资源简介

九年级数学（人教版）上册第二十六章 二次函数
微专题·抛物线与存在性（9）和差角与倍半角
模型名称 考查题型与几何特征 核心公式 / 代数判定关系 解题通法与转化路径
和角 45°/90° 模型
（构造等腰直角）
或 利用 90° 旋转拼接
构造等腰直角三角形
列勾股定理建立代数方程 ① 识别图形中 45° 或 90° 基准定角；
② 旋转或对称将分离的两角拼为整体；
③ 利用全等对应边相等列方程消元.
差角与外角模型
（三角形外角转化）
或 外角定理：
转化为三角形顶角为定角
利用辅助圆或相似比例求解 ① 延长线段或作交点识别外角结构；
② 将差角条件转化为内角或顶角定值；
③ 结合垂直投影作高列比例方程.
双倍角存在性模型
（角平分线与截长补短）
（如 ） 作角平分线构造等腰三角形
角平分线性质：
或外角倍角截长补短 ① 平分大角：将 2α 拆为 α + α 构等腰；
② 翻折对称：利用轴对称构造全等；
③ 设基准角三角函数建立方程.
斜边中线倍角模型
（直角三角形与圆心角） 直角三角形中探究 直角三角形斜边中线定理：
① 取直角三角形斜边中点构造等腰外角；
② 将倍角转化为圆心角与圆周角 2 倍关系；
③ 分类讨论同位角、顶角与对顶角求解.
一、和差角问题（1）· 45°/90°和角与构造全等/等腰直角
★ 模型 1：定和角（45°/90°）· 旋转拼接与等腰直角三角形构造转化模型
【模型特征】在抛物线与几何综合探究中，动点 满足两个动态或静态角之和为特殊定角（如 或 互余）. 【构造与转化三步通法】
① 第一步（识别定角与骨架）：先利用坐标系中的定点计算基准直角三角形，确认是否存在已知 45° 角或 90° 垂直关系；
② 第二步（旋转拼接或截长补短）：若 ，可将含 的直角三角形绕直角顶点旋转 90°，与含 的三角形拼接为大直角三角形，形成半角或全等对称模型；
③ 第三步（列勾股或相似方程）：由构造的全等三角形对应边相等、勾股定理建立关于动点横坐标 的一元方程，求出坐标后代入验证. 【几何依据】人教版九年级上册第二十三章《旋转》与八年级上册第十二章《全等三角形》.“旋转不改变线段长度与角的大小，利用 90° 旋转可将互余或互补的角拼合为整角”.
【典例 1】
如图，经过点 的抛物线 与 轴相交于点 ，顶点为 .
（1）求抛物线的函数解析式及顶点 的坐标；
（2）若点 在 轴上，且满足 ，求线段 的长.
【解答】
解：（1）将 代入抛物线解析式：
，解得 .
∴ 抛物线的函数解析式为 .
∴ 顶点 的坐标为 .
（2）由 可得 ，且 ，∴ 是等腰直角三角形，.
∵ .
在 上截取点 使 ，通过在直角坐标系中构造辅助线与全等三角形（或在 轴上分类讨论）：
分情况讨论：
① 当点 在 轴负半轴上时（点 在点 右侧）：设 （），.由勾股定理与相似比计算可得 ；
② 当点 在 轴正半轴上时：同理构造对称全等可得 .
答：线段 的长为 或 .
【梯级演练 1-1】（课本改编题）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .点 为抛物线对称轴上一点，连接 .若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：由抛物线 ，得对称轴为直线 .
设对称轴交 轴于点 .∵ 点 ，∴ 为 的中点，且 .
设点 .在 中，∵ ，∴ .
∴ 是以 为斜边的直角三角形！
又∵ （对称轴上的点到线段两端距离相等），∴ 为等腰直角三角形.
∴ 斜边上的高 .∴ ，即 或 .
答：点 的坐标为 或 .
【梯级演练 1-2】（2024年名校九年级期末压轴真题）
如图，已知抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为第一象限内抛物线上动点，连接 .若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：在 中，∵ ，∴ 顶角 .
由定角辅助圆定理，弦 所对圆周角为 ，其外接圆圆心 在 轴下方，且 为等腰直角三角形.
设 中点为 ，则 ，，∴ 圆心 ，半径 .
外接圆方程为 .
将 代入圆方程：
设 ，则 ，代入得 .
化简整理得 ，解得 或 .
当 时，（第一象限 ）（为点 ，舍去）或 （舍去）；
当 时，，代入抛物线解析式得 （不合题意舍去）.
由几何分析交点，在第一象限内符合条件的点 坐标为 （经代入检验 成立）.
答：点 的坐标为 .
【梯级演练 1-3】（2025年九年级数学中考拔高冲刺题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .在 轴正半轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：存在.由对称性，点 与 关于 轴对称，点 与点 均在 轴上.
∴ ，从而 .
∵ ，∴ .
∵ ，，∴ .
分两种情况：
① 当点 在点 上方时：， 轴，与点 在 轴上矛盾；
② 当点 在点 下方时：，此时点 与原点 重合.
答：存在满足条件的点 ，其坐标为 .
二、和差角问题（2）· 差角转化与外角定理之“线段比例与等腰分解”
★ 模型 2：定差角（45°/90°）· 三角形外角定理与射线旋转分解模型
【模型特征】探究动点使得两个角之差为定角（如 或 ）. 【外角与辅助线转化通法】
① 外角转化法：若 ，由三角形外角定理 ，直接转化为顶角 ；
② 射线旋转法：将已知边或对称轴绕定点顺时针/逆时针旋转 45° 或 90°，利用射线与直线的交点构造等腰直角三角形；
③ 坐标高线投影法：过动点向坐标轴作垂线，利用三角函数与比例消元求解. 【几何依据】人教版八年级上册第十一章《三角形》定理：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”.
【典例 2】（中考经典压轴题）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于 ，与 轴相交于点 .直线 经过点 .
（1）求抛物线与直线 的函数解析式；
（2）动点 从点 出发沿 轴负方向运动，是否存在某一位置使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：（1）将 代入抛物线解析式：
可得 .
设直线 解析式为 ，代入 得 .
∴ 直线 的解析式为 .
（2）存在.在 中，由三角形外角性质可知：
为 的外角（当点 在 轴上方时），.
∴ ！
∵ ，，设 （），则 ，.
过点 作 于点 ，在 中，由 得 .
利用面积法与相似三角形比例关系：.
又 ，可求得 或 .
答：满足条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 2-1】（2024年广东省中考数学模拟压轴题）
如图，已知抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 .点 为抛物线上一点，连接 .若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：在 中，∵ ，∴ （钝角）.
作 轴于点 ，则 在点 的左侧（即 ）.
在 中，.
∴ ！
∴ （两锐角对应相等）.
∴ .
设 （），则 ，，.
代入得 .
∵ ，∴ ，两边同除以 得：.
∵ ，∴ ，此时 .
答：点 的坐标为 .
【梯级演练 2-2】（2025年江苏名校期中测试真题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .在抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：不存在.理由如下：
抛物线对称轴为直线 .
∵ 点 ，对称轴直线 恰为线段 的垂直平分线（）.
对于对称轴上任意一点 ，由垂直平分线性质必有 .
∴ 为等腰三角形， 恒成立！
∴ .
答：在对称轴上不存在这样的点 .
三、倍半角问题（1） 双倍角与角平分线之“截长补短与等腰对称”
★ 模型 3：双倍角存在性·角平分线构造与等腰三角形外角倍角转化模型
【模型特征】在抛物线综合题中，探究动点 满足某角是另一角的 2 倍（即 ）. 【双倍角化简两大通法】
① 平分大角法：若 ，作 的平分线 ，则 ，从而构造出等腰三角形 （）；
② 外角倍角法（截长补短）：在角的一边延长或截取线段使之等于另一边，构造等腰三角形，利用外角等于两内角和得到 2α；
③ 坐标正切比例法：设基本角为 α，构造垂直高线利用 的初中几何分解（转化为线段比例相似）求解未知坐标. 【几何依据】人教版八年级上册第十二章《全等三角形》角平分线性质定理与第十三章《等腰三角形》判定定理.
【典例 3】（参考上传题集A第3题·中考真题精编）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 ，连接 .
（1）求直线 的函数解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：（1）设直线 的解析式为 ，将 代入得 .
∴ 直线 的函数解析式为 .
（2）在 中，∵ ，，∴ .
∴ 目标倍角为 ！
即点 满足 轴（ 垂直于 轴）.
∵ 点 的横坐标为 ，∴ 满足条件的点 的横坐标必为 .
但第一象限内的点其横坐标 ，点 位于 轴负半轴，且抛物线上 时 （即点 本身）.
∴ 第一象限内不存在横坐标为 的点.
若要求 （）：
由 与坐标轴夹角为 45°，过点 作 ，则直线 的解析式为 .
联立抛物线方程：，解得 或 （舍去）.
当 时，（在第四象限）.
答：在第一象限内的抛物线上不存在满足条件的点 .
【梯级演练 3-1】（2025年浙江省中考数学真题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为第一象限抛物线上一点，连接 .若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：在 中，，.
∵ ，过点 作 轴于点 ，在 中，.
作 的平分线交 于点 ，则 ，∴ .
∴ .
在 中，由角平分线性质定理 ，设 ，，.
可求得 ，代入抛物线解析式 ：
化简解得 ，代入得 .
答：点 的坐标为 .
【梯级演练 3-2】（2024年湖北中考数学模拟压轴题）
如图，已知抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 在第四象限抛物线上，若 ，求点 的横坐标.
【解答】
解：在 中，.作 的平分线交 于点 ，则 .
∴ 为等腰三角形，.
设 ，过点 作 于点 ，则 为 的中点.，即 .
利用相似三角形与坐标代数化消元，联立抛物线方程解得：（第四象限内）.
答：点 的横坐标为 .
【梯级演练 3-3】（2026年中考数学一轮复习重点题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .在 轴负半轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【解答】
解：在 中，，（锐角）.
在 轴负半轴上取点 （），..
在 与 中，，.
由倍角几何分解模型（构造直角三角形斜边高线）：
令几何等量关系满足 ，代入比例方程解得 或 .
答：存在满足条件的点 ， 的值为 或 .
四、倍半角问题（2）· 直角三角形斜边中线与圆周角/圆心角倍角
★ 模型 4：斜边中线倍角模型·等腰外角与抛物线交点分类求解模型
【模型特征】在含有直角三角形（如 为直角三角形）的背景下，探究动点 使得 中存在一个角等于定直角三角形某锐角的 2 倍（即 ）. 【斜边中线与圆心角转化通法】
① 取直角三角形斜边中点 ：由“直角三角形斜边中线等于斜边一半”得 ；
② 外角转化倍角：由等腰三角形性质 ，根据外角定理得 ；
③ 分类讨论动点 ：若 中某角等于 ，则过动点作平行线或共线构造，分别求出动点坐标. 【几何依据】人教版八年级上册第十三章《等腰三角形》与九年级上册第二十四章《圆》中定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的 2 倍”.
【典例 4】
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为第一象限抛物线上一点，过点 作 ，垂足为 ，连接 .是否存在点 ，使得 中的一个锐角等于 的 2 倍？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：（1）将 代入抛物线解析式：
，又 ，解得 .
∴ 抛物线解析式为 .
（2）在 中，，，.
在 中，两锐角为 与 .
分两种情况讨论：
情况一：当 时：
取斜边中线构造外角倍角，由几何三角比计算得 .
联立抛物线方程 ，可得 ，代入得 ；
情况二：当 时：
此时 ，同理代入抛物线方程求解，经检验舍去不在第一象限的根，得 .
答：存在满足条件的点 ，其坐标为 或 .
【梯级演练 4-1】（2024年江苏中考数学模拟题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为抛物线上动点，连接 .是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：在 中，，.
∴ 是等腰直角三角形，！
∴ 目标倍角为 ！
即点 满足 轴（ 垂直于 轴）.
∵ 点 的横坐标为 ，∴ 直线 的方程为 .
将 代入抛物线解析式：，此时点 与点 重合（不能构成角，舍去）.
若 ，同理 ，点 落在点 处.
答：在抛物线上不存在与点 不同的满足条件之点 .
【梯级演练 4-2】（2025年全国初中数学竞赛培优真题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为抛物线对称轴右侧的一动点，连接 .若 ，求点 的横坐标.
【解答】
解：在 中，点 .
由勾股定理可得 ，，.
根据圆周角与圆心角定理：“一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的 2 倍”.
若 ，则点 必为 的外接圆圆心 （或圆心相关的特征点）！
求 外接圆圆心 的坐标：
线段 的垂直平分线为直线 ；线段 的垂直平分线斜率为 ，中点为 .
联立求得外接圆圆心 .
当点 为外心时，.
答：点 的横坐标为 .九年级数学（人教版）上册第二十六章 二次函数
微专题·抛物线与存在性（9）和差角与倍半角
模型名称 考查题型与几何特征 核心公式 / 代数判定关系 解题通法与转化路径
和角 45°/90° 模型
（构造等腰直角）
或 利用 90° 旋转拼接
构造等腰直角三角形
列勾股定理建立代数方程 ① 识别图形中 45° 或 90° 基准定角；
② 旋转或对称将分离的两角拼为整体；
③ 利用全等对应边相等列方程消元.
差角与外角模型
（三角形外角转化）
或 外角定理：
转化为三角形顶角为定角
利用辅助圆或相似比例求解 ① 延长线段或作交点识别外角结构；
② 将差角条件转化为内角或顶角定值；
③ 结合垂直投影作高列比例方程.
双倍角存在性模型
（角平分线与截长补短）
（如 ） 作角平分线构造等腰三角形
角平分线性质：
或外角倍角截长补短 ① 平分大角：将 2α 拆为 α + α 构等腰；
② 翻折对称：利用轴对称构造全等；
③ 设基准角三角函数建立方程.
斜边中线倍角模型
（直角三角形与圆心角） 直角三角形中探究 直角三角形斜边中线定理：
① 取直角三角形斜边中点构造等腰外角；
② 将倍角转化为圆心角与圆周角 2 倍关系；
③ 分类讨论同位角、顶角与对顶角求解.
一、和差角问题（1）· 45°/90°和角与构造全等/等腰直角
★ 模型 1：定和角（45°/90°）· 旋转拼接与等腰直角三角形构造转化模型
【模型特征】在抛物线与几何综合探究中，动点 满足两个动态或静态角之和为特殊定角（如 或 互余）. 【构造与转化三步通法】
① 第一步（识别定角与骨架）：先利用坐标系中的定点计算基准直角三角形，确认是否存在已知 45° 角或 90° 垂直关系；
② 第二步（旋转拼接或截长补短）：若 ，可将含 的直角三角形绕直角顶点旋转 90°，与含 的三角形拼接为大直角三角形，形成半角或全等对称模型；
③ 第三步（列勾股或相似方程）：由构造的全等三角形对应边相等、勾股定理建立关于动点横坐标 的一元方程，求出坐标后代入验证. 【几何依据】人教版九年级上册第二十三章《旋转》与八年级上册第十二章《全等三角形》.“旋转不改变线段长度与角的大小，利用 90° 旋转可将互余或互补的角拼合为整角”.
【典例 1】
如图，经过点 的抛物线 与 轴相交于点 ，顶点为 .
（1）求抛物线的函数解析式及顶点 的坐标；
（2）若点 在 轴上，且满足 ，求线段 的长.
【解答】
解：（1）将 代入抛物线解析式：
，解得 .
∴ 抛物线的函数解析式为 .
∴ 顶点 的坐标为 .
（2）由 可得 ，且 ，∴ 是等腰直角三角形，.
∵ .
在 上截取点 使 ，通过在直角坐标系中构造辅助线与全等三角形（或在 轴上分类讨论）：
分情况讨论：
① 当点 在 轴负半轴上时（点 在点 右侧）：设 （），.由勾股定理与相似比计算可得 ；
② 当点 在 轴正半轴上时：同理构造对称全等可得 .
答：线段 的长为 或 .
【梯级演练 1-1】（课本改编题）
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 .点 为抛物线对称轴上一点，连接 .若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：由抛物线 ，得对称轴为直线 .
设对称轴交 轴于点 .∵ 点 ，∴ 为 的中点，且 .
设点 .在 中，∵ ，∴ .
∴ 是以 为斜边的直角三角形！
又∵ （对称轴上的点到线段两端距离相等），∴ 为等腰直角三角形.
∴ 斜边上的高 .∴ ，即 或 .
答：点 的坐标为 或 .
【梯级演练 1-2】（2024年名校九年级期末压轴真题）
如图，已知抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为第一象限内抛物线上动点，连接 .若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：在 中，∵ ，∴ 顶角 .
由定角辅助圆定理，弦 所对圆周角为 ，其外接圆圆心 在 轴下方，且 为等腰直角三角形.
设 中点为 ，则 ，，∴ 圆心 ，半径 .
外接圆方程为 .
将 代入圆方程：
设 ，则 ，代入得 .
化简整理得 ，解得 或 .
当 时，（第一象限 ）（为点 ，舍去）或 （舍去）；
当 时，，代入抛物线解析式得 （不合题意舍去）.
由几何分析交点，在第一象限内符合条件的点 坐标为 （经代入检验 成立）.
答：点 的坐标为 .
【梯级演练 1-3】（2025年九年级数学中考拔高冲刺题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .在 轴正半轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：存在.由对称性，点 与 关于 轴对称，点 与点 均在 轴上.
∴ ，从而 .
∵ ，∴ .
∵ ，，∴ .
分两种情况：
① 当点 在点 上方时：， 轴，与点 在 轴上矛盾；
② 当点 在点 下方时：，此时点 与原点 重合.
答：存在满足条件的点 ，其坐标为 .
二、和差角问题（2）· 差角转化与外角定理之“线段比例与等腰分解”
★ 模型 2：定差角（45°/90°）· 三角形外角定理与射线旋转分解模型
【模型特征】探究动点使得两个角之差为定角（如 或 ）. 【外角与辅助线转化通法】
① 外角转化法：若 ，由三角形外角定理 ，直接转化为顶角 ；
② 射线旋转法：将已知边或对称轴绕定点顺时针/逆时针旋转 45° 或 90°，利用射线与直线的交点构造等腰直角三角形；
③ 坐标高线投影法：过动点向坐标轴作垂线，利用三角函数与比例消元求解. 【几何依据】人教版八年级上册第十一章《三角形》定理：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”.
【典例 2】（中考经典压轴题）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于 ，与 轴相交于点 .直线 经过点 .
（1）求抛物线与直线 的函数解析式；
（2）动点 从点 出发沿 轴负方向运动，是否存在某一位置使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：（1）将 代入抛物线解析式：
可得 .
设直线 解析式为 ，代入 得 .
∴ 直线 的解析式为 .
（2）存在.在 中，由三角形外角性质可知：
为 的外角（当点 在 轴上方时），.
∴ ！
∵ ，，设 （），则 ，.
过点 作 于点 ，在 中，由 得 .
利用面积法与相似三角形比例关系：.
又 ，可求得 或 .
答：满足条件的点 坐标为 或 .
【梯级演练 2-1】（2024年广东省中考数学模拟压轴题）
如图，已知抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 .点 为抛物线上一点，连接 .若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：在 中，∵ ，∴ （钝角）.
作 轴于点 ，则 在点 的左侧（即 ）.
在 中，.
∴ ！
∴ （两锐角对应相等）.
∴ .
设 （），则 ，，.
代入得 .
∵ ，∴ ，两边同除以 得：.
∵ ，∴ ，此时 .
答：点 的坐标为 .
【梯级演练 2-2】（2025年江苏名校期中测试真题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .在抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：不存在.理由如下：
抛物线对称轴为直线 .
∵ 点 ，对称轴直线 恰为线段 的垂直平分线（）.
对于对称轴上任意一点 ，由垂直平分线性质必有 .
∴ 为等腰三角形， 恒成立！
∴ .
答：在对称轴上不存在这样的点 .
三、倍半角问题（1） 双倍角与角平分线之“截长补短与等腰对称”
★ 模型 3：双倍角存在性·角平分线构造与等腰三角形外角倍角转化模型
【模型特征】在抛物线综合题中，探究动点 满足某角是另一角的 2 倍（即 ）. 【双倍角化简两大通法】
① 平分大角法：若 ，作 的平分线 ，则 ，从而构造出等腰三角形 （）；
② 外角倍角法（截长补短）：在角的一边延长或截取线段使之等于另一边，构造等腰三角形，利用外角等于两内角和得到 2α；
③ 坐标正切比例法：设基本角为 α，构造垂直高线利用 的初中几何分解（转化为线段比例相似）求解未知坐标. 【几何依据】人教版八年级上册第十二章《全等三角形》角平分线性质定理与第十三章《等腰三角形》判定定理.
【典例 3】（参考上传题集A第3题·中考真题精编）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 ，连接 .
（1）求直线 的函数解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：（1）设直线 的解析式为 ，将 代入得 .
∴ 直线 的函数解析式为 .
（2）在 中，∵ ，，∴ .
∴ 目标倍角为 ！
即点 满足 轴（ 垂直于 轴）.
∵ 点 的横坐标为 ，∴ 满足条件的点 的横坐标必为 .
但第一象限内的点其横坐标 ，点 位于 轴负半轴，且抛物线上 时 （即点 本身）.
∴ 第一象限内不存在横坐标为 的点.
若要求 （）：
由 与坐标轴夹角为 45°，过点 作 ，则直线 的解析式为 .
联立抛物线方程：，解得 或 （舍去）.
当 时，（在第四象限）.
答：在第一象限内的抛物线上不存在满足条件的点 .
【梯级演练 3-1】（2025年浙江省中考数学真题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为第一象限抛物线上一点，连接 .若 ，求点 的坐标.
【解答】
解：在 中，，.
∵ ，过点 作 轴于点 ，在 中，.
作 的平分线交 于点 ，则 ，∴ .
∴ .
在 中，由角平分线性质定理 ，设 ，，.
可求得 ，代入抛物线解析式 ：
化简解得 ，代入得 .
答：点 的坐标为 .
【梯级演练 3-2】（2024年湖北中考数学模拟压轴题）
如图，已知抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 在第四象限抛物线上，若 ，求点 的横坐标.
【解答】
解：在 中，.作 的平分线交 于点 ，则 .
∴ 为等腰三角形，.
设 ，过点 作 于点 ，则 为 的中点.，即 .
利用相似三角形与坐标代数化消元，联立抛物线方程解得：（第四象限内）.
答：点 的横坐标为 .
【梯级演练 3-3】（2026年中考数学一轮复习重点题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .在 轴负半轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【解答】
解：在 中，，（锐角）.
在 轴负半轴上取点 （），..
在 与 中，，.
由倍角几何分解模型（构造直角三角形斜边高线）：
令几何等量关系满足 ，代入比例方程解得 或 .
答：存在满足条件的点 ， 的值为 或 .
四、倍半角问题（2）· 直角三角形斜边中线与圆周角/圆心角倍角
★ 模型 4：斜边中线倍角模型·等腰外角与抛物线交点分类求解模型
【模型特征】在含有直角三角形（如 为直角三角形）的背景下，探究动点 使得 中存在一个角等于定直角三角形某锐角的 2 倍（即 ）. 【斜边中线与圆心角转化通法】
① 取直角三角形斜边中点 ：由“直角三角形斜边中线等于斜边一半”得 ；
② 外角转化倍角：由等腰三角形性质 ，根据外角定理得 ；
③ 分类讨论动点 ：若 中某角等于 ，则过动点作平行线或共线构造，分别求出动点坐标. 【几何依据】人教版八年级上册第十三章《等腰三角形》与九年级上册第二十四章《圆》中定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的 2 倍”.
【典例 4】
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为第一象限抛物线上一点，过点 作 ，垂足为 ，连接 .是否存在点 ，使得 中的一个锐角等于 的 2 倍？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：（1）将 代入抛物线解析式：
，又 ，解得 .
∴ 抛物线解析式为 .
（2）在 中，，，.
在 中，两锐角为 与 .
分两种情况讨论：
情况一：当 时：
取斜边中线构造外角倍角，由几何三角比计算得 .
联立抛物线方程 ，可得 ，代入得 ；
情况二：当 时：
此时 ，同理代入抛物线方程求解，经检验舍去不在第一象限的根，得 .
答：存在满足条件的点 ，其坐标为 或 .
【梯级演练 4-1】（2024年江苏中考数学模拟题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为抛物线上动点，连接 .是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】
解：在 中，，.
∴ 是等腰直角三角形，！
∴ 目标倍角为 ！
即点 满足 轴（ 垂直于 轴）.
∵ 点 的横坐标为 ，∴ 直线 的方程为 .
将 代入抛物线解析式：，此时点 与点 重合（不能构成角，舍去）.
若 ，同理 ，点 落在点 处.
答：在抛物线上不存在与点 不同的满足条件之点 .
【梯级演练 4-2】（2025年全国初中数学竞赛培优真题）
如图，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 .点 为抛物线对称轴右侧的一动点，连接 .若 ，求点 的横坐标.
【解答】
解：在 中，点 .
由勾股定理可得 ，，.
根据圆周角与圆心角定理：“一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的 2 倍”.
若 ，则点 必为 的外接圆圆心 （或圆心相关的特征点）！
求 外接圆圆心 的坐标：
线段 的垂直平分线为直线 ；线段 的垂直平分线斜率为 ，中点为 .
联立求得外接圆圆心 .
当点 为外心时，.
答：点 的横坐标为 .

展开更多......

收起↑