资源简介

松江一中2025-2026学年第二学期高一年级数学期末
2026.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．若点平面，点平面，则直线AB______平面（填合适的符号）
2．函数的最小正周期为______．
3．已知向量，，且，则______．
4．若复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为______．
5．若向量，满足，，且与的夹角为，则______．
6．已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为______．
7．在各棱长均为1的正三棱柱中，则点C到平面的距离为______．
8．已知，是关于x的实系数方程的两个虚根，______．
9．在△ABC中，已知，当时，△ABC的面积为______．
10．已知圆柱的底面半径为1，高为3，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线AB和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是______．
11．已知复数，，他们在复平面对应的点分别为，，则当t由连续变到时，向量扫过的面积是______．
12．如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图（将物体由前向后投射，在正面上所得的视图）如图2所示，则______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，15-16题每题5分）
13．设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
14．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在正方体中，点M是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．直线MB与直线AC始终异面
B．直线MB与直线始终垂直
C．存在点M使得直线MB与平面垂直
D．直线MB与平面始终平行
16．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分：第1小题满分7分，第2小题满分7分）
设复数，，．
（1）若是实数，是纯虚数，求；
（2）若，互为共轭复数，求．
18．（本题满分14分：第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知平面上有三点A，B，C，向量，．
（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k的值；
（2）若△ABC为直角三角形，其中A是直角，求实数k的值．
19．（本题满分14分：第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点F在线段DE上．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若点E是弧AB的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小．
20．（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，在正三棱柱中，底面△ABC的边长为1，P为棱上一点．
（1）若，求棱柱的表面积S的值；
（2）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小；
（3）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最大值及取到最大值时点P的位置．
21．（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．
（1）若函数，是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘t跃点’函数”的充分非必要条件；
（3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.7
12．如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图（将物体由前向后投射，在正面上所得的视图）如图2所示，则______．
【答案】7
【解析】
二、选择题
13.D 14.C 15.D 16.C
15．如图，在正方体中，点M是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．直线MB与直线AC始终异面 B．直线MB与直线始终垂直
C．存在点M使得直线MB与平面垂直 D．直线MB与平面始终平行
【答案】D
【解析】对于：当与重合时，直线即直线，此时直线与直线是异面直线；
当与重合时，直线即直线，此时直线与直线相交，所以直线与直线不是始终异面，故错误；
对于：以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
设，因为点是线段上的动点，所以，,则，即，
所以，
当时，，此时直线与直线垂直；
当时，，此时直线与直线不垂直，
所以直线与直线不是始终垂直，故错误；
对于：因为，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
若直线与平面垂直，则，即，
由，得，由，得，不存在这样的入使得等式同时成立，
所以不存在点使得直线与平面垂直，故错误．
对于：因为，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
，所以，
又因为平面，所以直线与平面始终平行，故正确．故选：D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20．（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，在正三棱柱中，底面△ABC的边长为1，P为棱上一点．
（1）若，求棱柱的表面积S的值；
（2）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小；
（3）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最大值及取到最大值时点P的位置．
【答案】（1） （2）
（3）当时，即为的中点时，
【解析】（1）；
（2）如图，在正三楼柱中，取的中点，连接，
则有，则四边形为平行四边形，
故，则为异面直线与所成角或其补角，
因为，底面的边长为1，
则
在中，由余弦定理得：
（3）如图，分别取的中点，连接，
在正三柱柱中，有，，
又平面，所以平面，
又平面，所以，则为二面角的平面角，
同理为二面角的平面角，设，则，又，
所以
则，
则当时，即为的中点时，
21．（本题满分18分：第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．
（1）若函数，是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘t跃点’函数”的充分非必要条件；
（3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）证明见解析
（3）存在，或．
【解析】（1）由已知得存在实数，
使得
所以
（2）若，则，此时
则对任意，令，即
显然是此方程的解，所以“对任意，为‘t跃点’函数”；
反之，若“对任意，为‘t跃点’函数”，
即对任意都有解，即．
取，得，从而，
因此＂＂是“对任意，为‘t跃点’函数”的充分非必要条件．
（3）假设存在，由，得，
令即方程有2025个根．
①当，即，有个根，不符合；
②当，即，有个根，不符合；
③当，即，有个根，所以；
④当，即，有个根，所以
综上，存在实数和正整数使得函数在上有2025个＂跃点＂，符合条件的和的值为或．

展开更多......

收起↑