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第四章《一元一次方程》章节测试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．下列各式中，属于方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．下列方程变形中，正确的是（ ）．
A．方程，系数化1，得；
B．方程，移项，得；
C．方程，去括号，得；
D．方程，去分母，得
4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．解方程，以下去分母正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．已知是关于的方程的解，则式子的值为______．
10．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________．
11．关于的一元一次方程的解是______．
12．若关于x的方程和有相同的解，则______．
13．已知实数，满足，，则的值为__________．
14．若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________．
15．如图中的长方形被分割成6个正方形，中央的最小正方形的边长为，则长方形的面积是______．
16．阅读以下内容：
我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便．
类似地，解方程，这个方程的解是________．
17．为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下：
购物款不超过200元不享受优惠；
购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
购物款超过600元一律享受八折优惠，
某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元
18．已知数轴上两点、对应的数分别为3、9，在数轴上有另外一点，当点到、两点的距离之差的绝对值为3时，则点表示的数是_________．
三、解答题（共9小题，共64分）
19．（6分）解方程
(1) (2) (3)
20．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程：
解：去分母(方程两边乘12)，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
系数化为1，得⑤
(1)以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
(2)上述小萌的解题过程从第 步开始出现错误．
(3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程．
21．（5分）已知与关于x的方程有相同的解．
(1)求k的值．
(2)直接写出方程的解．
22．（7分）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式．
根据上述知识，解答以下问题：
(1)是的 阶关系式；
(2)若是的3阶关系式，求x 的值；
(3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值．
23．（7分）学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）
若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用．
裁法一 裁法二 裁法三
型板材块数
型板材块数
(1)上表中， ， ；
(2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数；
(3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由．
24．（9分）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下：
解：原式
因为，所以原式．
小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题：
【尝试应用】
(1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______．
(2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____．
【拓展提高】
(3)已知，，，求的值．
(4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程．
25．（6分）材料题
问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式包装销售制成罐头销售每吨利润（万元）0.40.6
加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成．
公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司运输单价每吨装卸费甲每吨每千米5元50元乙每吨每千米6元30元
问题解决
(1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？
(2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米．
26．（9分）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段的长度是线段的长度的2倍，那么称点C为线段的“友好点”．
(1)如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为线段上一点，且点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为______；
(2)如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为数轴上一点，若点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为_______；
(3)如图③，若数轴上点A表示的数是，点C表示的数是，若点C为线段的“友好点”，则点B表示的数为________；
(4)如图④，若数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒． 当t为何值时，点P是线段的“友好点”．
27．（10分）项目式学习
进一步了解百分数在生活中的运用，提高利用百分数解决问题的能力．
素材1 实验学校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共80个．每个篮球售价为150元，比足球单价多25%．
素材2 采购时恰逢年中促销．商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上打七五折，又打了八折，按这个价格销售商城还有的利润．
素材3 采购时足球仍按照原价销售，每个足球的进价比篮球进价高，经采购人员预算发现：商家销售完这批篮球和足球可共获利1500元．
问题解决
任务1 确定足球的售价 每个足球的售价是多少元钱？
任务2 确定篮球的进价 每个篮球的进价是多少元钱？
任务3 问题解决的策略 为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动．商家继续给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：经过优惠后的购物总费用再打九折； 方案二：每买5个足球免费赠送2个篮球，不足5个不赠送； 方案三：购物超过3000元的部分每满200元，返现金30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．B
4．B
5．D
6．D
7．A
8．B
二、填空题
9．2022
10．
11．
12．8
13．
14．
15．1287
16．
17．80.6
18．或
三、解答题
19．（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
20．（1）解：第一步方程左右两边乘12，依据是等式的性质2；
（2）解：上述小萌的解题过程从第一步开始出现错误，错误原因是漏乘12；
(3)完整的解题过程．
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
21．（1）解：解方程得：，
∵方程与关于x的方程的解相同，
∴是关于x的方程的解，
∴，
解得；
（2）解：当时，
方程为，
去分母得，
去括号得，
移项合并得，
解得．
22．（1）解：∵，
∴是的7阶关系式；
（2）解：根据题意，得 ，
去分母，得，
整理，得，
解得 ；
（3）解： 由题意得：，
整理得：，
∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且，
∴含a，b的项的系数均为0，即且，
解得，
将，代入，得，
综上所述，．
23．（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板，
按裁法三裁剪时，块型板材的长为，，
而块型板材的长为，所以无法裁出块型板；
∴，；
（2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张．
∵共需用A型板材块、B型板材块，
∴，，
∴，，
即裁法二的张数为；裁法三的张数：；
(3)解：不能，理由如下：
依题意，，
解得．
当时，，
故所购标准板材的总张数不能为张．
24．（1）解：∵a，b互为相反数，
，
互为倒数，
，
；
（2）解：当时，的值是2023，
，
，
当时，
；
（3）解：
∴
；
（4）解：设，
则方程可化为方程，
关于x的一元一次方程的解为，
∴关于m的一元一次方程的解为，
，
．
25．（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装，
根据题意得：
解得：
答：该工厂有9吨黄桃制成罐头，
（2）解：设加工厂到市场的距离为y千米，
根据题意得：
解得：
答：水果加工厂到市场的距离为47千米．
26．（1）解：根据“友好点”的定义可知，，
设点表示的数为，
∵点C为线段上一点，数轴上A，B两点所表示的数分别是，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴点表示的数为；
（2）解：根据“友好点”的定义可知，，
设点表示的数为，
∵点C为数轴上一点，且，数轴上A，B两点所表示的数分别是，，
∴点在线段上或在线段的延长线上；
当点在线段上时，
，则，解得；
当点在线段的延长线上时，
，则，解得；
综上所述，点表示的数为或．
（3）解：根据“友好点”的定义可知，，
设点表示的数为，
∵数轴上点A表示的数是，点C表示的数是，
当点在线段上时，，
则，解得；
当点在线段的延长线上时，，
则，解得；
综上所述，点表示的数为或．
（4）解：∵动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，点A表示的数是，
∴点所表示的数为，
∵点是线段的“友好点”，点B表示的数是，
∴当点在线段上时，
，
∴，解得；
当点在线段延长线上时，
，
∴，解得；
综上所述，t的值是或4，点P是线段AB的“友好点”．
27.任务1：
解：设每个足球的售价为元，
根据题意，得，
则；
答：每个足球的售价是元；
任务2：
解：设每个篮球的进价为元，
根据题意，得，
解得；
答：每个篮球的进价是元；
任务3：
解：设购买篮球个，则购买足球个，
由任务2知篮球进价为元，
∴足球进价为(元)，
篮球每个利润为元，足球每个利润为元，
根据题意，得，解得，
则足球数量为个．
（1）方案一：
先计算无额外优惠的总费用：(元)，
再打九折后的费用为(元)；
（2）方案二：
每买5个足球免费赠送2个篮球，，可赠送篮球个，
需购买篮球的数量为(个)，
总费用为(元)；
（3）方案三：
总费用为元，超过元的部分为(元)，
，即超过部分满个元，可返现元，
实际费用为(元)；
∵，
∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买．
答：学校应该选择方案二购买．

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