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杨浦中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末
2026.6
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．复数（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于第______象限．
2．已知，向量，．若，则______．
3．设，，则向量在方向上的投影向量的坐标为______．
4．若两个单位向量，的夹角为80°，则与的夹角为______．
5．已知是平面的一条斜线，则与所成角的取值范围为______（角度单位用弧度）
6．已知平面向量，满足，，且，则______．
7．已知函数对任意的均满足，则______．
8．若幂函数在时的图像位于直线的上方，则s的取值范围是______．
9．若（，i是虚数单位），则______．
10．在锐角三角形△ABC中角A、B、C的对边分别为a，b，c，记，，若，则______．
11．已知平面内四个点，，，满足：，，则的最小值为______．
12．已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足，则的取值范围是______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．
13．已知平面向量，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
15．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
16．如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，点P为圆O上任意一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2
C． D．1
三、解答题（满分78分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，所有棱长均为1的四面体PABC中，E是PC的中点．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）求直线AE与BC所成角大小．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
已知关于x的实系数一元二次方程的两个虚数根为，．
（1）若（i是虚数单位），求实数p，q的值；
（2）若，，求的值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，PD⊥面ABCD，E为PD中点．
（1）设平面ABE与直线PC相交于点F，求证：EF∥CD；
（2）若，，求直线BE与平面PAD所成角的大小．
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分．
已知函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图像上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．
①当时，关于x的方程恰有三个不相等的实数根，，，求实数a的取值范围及的值；
②已知△ABC的三个顶点均在函数的图像上，且，，，点D在线段AB上运动，求的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
对于向量组，，，，（m为正整数且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”．
（1）设，n为正整数，若是向量组，，的“1向量”，求实数x的取值范围；
（2）设向量，n为正整数，则向量组，，，，是否存在“1向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知，，均是向量组，，的“1向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中有一点列，，，，满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
参考答案
一、填空题
1.三; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知平面内四个点，，，满足：，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】作出示意图如下：根据题意可
设，则根据题意可得，
又，过作于点，则，
又，所以
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：．
12．已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】已知相互垂直，则，所以
因为，所以，
又因为，所以即，
以的方向分别为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，则
设，则，
由且，可得,
已知，则，
所以，
因为，所以,
则，所以,
综上，的取值范围是．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.B 15.D 16.C
16．如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，点P为圆O上任意一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，如图．设，则．因为，可设，
由的边长为2，可知其外接圆的半径为，所以，则，
所以，所以，
所以．故选C.
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分．
已知函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图像上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．
①当时，关于x的方程恰有三个不相等的实数根，，，求实数a的取值范围及的值；
②已知△ABC的三个顶点均在函数的图像上，且，，，点D在线段AB上运动，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ， ②
【解析】（1）由图示得：，解得：
又，所以，所以，所以．
又因为过点，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以
（2）①图象上所有的点向右平移个单位长度，
得到
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到，当时，，
令，则
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，且
所以时，
当时，方程恰有三个不相等的实数根．
因为有三个不同的实数根
且关于对称，关于对称，则
两式相加得：，即，
所以．
②设，因为，
所以，
因为所以于是有，
所以
即，所以的取值范围是．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
对于向量组，，，，（m为正整数且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”．
（1）设，n为正整数，若是向量组，，的“1向量”，求实数x的取值范围；
（2）设向量，n为正整数，则向量组，，，，是否存在“1向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知，，均是向量组，，的“1向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中有一点列，，，，满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
【答案】（1） （2）存在 （3）
【解析】（1）由题意可得：，即
又故，），
故，解得，所以实数的取值范围为；
（2）存在＂1向量＂，且＂1向量＂为，理由如下：
由题意可得，若存在＂1向量＂，只需使，
又
即，即
当或6时，符合要求，故存在＂1向量＂，且＂1向量＂为；
（3）由题意，得即即，
同理
三式相加并化简，得
即，所以，
设，由，得
设，因为与关于点对称，与且关于点对称，
则依题意得：，
将①将入②得，从而
以上个式子相加化简得：
又由②知，，
即
所以
其中
、
所当且仅当时，等号成立，故

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