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1.3 公式法 同步训练测试卷
（满分：100分 考试时间：90分钟）
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. x + 4y B. x - 4y C. -x - 4y D. x - 4y
2. 分解因式 x - 9 的结果是（ ）
A. (x-3) B. (x+3) C. (x+3)(x-3) D. (x+9)(x-9)
3. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）
A. x + xy + y B. x - 2x - 1 C. x + 4x + 4 D. x + y
4. 分解因式 x + 4x + 4 的结果是（ ）
A. (x+2) B. (x-2) C. (x+4) D. (x-4)
5. 若 x + mx + 16 是完全平方式，则m的值为（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
6. 分解因式 2x - 8 的结果是（ ）
A. 2(x -4) B. 2(x+2)(x-2) C. 2(x-2) D. (2x+4)(x-2)
7. 分解因式 x - 2x + x 的结果是（ ）
A. x(x -2x) B. x(x-1) C. x(x+1) D. x(x-1)(x+1)
8. 下列因式分解正确的是（ ）
A. x + y = (x+y) B. x - y = (x-y)
C. x - 2xy + y = (x-y) D. x - x + 1 = (x-1)
9. 利用因式分解计算：101 - 99 的结果是（ ）
A. 400 B. 4000 C. 200 D. 2000
10. 分解因式 (a+b) - 4(a+b) + 4 的结果是（ ）
A. (a+b-2) B. (a+b+2) C. (a-b-2) D. (a+b-4)
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 分解因式：x - 16 = ________。
12. 分解因式：25a - 36b = ________。
13. 分解因式：x + 10x + 25 = ________。
14. 分解因式：4a - 12ab + 9b = ________。
15. 分解因式：3x - 27 = ________。
16. 分解因式：-2x + 12x - 18 = ________。
17. 若 x + kx + 16 是完全平方式，则 k = ________。
18. 利用因式分解计算：78 - 22 = ________。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分16分，每小题4分）把下列各式分解因式：
(1) 16x - 25y (2) x - 14x + 49
3mx - 12my (4) 2x - 12x + 18x
20.（本题满分10分，每小题5分）利用因式分解进行简便计算：
(1) 99 + 198 + 1 (2) 2024 - 2024×48 + 24
（本题满分6分）分解因式：(x +y ) - 4x y
22.（本题满分6分）已知 a + b = 5，ab = 6，求 a + b 和 (a-b) 的值。
23.（本题满分4分）求证：当n为整数时，(n+7) - (n-5) 能被24整除。
24.（本题满分4分）观察下列等式：
1×3+1=4=2 ；2×4+1=9=3 ；3×5+1=16=4 ；4×6+1=25=5 ……
请你找出规律，并用含n的等式表示，再用因式分解的知识说明理由。
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. x + 4y B. x - 4y C. -x - 4y D. x - 4y
【正确答案】B
【知识点】平方差公式的结构识别
【解析】平方差公式要求两项都是平方项且符号相反。A两项同号；B=x -(2y) ，可以用；C两项同号；D第一项不是平方项。
2. 分解因式 x - 9 的结果是（ ）
A. (x-3) B. (x+3) C. (x+3)(x-3) D. (x+9)(x-9)
【正确答案】C
【知识点】平方差公式的直接运用
【解析】x -9=x -3 =(x+3)(x-3)，注意不是完全平方。
3. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）
A. x + xy + y B. x - 2x - 1 C. x + 4x + 4 D. x + y
【正确答案】C
【知识点】完全平方式的识别
【解析】A中间项应为2xy；B常数项应为+1；C=x +2·x·2+2 =(x+2) ，是完全平方式；D只有两项。
4. 分解因式 x + 4x + 4 的结果是（ ）
A. (x+2) B. (x-2) C. (x+4) D. (x-4)
【正确答案】A
【知识点】完全平方公式的直接运用
【解析】x +4x+4=x +2·x·2+2 =(x+2) 。
5. 若 x + mx + 16 是完全平方式，则m的值为（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
【正确答案】D
【知识点】完全平方式中待定系数的求解
【解析】16=4 ，中间项mx=±2·x·4=±8x，所以m=±8。注意有正负两种情况。
6. 分解因式 2x - 8 的结果是（ ）
A. 2(x -4) B. 2(x+2)(x-2) C. 2(x-2) D. (2x+4)(x-2)
【正确答案】B
【知识点】先提公因式再用平方差公式
【解析】先提取公因式2：2x -8=2(x -4)，再用平方差公式得2(x+2)(x-2)。A选项没有分解彻底。
7. 分解因式 x - 2x + x 的结果是（ ）
A. x(x -2x) B. x(x-1) C. x(x+1) D. x(x-1)(x+1)
【正确答案】B
【知识点】先提公因式再用完全平方公式
【解析】先提取公因式x：x -2x +x=x(x -2x+1)，再用完全平方公式得x(x-1) 。
8. 下列因式分解正确的是（ ）
A. x + y = (x+y)
B. x - y = (x-y)
C. x - 2xy + y = (x-y)
D. x - x + 1 = (x-1)
【正确答案】C
【知识点】公式法的正误判断
【解析】A漏了2xy；B应为(x+y)(x-y)；C正确；D应为x -2x+1才是(x-1) 。
9. 利用因式分解计算：101 - 99 的结果是（ ）
A. 400 B. 4000 C. 200 D. 2000
【正确答案】A
【知识点】平方差公式的简便计算
【解析】101 -99 =(101+99)(101-99)=200×2=400。
10. 分解因式 (a+b) - 4(a+b) + 4 的结果是（ ）
A. (a+b-2) B. (a+b+2) C. (a-b-2) D. (a+b-4)
【正确答案】A
【知识点】完全平方公式中a、b为多项式的情况（整体思想）
【解析】把(a+b)看作整体，原式=(a+b) -2·(a+b)·2+2 =(a+b-2) 。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 分解因式：x - 16 = ________。
【正确答案】(x+4)(x-4)
【知识点】平方差公式的直接运用
【解析】x -16=x -4 =(x+4)(x-4)。
12. 分解因式：25a - 36b = ________。
【正确答案】(5a+6b)(5a-6b)
【知识点】平方差公式的运用
【解析】25a =(5a) ，36b =(6b) ，套用平方差公式得(5a+6b)(5a-6b)。
13. 分解因式：x + 10x + 25 = ________。
【正确答案】(x+5)
【知识点】完全平方公式的直接运用
【解析】x +10x+25=x +2·x·5+5 =(x+5) 。
14. 分解因式：4a - 12ab + 9b = ________。
【正确答案】(2a-3b)
【知识点】完全平方公式的运用
【解析】4a =(2a) ，9b =(3b) ，中间项-12ab=-2·2a·3b，得(2a-3b) 。
15. 分解因式：3x - 27 = ________。
【正确答案】3(x+3)(x-3)
【知识点】先提公因式再用平方差公式
【解析】先提取公因式3：3x -27=3(x -9)=3(x+3)(x-3)。
16. 分解因式：-2x + 12x - 18 = ________。
【正确答案】-2(x-3)
【知识点】先提公因式（含负号）再用完全平方公式
【解析】先提取公因式-2：-2x +12x-18=-2(x -6x+9)=-2(x-3) 。
17. 若 x + kx + 16 是完全平方式，则 k = ________。
【正确答案】±8
【知识点】完全平方式中待定系数的求解
【解析】16=4 ，中间项kx=±2·x·4=±8x，所以k=±8。
18. 利用因式分解计算：78 - 22 = ________。
【正确答案】5600
【知识点】平方差公式的简便计算
【解析】78 -22 =(78+22)(78-22)=100×56=5600。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分16分，每小题4分）把下列各式分解因式：
(1) 16x - 25y
【正确答案】(4x+5y)(4x-5y)
【知识点】平方差公式的运用
【解析】16x =(4x) ，25y =(5y) ，套用平方差公式得(4x+5y)(4x-5y)。
(2) x - 14x + 49
【正确答案】(x-7)
【知识点】完全平方公式的运用
【解析】x -14x+49=x -2·x·7+7 =(x-7) 。
(3) 3mx - 12my
【正确答案】3m(x+2y)(x-2y)
【知识点】先提公因式再用平方差公式
【解析】先提取公因式3m：3mx -12my =3m(x -4y )，再用平方差公式得3m(x+2y)(x-2y)。
(4) 2x - 12x + 18x
【正确答案】2x(x-3)
【知识点】先提公因式再用完全平方公式
【解析】先提取公因式2x：2x -12x +18x=2x(x -6x+9)，再用完全平方公式得2x(x-3) 。
20.（本题满分10分，每小题5分）利用因式分解进行简便计算：
(1) 99 + 198 + 1
【正确答案】10000
【知识点】完全平方公式的简便计算
【解析】99 +198+1=99 +2·99·1+1 =(99+1) =100 =10000。
(2) 2024 - 2024×48 + 24
【正确答案】4000000
【知识点】完全平方公式的简便计算
【解析】原式=2024 -2·2024·24+24 =(2024-24) =2000 =4000000。
21.（本题满分6分）分解因式：(x +y ) - 4x y
【正确答案】(x+y) (x-y)
【知识点】公式的综合运用（先用平方差再用完全平方）
【解析】原式=[(x +y )+2xy][(x +y )-2xy]=(x +2xy+y )(x -2xy+y )=(x+y) (x-y) 。注意分解要彻底。
22.（本题满分6分）已知 a + b = 5，ab = 6，求 a + b 和 (a-b) 的值。
【正确答案】a +b =13；(a-b) =1
【知识点】完全平方公式的变形与整体代入
【解析】a +b =(a+b) -2ab=5 -2×6=25-12=13；(a-b) =(a+b) -4ab=25-24=1。
23.（本题满分4分）求证：当n为整数时，(n+7) - (n-5) 能被24整除。
【正确答案】证明见解析
【知识点】平方差公式的整除证明
【解析】(n+7) -(n-5) =[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=(2n+2)×12=24(n+1)。因为n是整数，所以24(n+1)能被24整除，得证。
24.（本题满分4分）观察下列等式：
1×3+1=4=2 ；2×4+1=9=3 ；3×5+1=16=4 ；4×6+1=25=5 ……
请你找出规律，并用含n的等式表示，再用因式分解的知识说明理由。
【正确答案】n(n+2)+1=(n+1)
【知识点】规律探究与完全平方公式
【解析】规律为n(n+2)+1=(n+1) 。理由：左边=n +2n+1=(n+1) =右边，符合完全平方公式。第一章 因式分解
1.3 公式法
知识点梳理★例题精讲
一、学习目标
1. 理解运用公式法分解因式的意义，掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征；
2. 能熟练运用平方差公式 a -b =(a+b)(a-b) 进行因式分解；
3. 能熟练运用完全平方公式 a ±2ab+b =(a±b) 进行因式分解；
4. 掌握因式分解的一般步骤：先提公因式，再运用公式法，分解要彻底；
5. 能综合运用提公因式法和公式法解决较复杂的因式分解问题及实际应用。
二、重点掌握方向
（一）学习重点
1. 平方差公式的结构特征及运用平方差公式分解因式；
2. 完全平方公式的结构特征及运用完全平方公式分解因式；
3. 因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（公式）、三检查（是否彻底）。
（二）学习难点
1. 准确识别平方差公式和完全平方公式的结构特征；
2. 公式中的a、b可以是单项式也可以是多项式（整体思想）；
3. 综合运用提公因式法和公式法，确保分解彻底。
三、知识点清单总览
序号 知识点名称 核心内容
知识点一 平方差公式法 a -b =(a+b)(a-b)；二项式、两项平方异号
知识点二 完全平方公式法 a ±2ab+b =(a±b) ；三项式、两项平方同号、中间两倍积
知识点三 综合运用公式法 先提公因式再套公式；分解要彻底
四、知识点详解与例题精讲
知识点一：平方差公式法
【公式】a - b = (a + b)(a - b)
【文字叙述】两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
【结构特征】
① 左边是二项式，两项都是平方项，且符号相反（一正一负）；
② 右边是两个一次因式的积，即两数之和乘以两数之差；
③ 公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。
【例题1】分解因式：
(1) x - 25 (2) 9a - 4b
【正确答案】(1) (x+5)(x-5)；(2) (3a+2b)(3a-2b)
【知识点】平方差公式的直接运用
【解析】(1) x -25 = x -5 ，套用平方差公式得(x+5)(x-5)；(2) 9a =(3a) ，4b =(2b) ，套用公式得(3a+2b)(3a-2b)。
【例题2】分解因式：(x+p) - (x+q)
【正确答案】(2x+p+q)(p-q)
【知识点】平方差公式中a、b为多项式的情况（整体思想）
【解析】把(x+p)看作a，(x+q)看作b，套用平方差公式：原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q)。
【例题3】下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. x + y B. -x + y C. -x - y D. x - 3y
【正确答案】B
【知识点】平方差公式的结构识别
【解析】平方差公式要求两项都是平方项且符号相反。A两项同号；B=-x +y =y -x ，两项平方异号，可以用；C两项同号；D第二项不是平方项。
知识点二：完全平方公式法
【公式】a ± 2ab + b = (a ± b)
【文字叙述】两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
【完全平方式的特征】
① 必须是三项式（或可看成三项）；
② 有两个同号的平方项；
③ 中间项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。
【例题1】分解因式：
(1) x + 6x + 9 (2) 4x - 20xy + 25y
【正确答案】(1) (x+3) ；(2) (2x-5y)
【知识点】完全平方公式的直接运用
【解析】(1) x +6x+9中，x 是x的平方，9是3的平方，中间项6x=2·x·3，符合完全平方公式，得(x+3) ；(2) 4x =(2x) ，25y =(5y) ，中间项-20xy=-2·2x·5y，符合公式，得(2x-5y) 。
【例题2】下列式子中是完全平方式的是（ ）
A. a + ab + b B. a + 2a + 2 C. a - 2b + b D. a + 2a + 1
【正确答案】D
【知识点】完全平方式的识别
【解析】A中间项应为2ab不是ab；B常数项应为1不是2；C三项不是同一字母的形式；D a +2a+1=(a+1) ，是完全平方式。
【例题3】若 x + kx + 16 是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A. 8 B. -8 C. ±8 D. ±4
【正确答案】C
【知识点】完全平方式中待定系数的求解
【解析】x +kx+16是完全平方式，16=4 ，所以中间项kx=±2·x·4=±8x，因此k=±8。注意有两种情况：(x+4) 和(x-4) 。
知识点三：综合运用公式法
【因式分解的一般步骤】
① 一提：先看是否有公因式，有公因式先提取公因式；
② 二套：再看能否套用公式（平方差或完全平方）；
③ 三检查：检查分解是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
【例题1】分解因式：3ax - 3ay
【正确答案】3a(x+y)(x-y)
【知识点】先提公因式再用平方差公式
【解析】先提取公因式3a：3ax -3ay =3a(x -y )，再对x -y 用平方差公式分解，得3a(x+y)(x-y)。
【例题2】分解因式：2x - 8x + 8x
【正确答案】2x(x-2)
【知识点】先提公因式再用完全平方公式
【解析】先提取公因式2x：2x -8x +8x=2x(x -4x+4)，再对x -4x+4用完全平方公式，得2x(x-2) 。
【例题3】分解因式：(x +4) - 16x
【正确答案】(x+2) (x-2)
【知识点】公式的综合运用（先用平方差再用完全平方）
【解析】原式=[(x +4)+4x][(x +4)-4x]=(x +4x+4)(x -4x+4)，再分别用完全平方公式得(x+2) (x-2) 。注意分解要彻底。

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