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同济二附中2025-2026学年第二学期高一年级数学期末
2026.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设复数满足（其中i为虚数单位），则 .
2．函数是 函数（填＂奇＂或＂偶＂）.
3．函数，其中的导数 .
4．若向量满足，且与的夹角为，则 .
5．已知，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 .
6．已知平面向量，若与共线，则的值为 .
7．若，则 ．
8．已知，则 .
9．已知，若与夹角为钝角，则的取值范围为 .
10．已知，则 .
11．若复数满足，则的最小值是 .
12．如图，矩形中，分别为边上的动点，且．则的最小值为 .
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设，则＂＂是＂是实数＂的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
14．已知向量，若，则（ ）．
A．2 B． C． D．5
15．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ）．
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称＂正余弦函数＂，对于＂正余弦函数＂，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为； ②该函数为奇函数；
③该函数在时取到最大或最小值； ④该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知是关于的方程的一个根，其中．
（1）求的值；
（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．
18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数及点．
（1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
（2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值．
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图所示，公路一侧有一块空地，其中，规划局设计在中间开挖人工湖都在边上，（不与重合，在之间），且.
（1）若在距离点3km处，求的长度；
（2）为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．
20. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数．
（1）将函数化为的形式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围．
21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为．
（1）若的斜坐标为的斜坐标为，求的值；
（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由；
（3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小；
同济二附中2025-2026学年第二学期高一年级数学期末
2026.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设复数满足（其中i为虚数单位），则 .
【答案】13
2．函数是 函数（填＂奇＂或＂偶＂）.
【答案】偶
3．函数，其中的导数 .
【答案】
4．若向量满足，且与的夹角为，则 .
【答案】
5．已知，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
6．已知平面向量，若与共线，则的值为 .
【答案】
7．若，则 ．
【答案】
8．已知，则 .
【答案】
9．已知，若与夹角为钝角，则的取值范围为 .
【答案】
10．已知，则 .
【答案】0
11．若复数满足，则的最小值是 .
【答案】5
【解析】设，则，
因为，所以，
所以，所以，
设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，
又，所以，
所以等于到点和点的距离和，
因为，
当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，
由已知线段的方程为，
联立，解得，
所以当的坐标为取最小值，最小值为5，
所以当时，取最小值，最小值为5．
12．如图，矩形中，分别为边上的动点，且．则的最小值为 .
【答案】16
【解析】取线段的中点，连接，如下图所示：
因为，所以，且，
因为四边形为矩形，则，
因为，
所以，
当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为16．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设，则＂＂是＂是实数＂的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要
【答案】C
14．已知向量，若，则（ ）．
A．2 B． C． D．5
【答案】D
15．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ）．
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】∵目标函数为，可变形为，
此式是将中的替换为得到．
∴要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度．
16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称＂正余弦函数＂，对于＂正余弦函数＂，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为； ②该函数为奇函数；
③该函数在时取到最大或最小值； ④该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题知，点坐标为，
则
性质①：，值域为，正确．
性质②：，，
所以，错误．
性质③：当时，，非最值；
最值出现在，即，错误．
性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为，
故为周期函数，最小正周期为，正确．
综上，性质①④正确，共2个．故选：B．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知是关于的方程的一个根，其中．
（1）求的值；
（2）设复数满足是纯虚数，求实数的值．
【答案】（1）； （2）
18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数及点．
（1）若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
（2）若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值．
【答案】（1）； （2）．
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图所示，公路一侧有一块空地，其中，规划局设计在中间开挖人工湖都在边上，（不与重合，在之间），且.
（1）若在距离点3km处，求的长度；
（2）为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．
【答案】（1）； （2）
20. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数．
（1）将函数化为的形式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围．
【答案】（1）； （2）； （3）
【解析】（1）
.
（2）由可得，可得，
令，其中，
由题意可知，实数的取值范围即为函数在区间上的值域，
由可得，所以，
故，故实数的取值范围是．
（3），
当时，，且，
因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，
第二个最小值点为，因为有且只有一个，使得函数取得最小值，
则，解得，故实数的取值范围是．
21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
定义平面斜坐标系：如图，平面向量是两个单位向量，夹角为锐角，那么构成平面的一个基，若，则称有序数对为在这个基下的一个斜坐标，表示为；若一个复数在该斜坐标系中对应向量，记对应的斜坐标为．
（1）若的斜坐标为的斜坐标为，求的值；
（2）设复数对应斜坐标向量，若，问是否存在锐角，若存在，求出，若不存在，说明理由；
（3）记，在该斜坐标系中，若，求的大小；
【答案】（1） （2）不存在； （3）
【解析】（1）由题意得，，则，
则；
（2）由题意得，，
因为，所以
，则，因为为锐角，所以不存在；
（3）因为，
所以，
则
因为，所以，因为，所以，则，则．

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