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2026-2027学年吉林省长春吉大附中实验学校高一（上）阶段性测试数学试卷（9月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合M={1，2，3，4}，N={2，4，6，8}，则M∩N的子集个数是（　　）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2.在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（　　）
A. {（x,y）|x=0，y≠0或x≠0，y=0} B. {（x,y）|x=0且y=0}
C. {（x,y）|xy=0} D. {（x,y）|x,y不同时为零}
3.若命题p： x＞0，x2-3x+2≤0，则命题p的否定为（　　）
A. x＞0，x2-3x+2≤0 B. x≤0，x2-3x+2≤0
C. x＞0，x2-3x+2＞0 D. x≤0，x2-3x+2＞0
4.设a，b∈R，则“a＞b”是“a＞|b|”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若关于x的不等式x2+2（m-1）x+m2-m＜0的解集为（x1，x2），且，则实数m的值为（　　）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
6.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（　　）
A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人
C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人
7.若关于x的不等式（m2-4）x2-（m-2）x-1＜0的解集为R，则实数m的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
8.已知x,y是非负实数且，则3x+4y的最小值为（　　）
A. 9 B. 11 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于集合的说法正确的有（　　）
A. 若A B，且B A，则A=B
B. 空集是任何集合的真子集
C. 集合与是相等集合
D. 若A∩B=A，则A B
10.已知关于x的不等式ax2+（b-1）x+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则下列说法正确的是（　　）
A. c＜0
B. a+b=1
C. cx2+（b-1）x+a＜0的解集为
D. 的最小值为5
11.给定实数集A，定义集合M={m∈R|对 a∈A，都有m≥a}，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA.以下说法正确的是（　　）
A. 若数集A中有2026个元素，则数集A一定有上确界
B. 若数集A中没有最大值，则数集A中一定没有上确界
C. 若数集A，B有上确界，则数集{a+b|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA+supB
D. 若数集A，B有上确界，则数集{ab|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA supB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知不等式-x2+bx+c＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则不等式cx2+bx-1＜0的解集为 .
13.已知实数x，y＞0满足1≤xy≤2且2≤xy2≤3，则x2y的最大值为 .
14.已知a＞0，关于x的不等式x2-ax+6 0的解集中有且仅有3个整数n-1，n,n+1，则n= ，a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设集合U=R，A={x|x2-6x+5≤0}，B={x|m-1≤x≤2m}.
（1）若m=3，求A∩（ UB）；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x米，宽为y米.
（1）若菜园面积为36平方米，则x,y为何值时，所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长为30米，则x,y为何值时，菜园面积最大？
（3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.
17.(本小题15分)
已知二次函数y=x2-（a-3）x+4.
（1）若关于x的不等式x2-（a-3）x+4≤0的解集为{x|1≤x≤b}（b＞1），求a和b的值；
（2）若不等式y≥0对一切实数x都成立，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式x2-（a-3）x+4＞（a+1）x2+1.
18.(本小题17分)
设A，B是任意两个非空集合，称集合A×B={（a,b）|a∈A，b∈B}为“A与B的笛卡尔积”，如果集合M中元素的个数记为[M]，则集合A×B的元素个数即为[A×B].
（1）若A={0，1}，B={1，2，3}，求A×B与B×A；
（2）若[A×B]=m2，[A]≠[B]，m为质数，且对任意质数m恒成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
法国数学家佛郎索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），它的两根α、β有如下关系：，.”韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根.”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程.例如：m+n=-3，mn=2，那么m和n是方程x2+3x+2=0的两根.
请应用上述材料解决以下问题：
（1）已知m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=4，n2-2n=4，求|m-n|的值；
（2）已知实数a、b满足ab+a+b=19，a2b+ab2=78，求a2+b2的值；
（3）已知x1，x2是一元二次方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根，且k∈N*，求使的值为整数的所有k的值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】AC
12.【答案】{x|x＞或x＜}
13.【答案】4
14.【答案】3
{a|}

15.【答案】解：（1）由x2-6x+5≤0，可得（x-1）（x-5）≤0，解得1≤x≤5，
故A={x|1≤x≤5}，
当m=3时，B={x|2≤x≤6}，
故 UB={x|x＞6或x＜2}，
∴A∩（ UB）={x|1≤x＜2}．
（2）∵“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴B是A的真子集，
∴当B≠ 时，，且m-1≥1及2m≤5中等号不能同时取得，
解得，
当B= 时，m-1＞2m,解得m＜-1，显然成立；
综上，m的取值范围是．
16.【答案】解：（1）若菜园面积为36平方米，则xy=36，所用篱笆总长为x+2y.
因为，
当且仅当x=2y时，即，时等号成立．
所以菜园的长x为，宽y为时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为30米，则x+2y=30，菜园面积为xy.
因为，
当且仅当x=2y时，即x=15，时等号成立．
所以菜园的长x为15m,宽y为时，菜园面积最大；
（3）若使用的篱笆总长为30米，则x+2y=30，
，
当且仅当，即x=y=10时等号成立，
所以的最小值是．
17.【答案】；
[-1，7]；
当a=0时，不等式的解集为{x|x＞-1}；
当a=-3时，不等式的解集为{x|x≠-1}；
当a＜-3时，不等式的解集为{或x＜-1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当-3＜a＜0时，不等式的解集为{或x＞-1}
18.【答案】解：（1）∵A={0，1}，B={1，2，3}且A×B={（a,b）|a∈A，b∈B}，
∴A×B={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3）}，
B×A={（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1）}；
（2）∵，[A]≠[B]，且m为质数，
∴[A]=1，[B]=m2或[A]=m2，[B]=1，
当[A]=1，[B]=m2时，则由新定义可知：，，
，
当且仅当，即时取等号，
又m为质数，∴m≥2，∴等号不成立，
∴此时．
当[A]=m2，[B]=1时，则由新定义可知：[B×B]=1，，
，当且仅当，即m=3时取等号．
综上可知a≤18，即a的取值范围是（-∞，18]．
19.【答案】解：（1）已知m和n满足m2-2m=4和n2-2n=4且m≠n,
将方程变形为：m2-2m-4=0，n2-2n-4=0，
因此m和n是二次方程x2-2x-4=0的两个根，
Δ=4+16=20＞0，
由韦达定理得：，
|m-n|===2．
（2）已知实数a,b满足：ab+（a+b）=19，a2b+ab2=78．
设s=a+b,p=ab,则ab+（a+b）=p+s=19，a2b+ab2=ab（a+b）=ps=78，
解方程组：，
s和p是方程t2-19t+78=0的根，解方程得或，
a2+b2=（a+b）2-2ab=s2-2p,
若s=13，p=6，则a,b是方程x2-13x+6=0的二实根，此方程有实根，
因此a2+b2=s2-2p=132-2 6=169-12=157；
若s=6，p=13，则a,b是方程x2-6x+13=0的二实根，而此方程无实根，
所以a2+b2的值为157．
（3）由韦达定理得：，
=，
此式需为整数，因k为整数，（k-3）2为整数，故需为整数．
x1，x2是一元二次方程x2-kx+k+3=0的两个不相等的实数根，
故Δ=k2-4k-12＞0，
解得k＜-2或k＞6，
又，所以k≥7，又需为整数，
所以27的正因数：1，3，9，27，
故k=24．
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