）设M为PB的中点，点N在直线PD上，且.若A，M，N，C四点共面，求实数λ的值，并说明此时点N的位置.
17.(本小题15分)
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=2，AA1=，E为棱BB1的中点.
（1）求异面直线AE与A1C所成角的余弦值；
（2）求证：A1C⊥平面BDC1.
18.(本小题17分)
如图，圆台OO1的轴截面为等腰梯形ABB1A1，上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，C是下底面圆周上一点，且AC=4，P是BC的中点.
（1）求证：B1P∥平面A1AC；
（2）求点B到平面AB1C的距离；
（3）求平面A1AC与平面AB1C夹角的余弦值.
19.(本小题17分)
定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在△ABC中，CD为AB边上的高，AD=1，BD=2，CD=2.将△ACD沿CD折起，得到四面体S-BCD（点A对应点S），且满足SC⊥BD.
（1）求证：四面体S-BCD为对垂四面体；
（2）求直线CD与平面SBC所成角的正弦值；
（3）设点P在棱SC上，点Q在棱SB上，且满足，记平面DPQ与平面BCD所成的锐二面角为θ，求cosθ的最大值及此时λ的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】AB
11.【答案】ACD
12.【答案】0.92
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为，
==48.2；
（2）学习时长不足40分钟的学生分布在[20，30），[30，40）两个区间，
总人数为10人，
所以采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，其中[20，30）应抽取4×人，
[30，40）应抽取5-2=3人，
记抽取的2人恰好来自同一学习时长区间为事件A，
所以=．
16.【答案】解：（1）由梯形条件AB∥CD且AB=2CD，可得，
根据向量的三角形法则，=，
，，
代入得：==；
（2）因为M是PB的中点，所以，
由，可得-=+（1-λ），
又，
因为A，M，N，C四点共面，
所以存在实数x,y,使得=x+y，
可得+（1-λ）=x（）+y（），
得λ=2，，
则N在直线PD上，且D为PN的中点．
17.【答案】解：（1）连接AC，交BD于点O．以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x,y轴，
过点O且平行于AA1的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
由AB=2，∠BAD=60°，得，OB=1，
又，所以，B（0，1，0），，D（0，-1，0），
，，E（0，1，），
，，
设异面直线AE与A1C所成的角为θ，
则，
即异面直线AE与A1C所成角的余弦值为．
（2）因为.，，
所以 =0，所以⊥，A1C⊥DB．
又DB∩DC1=D，DB，DC1 平面BDC1，
所以A1C⊥平面BDC1．
18.【答案】（1）证明：取AC的中点Q，连接PQ，A1Q，
因为P是BC的中点，所以PQ∥AB，PQ=AB，
由圆台的性质知，A1B1∥AB，A1B1=AB，
所以PQ∥A1B1，PQ=A1B1，
所以四边形A1B1PQ是平行四边形，
所以B1P∥A1Q，
又B1P 平面A1AC，A1Q 平面A1AC，
所以B1P∥平面A1AC．
（2）解：以O为原点，OB，OO1所在直线分别为y,z轴，作Ox⊥AB建立如图所示的空间直角坐标系，
因为母线与底面所成的角为，OA=4，O1A1=2，
所以圆台的高为2，
所以A（0，-4，0），B（0，4，0），C（2，-2，0），B1（0，2，2），A1（0，-2，2），
所以=（0，8，0），=（0，6，2），=（2，2，0），
设平面AB1C的法向量为=（x,y,z），则，
取=（1，-，3），
所以点B到平面AB1C的距离为==．
（3）解：由（2）可得=（0，2，2），=（2，2，0），
设平面A1AC的法向量为=（a,b,c），则，
取=（1，-，1），
设平面A1AC与平面AB1C夹角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|===，
所以平面A1AC与平面AB1C夹角的余弦值为．
19.【答案】解：（1）证明：由折叠的不变性，折叠前CD⊥AB，故折叠后有CD⊥SD，CD⊥BD，
因为SD∩BD=D，且SD，BD 平面SBD，所以CD⊥平面SBD，
又SB 平面SBD，所以CD⊥SB，
因为SC⊥BD，CD⊥BD，且SC∩CD=C，SC，CD 平面SCD，得BD⊥平面SCD，
又SD 平面SCD，所以BD⊥SD，
又CD⊥SD，BD∩CD=D，BD，CD 平面BCD，所以SD⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以SD⊥BC，
综上，三组对棱两两垂直，
故四面体S-BCD为对垂四面体；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，1），
，，，
设平面SBC的法向量为，
则，即，
令z=2，得x=1，y=1，故=（1，1，2），
设直线CD与平面SBC所成的角为α，
则，
故直线CD与平面SBC所成角的正弦值为；
（3）由，得，
由，得，
所以，，
设平面DPQ的法向量为，
则，即，
令y=1，得x=λ2，z=-2λ，故，
平面DBC的一个法向量为，
锐二面角θ满足，
分子分母同除以λ（λ＞0），得，
由基本不等式得，
当且仅当，即λ=1时取等号，
因此，
即λ=1时，cosθ取得最大值．
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