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2026-2027学年华侨、港澳、台联考高一（上）开学模拟数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合A={x|x2-3x+2＜0}，B={x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（　　）
A. a＞2 B. a＜2 C. a≤2 D. a≥2
2.已知复数z满足z（1-i）=2+i（i为虚数单位），则|z|=（　　）
A. B. C. D. 1
3.设函数 ，则（　　）
A. 为 f（x）的极大值点 B. 为f（x）的极小值点
C. x=2 为 f（x）的极大值点 D. x=2为f（x）的极小值点
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+2=2an（n∈N*），=（　　）
A. 2 B. C. D.
5.下列函数中，在区间（0，+∞）上是严格增函数且存在零点的是（　　）
A. y=ex B. C. D. y=（x-2）2
6.当直线l：x+my-1=0（m∈R）与圆C：x2+y2-2y-4=0相交所得弦长最短时，m的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. D.
7.已知，均是非零向量，|+|=1，||=1，与的夹角为，则||=（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
8.现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（　　）
A. B. C. D.
9.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点B到平面ACD1的距离是（　　）
A. 1 B. C. D.
10.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A. y=±2x B. y=±3x C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
11.曲线y=2x3-2lnx+3在点（1，5）处的切线与直线x+my-3=0垂直，则m的值为 .
12.在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中x2项的系数是 .（用数字作答）
13.函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx的最大值为 .
14.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是 .
15.已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面积分别为，且棱台侧面与下底面所成二面角的余弦值为，则棱台侧面的高为 .
三、解答题：本题共4小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题18分)
在等差数列{an}中，a2+a5=12，a6=11.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Sn.
17.(本小题18分)
在△ABC中，已知b2+c2=a2+bc.
（1）若sinC=2sinB，且b=2，求△ABC的面积；
（2）若b+c=1，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知A（3，0）是椭圆的右顶点，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，且，求弦EF的长.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x ex，g（x）=ax3-x2+x-1.
（1）求f（x）的最值；
（2）当x≥0时，f（x）-g（x）≥1恒成立，求a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】4
12.【答案】135
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d,
由题意可得，解得a1=1，d=2，
故an=a1+（n-1）d=2n-1；
（2）由（1）可得，则，
从而，又b1=2，
所以{bn}是首项为2，公比为4的等比数列，
由等比数列的前n项和公式可得：
．
17.【答案】解：（1）由正弦定理得，又b=2，从而c=4，
由b2+c2=a2+bc及余弦定理，
可得，
又A∈（0，π），从而，
所以△ABC的面积；
（2）由b2+c2=a2+bc及b+c=1，
可得a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=1-3bc,
由均值不等式，可得，
当且仅当时取等号，
从而，所以，
又因为△ABC中，b+c＞a,从而a＜1，
所以a的取值范围是．
18.【答案】解：（1）因为A（3，0）是椭圆的右顶点，
所以a=3，
又椭圆C经过点，
所以，
解得，
可得椭圆C的方程为；
（2）联立y=k（x-1）与，
化简得（3k2+1）x2-6k2x+3k2-9=0，
可得，
由，可得，
即，
解得，
所以，
可得，
即弦EF的长为．
19.【答案】解：（1）由题f′（x）=ex+x ex=（1+x）ex，x∈R，
则x∈（-∞，-1）时f′（x）＜0，x∈（-1，+∞）时f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）单调递增，
又x→+∞时f（x）→+∞，
所以函数f（x）有最小值f（-1）=-e-1，无最大值；
（2）当x≥0时，f（x）-g（x）≥1恒成立，即xex-（ax3-x2+x）≥0，x≥0恒成立，
显然x=0时，上述不等式恒成立，
当x＞0时，，
，
所以x∈（0，2）时，h′（x）＜0，x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
所以函数h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以函数h（x）有最小值为，
所以，即实数a的取值范围为．
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