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2026-2027学年河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）高二（上）测试数学试卷（9月份）（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x∈N|-2≤x＜2}，B={x∈Z||x|＜2}，集合C=A∩B，则集合C的子集个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若复数z=1-i,i为虚数单位，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2026，则下列叙述中错误的是（　　）
A. 2026，x1，x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，x3，x4，x5的平均数
B. 2026，x1，x2，x3，x4，x5的方差不大于x1，x2，x3，x4，x5的方差
C. 2026，x1，x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5的中位数
D. 2026，x1，x2，x3，x4，x5的极差等于x1，x2，x3，x4，x5的极差
4.一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色.若从中任取两个小球，则下列说法错误的是（　　）
A. 恰有一个红球的概率为
B. 两个球都是红球的概率为
C. “至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件
D. “至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件
5.已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（　　）
A. 0 B. C. 2 D. 1
6.如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，M，N分别为AE，DF的中点，将△ADE，△BDF，△CEF分别沿DE，DF，EF折起，使得A，B，C三点重合，此时MN=（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在平面四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，△BCD为等边三角形，当点M在对角线AC上运动时，的最小值为（　　）
A. -2
B.
C. -1
D.
8.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ex满足，则的最小值为（　　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列四个命题中正确的是（　　）
A. 过点（3，1），且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y-2=0
B. 已知两条直线l1：（3+t）x+4y=5-3t,l2：2x+（5+t）y=8，若l1∥l2，则t=-7
C. 若直线kx-y-k-1=0和以M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或
D. 若三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为{-1，1}
10.已知，，，则下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. D.
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，BC=2，AA1=3，M、N分别为B1C1、A1B1的值，则下列结论正确的是（　　）
A. 异面直线BM与AC所成角的余弦值为
B. 点T为长方形ABCD内一点，满足D1T∥平面BMN时，D1T的最小值为
C. 三棱锥B-B1MN的外接球的体积为14π
D. 过点D，M，N的平面截长方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点（1，3），且与直线l：的夹角为30°的直线方程为 .
13.如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为 .
14.已知△ABC面积为1，边AC，AB上的中线为BD，CE，且，则边AC的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量.
（1）若=，求x的取值；
（2）若向量，夹角为钝角，求x的取值范围.
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若cos2A+cos2B+sin2C=sinAsinB+2.
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，∠ACB的平分线交AB于点D，求线段CD长度的取值范围.
17.(本小题15分)
已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，-4）.
（1）若直线l1过点C，且点A，B到直线l1的距离相等，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线l2的方程.
18.(本小题17分)
南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）按照分层抽样从[60，70）和[70，80）两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在[60，70）内的概率；
（3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）.已知每一局比赛中甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响.求甲获得冠军的概率.
19.(本小题17分)
如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，AD⊥AE，AE=.将△ADE沿AD翻折至△ADP，如图2.点M在线段PD上运动.
（1）若PM=MD，证明：PB∥平面MAC；
（2）若AM⊥CD，且VM-ABP=2VM-ACD，证明：平面PAD⊥平面PCD；
（3）求二面角M-CD-A的余弦值的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】BD
11.【答案】BD
12.【答案】y=3或y=x+3-
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】x=-8或x=6
16.【答案】解：（1）因为cos2A+cos2B+sin2C=sinAsinB+2，
所以：1-sin2A+1-sin2B+sin2C=sinAsinB+2，
即sin2C-sin2A-sin2B=sinAsinB，
由正弦定理得c2-a2-b2=ab,即a2+b2-c2=-ab,
由余弦定理得，
又C∈（0，π），所以；
（2）因为S△ABC=S△ACD+S△BCD，
所以，
解得，
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2+ab,
设s=a+b,p=ab,则4=s2-p,
由基本不等式：，
故，解得，故，
又s=a+b＞c=2，所以，
因此．
17.【答案】解：（1）因为点A，B到直线l1的距离相等，所以直线l1与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l1通过AB的中点，
所以，
所以l1的方程为，即13x+5y-32=0．
②当直线l1与AB平行，
因为，且l1过点C，
所以l1方程为y+4=x-4，即x-y-8=0；
综上：直线l1的方程为x-y-8=0或13x+5y-32=0．
（2）由题意设P（a,0），Q（0，b），其中a,b为正数，可设直线l2的方程为，
因为直线l2过点A（2，3），所以，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当即时，ab取得最小值24，
所以△OPQ面积，
所以当a=4，b=6时，△OPQ面积最小，
此时直线l2的方程为，即3x+2y-12=0．

18.【答案】解：（1）由频率分布直方图得，（0.005+a+0.030+0.035+0.010）×10=1，解得a=0.020，
估计高一年级初赛成绩的平均数为x=（55×0.005+0.020×65+0.030×75+0.035×85+95×0.010）×10=77.5；
（2）[60，70）组与[70，80）组的频率比为0.2：0.3=2：3，因此抽样人数分别为2人与3人，
设五名学生为A、B、C、D、E，其中A、B在[60，70）组，C、D、E在[70，80）组，
因此样本空间Ω={（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（C，D）、（C，E）、（D，E）}，n（Ω）=10，
记“有1名或2名学生成绩在[60，70）”为事件N，N={（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（B，C）、（B，D）、（B，E）}，n（N）=7，
因此有1名或2名学生的成绩在[60，70）内的概率为；
（3）已知每一局比赛中甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响，
设事件A1为甲在第一局中获得胜利，事件A2为甲在第二局中获得胜利，事件A3为甲在第三局中获得胜利，
因此为乙在第一局中获得胜利，为乙在第二局中获得胜利，为乙在第三局中获得胜利，
故，，
甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢：甲赢、甲赢；甲输、甲赢、甲赢．
即为事件，
因此=
故．
则甲获得冠军的概率为．
19.【答案】解：（1）证明：如图，作出符合题意的图形，
连接AC，BD相交于点O，连接OM，
四边形ABCD为菱形，所以O为BD中点，
又M为PD中点，所以PB∥OM，
又OM 平面MAC，PB 平面MAC，所以PB∥平面MAC．
（2）如图，作出符合题意的图形，
因为VM-ABP=2VM-ACD，有VB-AMP=2VC-AMD，
所以VC-AMP=2VC-AMD，得S△AMP=2S△AMD，
有M是PD靠近D的三等分点，则，
又AD⊥AP，，AD=1，所以，
，DM=，则AM2+DM2=AD2，即AM⊥DM，AM⊥PD，
又AM⊥CD，PD∩CD=D，PD，CD 平面PCD，
所以AM⊥平面PCD，又AM 平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD；
（3）由AD⊥AE，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．
可得A（0，0，0），，D（1，0，0），P（0，y,z），
由题意得平面ACD的一个法向量为，
设平面PCD的一个法向量为，，，
由，得，
令x1=3，则，
所以，令t=，
因为，所以y2+z2=2，令，
则有，得，
有，得，
即，
即二面角M-CD-A的余弦值的最小值．
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