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2026-2027学年广西柳州地区民族高级中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，-2，3）关于平面Oxy的对称点为（　　）
A. （-1，-2，3） B. （1，2，3） C. （1，-2，-3） D. （1，2，-3）
2.已知点M在z轴上，且点M到点A（1，0，2）与到点B（1，-3，1）的距离相等，则点M的坐标为（　　）
A. （0，0，3） B. （0，0，-3） C. （0，0，-2） D. （0，0，2）
3.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　）
A.
B.
C. -
D.
4.已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则“”是“l∥α”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知空间四点A(3,0,0)，B(3,3,2)，C(0,3,0)，D(0,0,3)，则四面体ABCD的体积为（　　）
A. B. C. 15 D.
6.若是空间的一个基底，且向量，则（x,y,z）叫做向量在基底下的坐标.已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为（1，2，3），则向量在基底下的坐标为（　　）
A. B. C. D.
7.在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=A1B1=1，且，若BB1⊥平面ABC，则点B到直线AC1的距离为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E，F分别为PB，PD的中点，若，且，则x+y=（　　）
A. 1
B. 2
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则下列说法正确的是（　　）
A. 是平面ABC的一个法向量 B. A，B，C，Q四点共面
C. D.
10.下列说法正确的是（　　）
A. 若，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为
B. 若平面α与平面β的法向量分别为，则α⊥β
C. O为△ABC所在平面外一点，若，则点M∈平面ABC且在△ABC内部
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达 芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达 芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体.若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（　　）
A. B. 点C1到直线CQ的距离是
C. D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量=（m,2，3），=（-2，4，n），若∥，则m+n= .
13.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，异面直线PD与AC所成角的余弦值为，则AD= .
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，，，，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，且∥.
（1）求，；
（2）求向量与所成夹角的余弦值；
（3）求在上的投影向量（用坐标表示）.
16.(本小题15分)
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=，点F、G分别为棱BB1、BC的中点，，，设，，.
（1）用、、表示并求出||的值；
（2）求的值.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形.侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点.
（1）证明：平面ACE⊥平面PCD.
（2）求二面角E-AC-D的余弦值.
（3）求点D到平面PAC的距离.
18.(本小题17分)
如图，在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长都相等，点E、F分别是棱PC、PD的中点，点G在棱AB上，且.
（1）若，证明：GF∥平面BDE；
（2）若GF⊥BD，求λ的值；
（3）求平面BDE与平面PDG夹角余弦值的取值范围.
19.(本小题17分)
某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）.
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A-EF-B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】AB
11.【答案】ABC
12.【答案】5
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，所以，所以x=2，y=-4，
又因为，所以，所以z=2，
所以，，；
（2）因为，，
所以，，，
所以，
所以向量与所成夹角的余弦值为；
（3）在上的投影向量为．
16.【答案】（1） （2）
17.【答案】解：（1）证明：如图所示，取AD中点O，连接PO，
因为△PAD为正三角形，故PO⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，PO 平面PAD，
故PO⊥平面ABCD．
以O为原点，OA所在直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），D（-2，0，0），，C（-2，4，0），E为PD中点，
故．
所以，，，
，
故AE⊥PD；
，
故AE⊥CD．
因为PD∩CD=D，且PD，CD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD．
又AE 平面ACE，
所以平面ACE⊥平面PCD．
（2）平面ACD即为底面ABCD，取其一个法向量．
设平面EAC的法向量为，平面内向量，，
则，则，
令x=1，得y=1，，即．
所以．
又二面角E-AC-D为锐二面角，所以二面角E-AC-D的余弦值为．
（3）设平面PAC的法向量为，平面内向量，，
则，则，
令z=1，得，，即．
，
故由点到平面距离公式可得，
所以点D到平面PAC的距离为．
18.【答案】（1）证明：当λ=时，GG是AB的中点，因F是PB的中点，则GF∥PA，
连接AC，交BD于点O，连接OP，OE，
因四棱锥P-ABCD是正四棱锥，则OP⊥平面ABCD，且AC，BD互相垂直平分，
又E是PC的中点，则OE∥PA，故GF∥OE，
又GF 平面BDE，OE 平面BDE，故GF∥平面BDE （2） （3）
19.【答案】（1）证明：取CF中点M，连接OM，GM，
由题意可知AG∥EF且，又因为O是矩形EBCF对角线的交点，
所以OM∥EF且，
所以AG∥OM且AG=OM，
则四边形AOMG为平行四边形，
所以AO∥MG且AO=MG，
又因为AO 平面GCF，GM 平面GCF，
所以AO∥平面GCF （2） （3）不存在点P，理由：
假设存在满足条件的点P，设=（0，2λ，0）（0≤λ≤1），所以，
则，，
设平面EBP的一个法向量为，
则，
所以，取，
由（2）知平面GFC的一个法向量，
则，
要使平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为，
则只需，即，
整理得-3-24λ=0，解得，
所以在棱AG上不存在点P，平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为
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