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徐汇区2025-2026学年第二学期高二年级数学期末统考
2026.6
一、填空题
1．＂直线在平面上＂用集合语言描述为 ．
2．直线的倾斜角的大小为 ．
3．已知为正整数且，若组合数满足，则正整数 ．
4．已知事件与事件为互斥事件，且，则 ．
5．若一个圆柱的侧面积是，高为1，则这个圆柱的体积是 ．
6．在的二项展开式中，含项的系数为 （结果用数值表示）
7．已知，则函数在处的瞬时变化率为 ．
8．已知表示圆，则实数的值为 ．
9．已知点在直线上，是数列的前项和，则使成立的最小正整数 ．
10．已知点，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
11．平面上到两个不同的定点的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点．若点为曲线上的任意一点，则的最小值为 ．
12．若函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数，若曲线在点（为常数）处的切线方程为，记集合，则集合A ．
二、单选题
13．下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（ ）.
A．某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收；
B．某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问；
C．一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查；
D．销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌．
14．过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
15、已知是各项均为正数的等差数列，且公差是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，且满足，现有如下的两个判断：
①为奇数时，数据的中位数一定不大于数据的中位数；
②对任意的正整数，数据的方差一定不大于数据的方差．其中正确的结论是（ ）.
A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
16．已知三棱柱平面是内一点，点在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹是（ ）.
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分
三、解答题
17．某场篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如图．已知，且，．且十位数作为＂茎＂，个位数作为＂叶＂．
（1）若甲队队员得分的极差为32，乙得分的平均值为24，求其中x和的值；
（2）分别求甲队队员得分的第60百分位数和乙队队员得分的第25百分位数；
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，点分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
19．两人下棋，每局均无和棋且每局获胜的概率为，每局比赛相互独立．某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金。
（1）求以获胜的概率；
（2）若第一局比赛已获胜，后两人因为其他要事而终止比赛，他们都认为依据（在现有的状态下）两人最终胜的可能性大小按比例分配奖金最公平，问两人应如何分配奖金？
20．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）；
21．已知定义域为的函数，其导函数为，设，若对任意的，都有成立，则称函数具有＂性质＂.
（1）若，若函数具有＂性质＂，求实数a的取值范围；
（2）若的函数具有＂性质＂，求证：对任意两个不相等的实数，都有成立.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．平面上到两个不同的定点的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点．若点为曲线上的任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意，曲线过原点，则，
根据定义，对曲线上任意点，有，
由基本不等式得：，等号成立当且仅当，结合，得，满足三角不等式，存在这样的点，等号可取．
12．若函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数，若曲线在点（为常数）处的切线方程为，记集合，则集合A ．
【答案】
【解析】因为是上的严格减函数，所以函数的定义域为，
且是上的严格减函数．
所以曲线在点（为常数）处的切线斜率为
所以曲线在点（为常数）处的切线方程为：，即，其中
令，
所以，
因为是上的严格减函数，
所以在上的严格减函数，又，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，又，
所以恒成立，所以，所以集合．
二、选择题
13.D 14.B 15.A 16.C
15、已知是各项均为正数的等差数列，且公差是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，且满足，现有如下的两个判断：
①为奇数时，数据的中位数一定不大于数据的中位数；
②对任意的正整数，数据的方差一定不大于数据的方差．其中正确的结论是（ ）.
A．①②都错误 B．①②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】A
【解析】由于，结合图象可得，当时，，则①错误；
取，则，
，其中，
则，
,
当时，必有，则②错误．
综上，故选A.
16．已知三棱柱平面是内一点，点在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹是（ ）.
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分【答案】C
【解析】设三棱柱的高为在平面上的射影为，
则当共线时，直线和所成角取得最小值，
不妨设最小值为，则，
当时，直线和平面所成角取得最大值，
不妨设最大值为，则，
∴当直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等时，即到的距离等于到直线的距离，
设到的距离为，则，∴到的距离等于到的距离，
∴的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线的一部分，故选：C．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）获得2400元，获得300元
20．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）；
【答案】（1）； （2）
【解析】（1）∵椭圆的离心率为，点在椭圆上，
∴，解得，∴椭圆的方程为．
（2）∵过点的直线交椭圆于两点，
∴直线与轴不重合，设直线的方程为，
联立直线和椭圆方程，整理得，
由得，
由韦达定理得，
将代入，
令，则，
当且仅当，即时取等号，∴当时，的面积取最大值．
21．已知定义域为的函数，其导函数为，设，若对任意的，都有成立，则称函数具有＂性质＂.
（1）若，若函数具有＂性质＂，求实数a的取值范围；
（2）若的函数具有＂性质＂，求证：对任意两个不相等的实数，都有成立.
【答案】（1）； （2）见解析
【解析】（1）因为，所以，
由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令易知，在上，函数和均单调递减，
所以．
（2）函数具有＂性质＂，则，即，
构造函数，
所以，
故函数在是严格增函数，函数是严格减函数，
取，则，
即，即，
综上，对任意两个不相等的实数，都有成立．

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