资源简介

2026-2027学年湖南省衡阳市衡阳县第五中学高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在空间直角坐标系O-xyz中，点（1，-2，3）关于y轴的对称点为（　　）
A. （-1，-2，-3） B. （-1，2，-3） C. （-1，-2，3） D. （1，2，3）
2.已知过原点的直线l与圆C：（x-2）2+y2=1相交，则直线l的斜率的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
3.已知是直线l的方向向量，直线l经过点P（-1，0，1），则点Q（2，4，6）到直线l的距离为（　　）
A. B. C. D.
4.设a＜0，两直线x-a2y+1=0与（a2+1）x+by+3=0垂直，则ab的最大值为（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
5.已知向量，，则=（　　）
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），圆C：（x-a）2+y2=1.若圆C上存在点M，使得|MA|2+|MB|2=12，则实数a的值不可能是（　　）
A. -1 B. 0 C. D. -2
7.如图，在圆锥PO中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线PA，PB的中点，，记，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=BC，E，F分别为CD，PC的中点，则直线PE与平面ABF所成角的正弦值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则下列结论中正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则m=-1
C. 不存在实数λ，使得
D. 若，则
10.已知圆O：x2+y2=1，圆，则（　　）
A. 无论k取何值，圆心Ck始终在直线上
B. 若圆O与圆Ck有公共点，则实数k的取值范围为
C. 若圆O与圆Ck的公共弦长为，则k=±1或
D. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为
11.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AE=BC=2.AB=AD=1，，则（　　）
A. BD⊥EC
B. BF∥平面ADE
C. 平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为
D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆C1：（x+2）2+（y+3）2=r2（r＞0）与圆C2：（x-1）2+（y-1）2=1没有公共点，则r的取值范围是 .
13.设点A（-2，3），B（0，a），若直线AB关于y=a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2=1有公共点，则a的取值范围是 ．
14.如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为，，则顶点D到平面α的距离是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C：（x-6）2+（y-9）2=100，点A坐标为（0，-1），B为圆C上动点，AB中点为M．
（1）当点B在圆C上动时，求点M的轨迹方程；
（2）过点（0，-2）的直线l与M的轨迹相交于P，Q两点，且|PQ|=8，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.
（1）求直线和的交点坐标；
（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，点E，F分别为棱AB，A1B1的中点.
（1）求证：AF∥平面B1CE；
（2）求直线C1E与直线AF的夹角的余弦值；
（3）求点F到平面B1C1E的距离.
18.(本小题17分)
如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=AC=1，点E是PD的中点.
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求二面角E-AC-B的大小.
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1中点.
（1）求证：C1M⊥B1D；
（2）求直线AB与平面DEB1所成角的正弦值；
（3）在线段AB上是否存在点H，使得平面DEB1与平面HEB1所成角的余弦值为？若存在，求出AH的长度；若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】（0，4）∪（6，+∞）
13.【答案】[，]
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设M（x,y），B（x0，y0），则由点B在圆C上，则（x0-6）2+（y0-9）2=100，
又由中点公式得，解得，
代入上式得，（2x-6）2+（2y+1-9）2=100，化简得：（x-3）2+（y-4）2=25，
故线段AB的中点Q的轨迹方程为（x-3）2+（y-4）2=25；
（2）由（1），得M的轨迹是以（3，4）为圆心，5为半径的圆．
过点（0，-2）的直线l与M的轨迹相交于P，Q两点，且|PQ|=8，可得圆心到直线的距离为d==3．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆心到直线的距离为3，符合题意，
当直线l的斜率存在，设直线的方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，
圆心到直线的距离d==3，解得k=，故直线l的方程为3x-4y-8=0．
综上所述：直线l的方程为x=0或3x-4y-8=0．
16.【答案】解：（1）直线l1的方程为2x+2y-5=0，故它的斜率为-1，
若直线l2在y轴上的截距为，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为1，
故直线l2在的方程为y=x+．
由，求得，可得直线l1和l2的交点坐标为（1，）．
（2）由题意，直线l3的斜率存在，设为k,则直线l3的方程为y-=k（x-1），
它与两坐标轴的交点为（0，-k）、（1-，0），
且-k＞0，1-＞0．
根据直线l3与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为= （-k） （1-），
求得k=-1，
可得直线l3的方程为x+y-=0．
17.【答案】（1）证明：由直三棱柱的性质知，AB∥A1B1，AB=A1B1，
因点E，F分别为棱AB，A1B1的中点，
所以AE∥B1F，AE=B1F，
所以四边形AEB1F是平行四边形，所以AF∥B1E，
又AF 平面B1CE，B1E 平面B1CE，
所以AF∥平面B1CE．
（2）解：由题意知，AB，AC，AA1两两垂直，
故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C1（0，2，2），E（1，0，0），F（1，0，2），
所以，，
所以cos＜，＞===-，
故直线C1E与直线AF的夹角的余弦值为．
（3）解：由（2）知B1（2，0，2），，
所以，，
设平面B1C1E的法向量为，则，
令z=1，则，
故点F到平面B1C1E的距离．
18.【答案】证明：由题意可知AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，
以A为坐标原点，以AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
因为PA=AB=AC=1，所以A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），
所以，
即，
因此，故可知AC⊥PB；

19.【答案】解：（1）证明：由题意知，CC1⊥CB，CC1⊥CA，AC⊥CB，
则以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），C1（0，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），M（1，1，3），
所以，
因为，所以C1M⊥B1D．
（2）由（1）得，C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），
所以，
设平面DEB1的法向量为，则，，
所以，令z=2，得x=1，y=-1，所以，
所以，
即AB与平面DEB1所成角的正弦值为．
（3）假设存在满足题意的点H，设（0≤λ≤1），
由（1）（2）知，
所以（xH-2，yH，zH）=（-2λ，2λ，0），得，解得，
即H（2-2λ，2λ，0），所以，
设平面HEB1的一个法向量为，则，，
所以，
令b=1，得，所以，
又平面DEB1的一个法向量为，
故，
整理得4λ2+36λ-19=0，由0≤λ≤1，解得．
即当点H为AB的中点时，平面DEB1与平面HEB1所成角的余弦值为，
此时，即．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑