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四川省各地市2010年高考数学最新联考试题分类大汇编
第3部分:函数与导数
一、选择题：
5．（四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）设函数f(x)＝x2＋2(－2≤x＜0)，其反函数为f－1(x)，则f－1(3)＝( )(A)－1 (B)1 (C)0或1 (D)1或－1
【答案】A
【解析】令f(t)＝3，则t＝f－1(3) (－2≤t＜0) 有t2＋2＝3 ( t＝±1 但－2≤t＜0，故t＝－1
[来源12. （四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是( )
(A)(1,2) (B)(2，＋∞) (C)(1,) (D)(,2)【答案】D
【解析】由f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是周期为4的周期函数于是可得f(x)在(－2,6]上的草图如图中实线所示而函数g(x)＝loga(x＋2)(a＞1)的图象如图中虚线所示结合图象可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)在区间(－2，6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需，所以，解得：＜a＜2。
（12）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知函数(x∈R) 导函数满足，则当a>0时，与之间的大小关系为（ A ）
（A）< （B）>
（C）= （D）不能确定，与或a有关
（2）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊文科试题)函数y=与（a>0，且a≠1）的图象关于（ B ）
（A）x轴对称 （B）y轴对称
（C）原点对称 （D）直线y=x对称
（4）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊文科试题)函数f?(x)=ax3+2x+1(a≠0)在x=1处的切线方程为x+y-2=0，则实数a=（ B ）
（A）1 （B）-1 （C）-2 （D）3
9．（四川省雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）已知函数在上连续，则( A )
A．2 B．1 C．0 D．1
11．（四川省雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）已知函数的定义域为，部分函数值如表所示，其导函数的图象如图所示，若正数，满足，则的取值范围是( B )
A． B． C． D．
2．（四川省雅安市2010届高三第三次诊断性考试文科）函数的反函数是( A )
A． B．
C． D．
3．（四川省自贡市2010届高三三诊理科试题）函数的定义域为（ D ）
A． B．且 C． D．且
11．（四川省自贡市2010届高三三诊理科试题）已知函数的图象C上存在一个定点P满足：若过定点P的直线与曲线C交于不同于P的两点，，就恒有为定值，则的值为（ B ）
A． B． C． D．
2．（四川省自贡市2010届高三三诊文科试题）函数的反函数是（ A ）
A． B． C． D．
4．（四川省南充高中2010届高三4月月考理科试题）函数y＝ax＋1与y＝loga(x＋1)，（其中a＞0且a≠1）的图象关于（ C ）
A．直线y＝x对称 B．直线y＝x－1对称
C．直线y＝x＋1 D．直线y＝－x＋1对称
9．（四川省南充高中2010届高三4月月考理科试题）在y＝2x，y＝log2x，y＝x2，y＝cos2x这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1，使恒成立的函数的个数是（ B ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（四川省南充高中2010届高三4月月考文科试题）已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　Ｄ　）
A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6
C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6
5．（四川省资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）已知命题p：函数在上是增函数，命题q：（且）是减函数，则p是q的（ A ）
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
9．（四川省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）设方程的两个根为，则下列关系正确的是（ A ）
A． B． C． D．
12．（四川省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）设定义在上的函数，，且对任意，满足，，则下列关系正确的是（ D ）
A． B． C． D．
2．（四川省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试文科）函数的反函数为（ C ）
A． B．C． D．
1．(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)若a、b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b为 （ A ）
A．1 B．0 C．-1 D．
7．(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)已知= （ A ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)定义在[0，1]上的函数满足，且当
时，等于 （ C ）
A． B． C． D．
二、填空题：
16. （四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）如果函数f(x)同时满足下列条件：①在闭区间[a,b]内连续，②在开区间(a,b)内可导且其导函数为f'(x)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a)成立，我们把这一规律称为函数f(x)在区间(a,b)内具有“Lg”性质，并把其中的ξ称为中值。有下列命题：①若函数f(x)在(a,b)具有“Lg”性质，ξ为中值，点A(a,f(a)),B(b,f(b))，则直线AB的斜率为f'(ξ)；②函数y＝在(0,2)内具有“Lg”性质，且中值ξ＝,f'(ξ)＝－;③函数f(x)＝x3在(－1,2)内具有“Lg”性质，但中值ξ不唯一；④若定义在[a,b]内的连续函数f(x)对任意的x1、x2∈[a,b],x1＜x2，有[f(x1)＋f(x2)]＜f()恒成立，则函数f(x)在(a,b)内具有“Lg”性质，且必有中值ξ＝.其中你认为正确的所有命题序号是___________________.答案：①②
解析：对于①，根据导函数的几何意义立即可得正确；对于②，函数y在(0,2)上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率为－又y'＝，当x＝时，y'＝－，故②正确。对于③，两端点连线斜率为3而f'(x)＝3x2，令3x2＝3 ( x＝±1，在(－1,2)内只有一个中值ξ＝1，故③错误；对于④，[f(x1)＋f(x2)]＜f()只能保证f(x)是上凸函数，不能保证中值一定在中点处。④错误14. （四川省成都市2010届高三第三次诊断文科）关于x的方程x2＋2ax－4＝0的两个实根x1、x2满足x1＜1＜x2，则实数a的取值范围是_____________.答案：(－∞, )
解析：记f(x)＝x2＋2ax－4则函数f(x)的图象与x轴的两个交点分别在1的两侧注意到f(x)开口向上，故f(1)＜0 ( a＜（14）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)若函数f?(x) =ax（a>0且a≠1）的反函数为y=，且=2，则f?(-2)=????2?????????．
（16）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)若对任意x∈R，y∈R有唯一确定的f?(x，y)与之对应，则称f?(x，y)为关于x，y的二元函数．
定义：同时满足下列性质的二元函数f?(x，y)为关于实数x，y的广义“距离”：
（Ⅰ）非负性：f?(x，y)≥0；
（Ⅱ）对称性：f?(x，y)= f?(y，x)；
（Ⅲ）三角形不等式：f?(x，y)≤f?(x，z)+ f?(z，y)对任意的实数z均成立．21世纪教育网
给出下列二元函数：
①f?(x，y)=(x-y)2；②f?(x，y)=|x-y|；③f?(x，y)=；④f?(x，y)=|sin(x-y)|．
则其中能够成为关于x，y的广义“距离”的函数编号是________．（写出所有真命题的序号）②④
（14）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊文科试题)若函数f?(x)=的反函数为y=，且=1，则f?(2)= ________ 21世纪教育网
16．（四川省雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）给出下列四个函数：①；②；③；④其中满足：“对任意，都有”的函数序号是 。②③④
16．（四川省自贡市2010届高三三诊理科试题）有下列命题：
①是的充分不必要条件；
②；
③若函数满足，则是周期函数；
④如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数c，则这组数据的平均数和方差都改变。[来源:21世纪教育网]
其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。①④
13．（四川省南充高中2010届高三4月月考理科试题）已知函数 ，则的值为_____________
１６、（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）已知是以2为周期的偶函数，当，那么在区间内，关于的方程（其中为实常数）有四个不同的实根，则的取值范围是　　　.
三、解答题
得分
评卷人
（22）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)（本小题满分14分）[来源:21世纪教育网]
已知函数f?(x)=ln(1+x)-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f?(x)=在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{an}满足（n∈N*），a1=lnp，求证：≥．
∴ g(2)∴ a的取值范围为．………………………………………9分
（III）由f?(x)=ln(1+x)-x（x>-1）有，
显然0，当x∈(0，+∞)时，，当x∈(-1，0)时，，
∴ f?(x)在(-1，0)上是增函数，在上是减函数．
∴ f?(x)在(-1，+∞)上有最大值f?(0)，而f?(0)=0，
∴ 当x∈(-1，+∞)时，f?(x)≤0，因此ln(1+x)≤x．(*)…………………11分
由已知有p>an，即p-an>0，所以p-an-1>-1．
∵ an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an)，
∴ 由（*）中结论可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1(n∈N*)．
∴ 当n≥2时，-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0，即≥an．
当n=1，a2=a1+ln(p-lnp)，
∵ lnp=ln(1+p-1)≤p-1，
∴ a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1，结论成立．
∴ 对n∈N*，an+1≥an．………………………………………………………14分
21．（四川省自贡市2010届高三三诊理科试题）（本小题满分12分）[来源:21世纪教育网]
已知函数。
（I）若方程在内有两个不等的实根，求实数的取值范围（为自然对数的底）；
（II）如果函数的图象与轴交于两点，，且。求证：（其中正常数、满足）。
21、（理）解：(Ⅰ)由＝2求导得到：＝， …………(2分)
，故 ＝0在有唯一的极值点，＝－2－
＝―2―，极大值＝＝－1， …………(4分)
且知＜，故＝－，在内有两个不等的实根满足：
－2－≤－＜－1 故的取值范围为 …………(6分)
(Ⅱ) ＝－2－，又－＝0有两个不等的实根、，则
　　　两式相减得到 …………(7分)
于是＝－[]
＝+
∵ 2≤1，， ∴≤0 …………(8分)
要证：＜0，只需证：+＜0，只需证：
① ………(9分)
令，0,只需证：+在上恒成立，
又∵＝ ………(10分)
∵ ，，则，∴，于是由可知，
故知∴在上为增函数， ………(11分)
则＜＝0，从而知
即①成立，从而原不等式成立。 …………(12分)
21．（四川省资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分12分）
已知定义在上的三个函数，，，且在处取得极值．
（Ⅰ）求a的值及函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：当时，恒有成立；
（Ⅲ）把对应的曲线C1向上平移6个单位后得曲线C2，求C2与对应曲线C3的交点个数，并说明理由．
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ），，，∴． 2分
而，，令得；令得．∴函数单调递增区间是；单调递减区间是． 4分
（Ⅱ）∵，∴，∴，
欲证，只需要证明，即证明， 6分
记，∴，
当时，，∴在上是增函数，
∴，∴，即，
∴，故结论成立． 8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，∴C2对应的表达式为，问题转化为求函数与图象交点个数．
故只需求方程，即根的个数． 10分
设，，
．当时，，为减函数；当时，，为增函数．而，图象是开口向下的抛物线．作出函数与的图象，，而可知交点个数为2个，即曲线C2与C3的交点个数为2个． 12分
１８、（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）已知函数.
(Ⅰ)若且对任意实数均有成立，求实数的值；
（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，当时， 是单调函数，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
又对任意实数均有0成立
恒成立，即恒成立

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
在[－2，2]时是单调函数，
即实数的取值范围为
２２、（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（14分）已知定义在上的函数，其中为常数.
(Ⅰ)若是函数的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）若函数，在处取得最大值，求正数的取值范围.
22.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
的一个极值点，；
（Ⅱ）①当a=0时，在区间（－1，0）上是增函数，符合题意；
②当；
当a>0时，对任意符合题意；
当a<0时，当符合题意；
综上所述，
（Ⅲ）

令
20．(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)（12分）
已知
（1）当x为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（2）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围。
20．解：（1）对函数求导数得
令
解得
当x变化时，的变化如下表21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
21世纪教育网
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
处取得极大值，在x=x2处取得极小值。
当时，上为减函数，在上为增函数
而当，
当x=0时，
所以当时，f（x）取得最小值
（II）当时，上为单调函数的充要条件是
即
于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
即a的取值范围是

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