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九年级数学（人教版）上册第二十六章 二次函数
微专题·抛物线与存在性（8）定角与等角
二次函数与“定角、等角、倍半角”的存在性问题，解决角度存在性问题的核心策略： 一是“隐圆与圆周角定角模型”（定弦定角 圆心角为两倍 辅助圆与抛物线联立）； 二是“三角函数正切等角模型”（作垂线构直角 tan α = tan β 比例式建方程）； 三是“相似三角形转化等角模型”（公共角/对顶角 对应边成比例 对应角相等）； 四是“角倍半与角平分线综合模型”（外角等腰构造、轴对称翻折与角平分线定理）.
模型名称 考查题型与几何特征 核心公式 / 代数判定关系 解题方法与转化路径
辅助圆与圆周角定角 两定点构弦，张角为定角（） 圆心角 ，半径 ，圆心在线段垂直平分线上 外接圆方程与轨迹方程联立求交点法
三角函数正切等角 探究动点角与定角相等（） 作坐标轴垂线构直角三角形： 构造直角三角形正切比值法
相似三角形转化等角 含公共角或对顶角，探究动点等角 寻找公共角，证明两边对应成比例 ，导出对应角相等 构造相似转化法与几何比例式法
角倍半与角平分线压轴 动点角呈倍半关系（） 外角平分构造等腰三角形，或角平分线定理 外角构造法、轴对称翻折法与角平分线定理
一：定角存在性·辅助圆与圆周角转换
【模型 1】定弦定角·辅助圆与圆心坐标定位求解模型
【模型特征】已知两定点 （定弦），探究对称轴或抛物线上动点 ，使得张角 为特殊定角（如 等）. 【隐圆与圆心法解题方法】
① 第一步（确定圆心位置）：圆心 必在线段 的垂直平分线上；
② 第二步（由圆周角求圆心角与半径）：根据同弧所对圆心角 （当 时 为等腰直角三角形），求出外接圆半径 及圆心坐标 ；
③ 第三步（求交点坐标）：根据圆的几何方程 ，与动点轨迹（对称轴直线或抛物线方程）联立，求解点 坐标并验证上下分支. 【推导依据】九年级上册第二十四章《圆》中定理：“同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半”.
【典例 1】
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .对称轴为直线 .若抛物线对称轴上的点 满足 ，求点 的坐标.
【解答】
解：已知点 ，线段 在 轴上，其垂直平分线为抛物线的对称轴直线 .
设 的外接圆圆心为点 ，则点 必在直线 上，设 .
∵ ，根据圆周角定理，弦 所对的圆心角为 .
∴ 是以 为斜边的等腰直角三角形.
过点 作 轴于点 ，则 为 的中点，且 .
∴ 外接圆圆心为 或 ，外接圆半径为 .
以 为例（点 在 轴上方时），点 是 与对称轴直线 的交点：
当点 在点 上方时：；
当点 在点 下方时：；
同理，当圆心在 轴下方 时，根据圆周角与圆内/外角关系检验可知：
答：满足条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 1-1】（外接圆与对称轴交点定角）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .在 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
解：已知 ，线段 ，中点为 ，对称轴为直线 .
设 的外接圆圆心为 ，半径为 .
∵ ，∴ 弦 对应的圆心角 .
在等腰直角 中，斜边 ，高线 ，半径 .
∵ 点 要求在 轴下方，圆心 在点 异侧或同侧：
当圆心 时，圆与对称轴 在 轴下方的交点纵坐标为 ；
此时 ，符合在 轴下方的条件.
答：在抛物线对称轴上存在满足条件的点 .
【梯级演练 1-2】（抛物线上动点张角为45°）
如图，抛物线 与 轴交于 两点.点 是第一象限内抛物线上的动点.若 ，求点 的坐标.
解：已知 ，线段 ，中点为 .
若 ，由圆周角定理，点 必在以 为弦、圆心角为 的外接圆 上：
在等腰直角 中，圆心 ，半径 .
圆的几何方程为：.
将抛物线 与圆方程联立，设 ，则 ：
，解得 或 .
当 时，，.
此时点 满足条件.
答：符合条件的点 坐标为 .
【梯级演练 1-3】（构造等腰直角三角形定角45°）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .点 为抛物线第一象限图象上一动点.若 ，求点 的坐标.
解：已知点 在 轴负半轴， 为原点，线段 在 轴上.
∵ 点 在第一象限， 表示射线 与 轴正方向的夹角为 .
∴ 直线 是一条过点 且与 轴夹角为的直线，
由等腰直角三角形性质，直线 的解析式为 .
联立直线 与抛物线解析式：
消去 得：，整理得 .
解得 （点 本身），.
当 时，（且 位于第一象限）.
答：此时点 的坐标为 .
二、等角转化·三角函数正切法
【模型 2】两角相等·构造直角三角形与正切值相等方程模型
【模型特征】探究抛物线上动点 ，使得 或 等两角相等关系. 【正切三角函数方法】
① 第一步（作垂线构直角）：过动点 与已知定点作坐标轴垂线，构造包含待求角的直角三角形；
② 第二步（表示正切值）：利用直角三角形对边与邻边的比值表示出 与 ；
③ 第三步（列等式建方程）：由两角相等 ，列出关于动点横坐标 的代数方程；
④ 第四步（分类讨论与取舍）：根据动点在定直线同侧或异侧分情况讨论，解方程后结合象限范围取舍增根. 【推导几何】九年级下册第一章《锐角三角函数》正切定义 ，角相等则锐角正切值唯一相等.
【典例 2】
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 .点 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：已知 ，点 在 轴上，故线段 在 轴上.
在 中，（），
∴ .
设点 ，过点 作 轴于点 ：
在 中，.
∵ ，∴ ：
∴ .
∵ ，当 时，原式化简为：.
解得：；或 .
代入抛物线解析式求纵坐标：
① 当 时，；
② 当 时，（点 本身）；若点 在 轴上方且关于 轴对称位置可得 （检验不在抛物线上）.
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 2-1】（两点正切相等求动点）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .若点 是抛物线上的一个动点，当 时，求点 的坐标.
解：已知 ，线段 所在直线的斜边与坐标轴夹角为（）.
在 中，，；.
∵ 点 在 轴上，.
若 ，则直线 与直线 的夹角为 ：
① 当直线 垂直于 轴时（），（与点 重合，舍去）；
② 当直线 沿 轴方向时（即点 在 轴上），（点 ），此时 ；
③ 设 ，利用正切值相等建立方程，解得抛物线上另一对称动点坐标为 或 .
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 2-2】（动点角与定角相等）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .如果点 在 轴上，且 ，求点 的坐标.
解：在 中，，.
∴ .
点 在 轴上，过点 作垂线：
① 若点 在点 上方，易知不存在 ；
② 故点 位于点 下方，设 .
过点 作 于点 ，或利用角平分线与正切展开：
由 ，结合点 列方程：
解得点 的纵坐标为 或 .
答：点 的坐标为 .
三、等角转化·相似三角形与轴对称
【模型 3】公共角等角·构造相似三角形对应边成比例模型
【模型特征】已知图形中存在公共角或对顶角，探究动点 使得两三角形相似，从而导出对应等角关系. 【相似三角形转换方法】
① 第一步（找公共角）：识别出待求角所在的两个三角形，确定公共角或对顶角；
② 第二步（两边成比例）：由 ；
③ 第三步（求动点坐标）：将线段长转化为动点坐标代数式，建立方程求出解并检验. 【推导依据】九年级下册第二十七章《相似》：“两边成比例且夹角相等的两三角形相似，对应角相等”.
【典例 3】（经典对顶角与相似）
如图，点 为 轴正半轴上一点，过点 任作直线与抛物线 交于 两点.点 为抛物线顶点.证明：.
【解答】
证明：设过点 的直线解析式为 .
联立直线与抛物线解析式：.
设点 ，由一元二次方程根与系数的关系：.
作 轴于 ， 轴于 ：
在 与 中，；
同理，在包含点 的直角三角形中计算对应角的正切值：
利用 进行代数式化简，可得 .
∵ 两个角均为锐角且正切值严格相等，
∴ 恒成立.
【梯级演练 3-1】（相似三角形对应角相等）
如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，顶点为 .抛物线上有一点 ，使得 .求点 的坐标.
解：已知 .线段 在 轴上.
在 中（ 为对称轴垂足），，
∴ .
设动点 ，过点 作 轴于点 ：
在 中，.
∵ ，∴ ：
即 （）.
解得：；或 .
代入抛物线求纵坐标：
当 时，；
当 时，（点 顶点本身）.
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 3-2】（角相等构造相似三角形）
如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 .点 在抛物线上，过点 作 轴交直线 于点 .若 ，求点 的坐标.
解：直线 过点 ，其解析式为 .
在 中，直线 与水平方向夹角为.
∵ 轴，∴ 为等腰直角三角形或包含特殊角的直角三角形.
由 ，根据三角函数值相等列出一元二次方程：
联立求解得点 坐标为 或 等相关解.
答：符合条件的点 坐标为 或 .
四、倍半角与角平分线
【模型 4】角倍半关系·构造等腰三角形与角平分线压轴模型
【模型特征】探究动点 满足 或 等倍半角关系. 【角倍半转化方法】
① 外角平分法：构造等腰三角形，利用外角等于两不相邻内角和（）；
② 角平分线轴对称法：作定边关于角平分线的对称点，将二倍角化为全等对称角；
③ 正切倍角转化：在角平分线上作垂线构造双直角三角形，由等面积法或相似比求解. 【推导依据】八年级上册第十一章《三角形》外角性质及第十二章《全等三角形》角平分线性质定理.
【典例 4】
如图，抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 .点 在对称轴 上，若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：已知 ，对称轴为直线 .垂足为 .
在 中，.
∵ 且 ，∴ 是等腰直角三角形.
∴ （即直线 与 轴夹角为）.
点 在对称轴上，连接 ：
∵ ：
① 若点 在点 下方且与点 重合：
当点 为 时，线段 落在 轴上，此时 .
∴ 点 是一个解；
② 若点 在点 上方：
.
此时 轴，但点 在直线 上， 不能垂直于 轴（舍去）；
③ 若点 在 轴下方：
由等腰三角形对称性，点 满足 （此时 为等腰直角三角形）.
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 4-1】（2025·广东中考真题改编）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标.
解：在 中，，设 ，则 .
若 ，过点 作 轴于 ：
在 内部作角平分线 ，使得 .
利用初中直角三角形角平分线性质定理与等面积法：
解得 或利用初中构造等腰三角形外角平分法求得点 横坐标，
代入抛物线解析式求得对应动点坐标为 或 .
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 4-2】（2026·南京九年级期中压轴）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .连接 .点 在抛物线上，若直线 平分 ，求点 的坐标.
解：在 中，，.
由角平分线性质，直线 为 的平分线：
设角平分线交 轴于点 ，由三角形内角平分线定理：
.
由此求得点 坐标，确定角平分线 的解析式为 .
将直线解析式与抛物线方程联立，解得抛物线上交点 的坐标.
答：符合条件的点 坐标为所求交点值.九年级数学（人教版）上册第二十六章 二次函数
微专题·抛物线与存在性（8）定角与等角
二次函数与“定角、等角、倍半角”的存在性问题，解决角度存在性问题的核心策略： 一是“隐圆与圆周角定角模型”（定弦定角 圆心角为两倍 辅助圆与抛物线联立）； 二是“三角函数正切等角模型”（作垂线构直角 tan α = tan β 比例式建方程）； 三是“相似三角形转化等角模型”（公共角/对顶角 对应边成比例 对应角相等）； 四是“角倍半与角平分线综合模型”（外角等腰构造、轴对称翻折与角平分线定理）.
模型名称 考查题型与几何特征 核心公式 / 代数判定关系 解题方法与转化路径
辅助圆与圆周角定角 两定点构弦，张角为定角（） 圆心角 ，半径 ，圆心在线段垂直平分线上 外接圆方程与轨迹方程联立求交点法
三角函数正切等角 探究动点角与定角相等（） 作坐标轴垂线构直角三角形： 构造直角三角形正切比值法
相似三角形转化等角 含公共角或对顶角，探究动点等角 寻找公共角，证明两边对应成比例 ，导出对应角相等 构造相似转化法与几何比例式法
角倍半与角平分线压轴 动点角呈倍半关系（） 外角平分构造等腰三角形，或角平分线定理 外角构造法、轴对称翻折法与角平分线定理
一：定角存在性·辅助圆与圆周角转换
【模型 1】定弦定角·辅助圆与圆心坐标定位求解模型
【模型特征】已知两定点 （定弦），探究对称轴或抛物线上动点 ，使得张角 为特殊定角（如 等）. 【隐圆与圆心法解题方法】
① 第一步（确定圆心位置）：圆心 必在线段 的垂直平分线上；
② 第二步（由圆周角求圆心角与半径）：根据同弧所对圆心角 （当 时 为等腰直角三角形），求出外接圆半径 及圆心坐标 ；
③ 第三步（求交点坐标）：根据圆的几何方程 ，与动点轨迹（对称轴直线或抛物线方程）联立，求解点 坐标并验证上下分支. 【推导依据】九年级上册第二十四章《圆》中定理：“同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对圆心角的一半”.
【典例 1】
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .对称轴为直线 .若抛物线对称轴上的点 满足 ，求点 的坐标.
【解答】
解：已知点 ，线段 在 轴上，其垂直平分线为抛物线的对称轴直线 .
设 的外接圆圆心为点 ，则点 必在直线 上，设 .
∵ ，根据圆周角定理，弦 所对的圆心角为 .
∴ 是以 为斜边的等腰直角三角形.
过点 作 轴于点 ，则 为 的中点，且 .
∴ 外接圆圆心为 或 ，外接圆半径为 .
以 为例（点 在 轴上方时），点 是 与对称轴直线 的交点：
当点 在点 上方时：；
当点 在点 下方时：；
同理，当圆心在 轴下方 时，根据圆周角与圆内/外角关系检验可知：
答：满足条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 1-1】（外接圆与对称轴交点定角）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .在 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
解：已知 ，线段 ，中点为 ，对称轴为直线 .
设 的外接圆圆心为 ，半径为 .
∵ ，∴ 弦 对应的圆心角 .
在等腰直角 中，斜边 ，高线 ，半径 .
∵ 点 要求在 轴下方，圆心 在点 异侧或同侧：
当圆心 时，圆与对称轴 在 轴下方的交点纵坐标为 ；
此时 ，符合在 轴下方的条件.
答：在抛物线对称轴上存在满足条件的点 .
【梯级演练 1-2】（抛物线上动点张角为45°）
如图，抛物线 与 轴交于 两点.点 是第一象限内抛物线上的动点.若 ，求点 的坐标.
解：已知 ，线段 ，中点为 .
若 ，由圆周角定理，点 必在以 为弦、圆心角为 的外接圆 上：
在等腰直角 中，圆心 ，半径 .
圆的几何方程为：.
将抛物线 与圆方程联立，设 ，则 ：
，解得 或 .
当 时，，.
此时点 满足条件.
答：符合条件的点 坐标为 .
【梯级演练 1-3】（构造等腰直角三角形定角45°）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .点 为抛物线第一象限图象上一动点.若 ，求点 的坐标.
解：已知点 在 轴负半轴， 为原点，线段 在 轴上.
∵ 点 在第一象限， 表示射线 与 轴正方向的夹角为 .
∴ 直线 是一条过点 且与 轴夹角为的直线，
由等腰直角三角形性质，直线 的解析式为 .
联立直线 与抛物线解析式：
消去 得：，整理得 .
解得 （点 本身），.
当 时，（且 位于第一象限）.
答：此时点 的坐标为 .
二、等角转化·三角函数正切法
【模型 2】两角相等·构造直角三角形与正切值相等方程模型
【模型特征】探究抛物线上动点 ，使得 或 等两角相等关系. 【正切三角函数方法】
① 第一步（作垂线构直角）：过动点 与已知定点作坐标轴垂线，构造包含待求角的直角三角形；
② 第二步（表示正切值）：利用直角三角形对边与邻边的比值表示出 与 ；
③ 第三步（列等式建方程）：由两角相等 ，列出关于动点横坐标 的代数方程；
④ 第四步（分类讨论与取舍）：根据动点在定直线同侧或异侧分情况讨论，解方程后结合象限范围取舍增根. 【推导几何】九年级下册第一章《锐角三角函数》正切定义 ，角相等则锐角正切值唯一相等.
【典例 2】
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 .点 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：已知 ，点 在 轴上，故线段 在 轴上.
在 中，（），
∴ .
设点 ，过点 作 轴于点 ：
在 中，.
∵ ，∴ ：
∴ .
∵ ，当 时，原式化简为：.
解得：；或 .
代入抛物线解析式求纵坐标：
① 当 时，；
② 当 时，（点 本身）；若点 在 轴上方且关于 轴对称位置可得 （检验不在抛物线上）.
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 2-1】（两点正切相等求动点）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .若点 是抛物线上的一个动点，当 时，求点 的坐标.
解：已知 ，线段 所在直线的斜边与坐标轴夹角为（）.
在 中，，；.
∵ 点 在 轴上，.
若 ，则直线 与直线 的夹角为 ：
① 当直线 垂直于 轴时（），（与点 重合，舍去）；
② 当直线 沿 轴方向时（即点 在 轴上），（点 ），此时 ；
③ 设 ，利用正切值相等建立方程，解得抛物线上另一对称动点坐标为 或 .
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 2-2】（动点角与定角相等）
如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .如果点 在 轴上，且 ，求点 的坐标.
解：在 中，，.
∴ .
点 在 轴上，过点 作垂线：
① 若点 在点 上方，易知不存在 ；
② 故点 位于点 下方，设 .
过点 作 于点 ，或利用角平分线与正切展开：
由 ，结合点 列方程：
解得点 的纵坐标为 或 .
答：点 的坐标为 .
三、等角转化·相似三角形与轴对称
【模型 3】公共角等角·构造相似三角形对应边成比例模型
【模型特征】已知图形中存在公共角或对顶角，探究动点 使得两三角形相似，从而导出对应等角关系. 【相似三角形转换方法】
① 第一步（找公共角）：识别出待求角所在的两个三角形，确定公共角或对顶角；
② 第二步（两边成比例）：由 ；
③ 第三步（求动点坐标）：将线段长转化为动点坐标代数式，建立方程求出解并检验. 【推导依据】九年级下册第二十七章《相似》：“两边成比例且夹角相等的两三角形相似，对应角相等”.
【典例 3】（经典对顶角与相似）
如图，点 为 轴正半轴上一点，过点 任作直线与抛物线 交于 两点.点 为抛物线顶点.证明：.
【解答】
证明：设过点 的直线解析式为 .
联立直线与抛物线解析式：.
设点 ，由一元二次方程根与系数的关系：.
作 轴于 ， 轴于 ：
在 与 中，；
同理，在包含点 的直角三角形中计算对应角的正切值：
利用 进行代数式化简，可得 .
∵ 两个角均为锐角且正切值严格相等，
∴ 恒成立.
【梯级演练 3-1】（相似三角形对应角相等）
如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，顶点为 .抛物线上有一点 ，使得 .求点 的坐标.
解：已知 .线段 在 轴上.
在 中（ 为对称轴垂足），，
∴ .
设动点 ，过点 作 轴于点 ：
在 中，.
∵ ，∴ ：
即 （）.
解得：；或 .
代入抛物线求纵坐标：
当 时，；
当 时，（点 顶点本身）.
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 3-2】（角相等构造相似三角形）
如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 .点 在抛物线上，过点 作 轴交直线 于点 .若 ，求点 的坐标.
解：直线 过点 ，其解析式为 .
在 中，直线 与水平方向夹角为.
∵ 轴，∴ 为等腰直角三角形或包含特殊角的直角三角形.
由 ，根据三角函数值相等列出一元二次方程：
联立求解得点 坐标为 或 等相关解.
答：符合条件的点 坐标为 或 .
四、倍半角与角平分线
【模型 4】角倍半关系·构造等腰三角形与角平分线压轴模型
【模型特征】探究动点 满足 或 等倍半角关系. 【角倍半转化方法】
① 外角平分法：构造等腰三角形，利用外角等于两不相邻内角和（）；
② 角平分线轴对称法：作定边关于角平分线的对称点，将二倍角化为全等对称角；
③ 正切倍角转化：在角平分线上作垂线构造双直角三角形，由等面积法或相似比求解. 【推导依据】八年级上册第十一章《三角形》外角性质及第十二章《全等三角形》角平分线性质定理.
【典例 4】
如图，抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 .点 在对称轴 上，若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：已知 ，对称轴为直线 .垂足为 .
在 中，.
∵ 且 ，∴ 是等腰直角三角形.
∴ （即直线 与 轴夹角为）.
点 在对称轴上，连接 ：
∵ ：
① 若点 在点 下方且与点 重合：
当点 为 时，线段 落在 轴上，此时 .
∴ 点 是一个解；
② 若点 在点 上方：
.
此时 轴，但点 在直线 上， 不能垂直于 轴（舍去）；
③ 若点 在 轴下方：
由等腰三角形对称性，点 满足 （此时 为等腰直角三角形）.
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 4-1】（2025·广东中考真题改编）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为抛物线上一点，若 ，求点 的坐标.
解：在 中，，设 ，则 .
若 ，过点 作 轴于 ：
在 内部作角平分线 ，使得 .
利用初中直角三角形角平分线性质定理与等面积法：
解得 或利用初中构造等腰三角形外角平分法求得点 横坐标，
代入抛物线解析式求得对应动点坐标为 或 .
答：符合条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 4-2】（2026·南京九年级期中压轴）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .连接 .点 在抛物线上，若直线 平分 ，求点 的坐标.
解：在 中，，.
由角平分线性质，直线 为 的平分线：
设角平分线交 轴于点 ，由三角形内角平分线定理：
.
由此求得点 坐标，确定角平分线 的解析式为 .
将直线解析式与抛物线方程联立，解得抛物线上交点 的坐标.
答：符合条件的点 坐标为所求交点值.

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