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2.1 分式及其基本性质同步测试卷
（满分：100分 考试时间：90分钟）
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x ≠ 3 B. x ≠ -1 C. x = 3 D. x = -1
若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A. x = 2 B. x = -3 C. x = ±2 D. x = -3或x = 2
4. 若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A. x = 1 B. x = -1 C. x = ±1 D. x = 0
5. 如果把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍
6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
8. 分式 与 的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
9. 约分 的结果是（ ）
A. B. C. D.
10. 不改变分式的值，使分式 的分子分母系数化为整数，结果是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 当x________时，分式 有意义。
12. 当x________时，分式 的值为零。
13. 分式 与 的最简公分母是________。
14. 约分：= ________。
15. 若分式 的值为负数，则x的取值范围是________。
16. 已知 ，则分式 的值为________。
17. 若分式 的值为零，则x = ________。
18. 通分： 与 的最简公分母是________。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分8分，每小题4分）
(1) 当x取何值时，分式 有意义？
(2) 当x取何值时，分式 的值为零？
20.（本题满分8分，每小题4分）约分：
(1) (2)
21.（本题满分8分，每小题4分）通分：
(1) 与 (2) 与
（本题满分6分）不改变分式的值，将下列分式的分子、分母的最高次项系数化为正数：
(1) (2)
23.（本题满分8分）已知分式 。
(1) 当x为何值时，分式有意义？（3分）
(2) 当x为何值时，分式的值为零？（3分）
(3) 当x=3时，求分式的值。（2分）
24.（本题满分8分）阅读材料：因为 ，所以反过来有 。
(1) 利用上述规律计算：。（5分）
(2) 你能写出 的拆项形式吗？（3分）
2.1 分式及其基本性质同步测试卷参考答案
（满分：100分 考试时间：90分钟）
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【知识点】分式的概念判断
【解析】判断分式的关键是分母中是否含有字母。A分母是常数2，B中π是常数，D分母是常数3，都不是分式；C分母x-1含字母x，是分式。
2. 若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x ≠ 3 B. x ≠ -1 C. x = 3 D. x = -1
【正确答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】分式有意义需分母不为零，即x-3≠0，解得x≠3。
若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A. x = 2 B. x = -3 C. x = ±2 D. x = -3或x = 2
【正确答案】A
【知识点】分式值为零的条件
【解析】分子x-2=0得x=2；检验分母x+3=5≠0，满足条件。注意不能只看分子为零就选。
4. 若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A. x = 1 B. x = -1 C. x = ±1 D. x = 0
【正确答案】B
【知识点】分式值为零的条件（含绝对值）
【解析】分子|x|-1=0得x=±1；当x=1时分母x-1=0，舍去；当x=-1时分母x-1=-2≠0，满足条件。
5. 如果把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍
【正确答案】B
【知识点】分式基本性质的应用
【解析】x、y都扩大2倍后，分子3·2x·2y=12xy，分母2x+2y=2(x+y)，新分式=，值扩大2倍。注意：分子是xy项（二次），分母是x+y项（一次），所以值会变。
6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【知识点】分式基本性质的理解
【解析】A错误：分子分母平方后值改变；B错误：分子分母同时加c不符合基本性质；C正确：分子分母同除以b（b≠0），值不变；D错误：分子分母同时减1不符合基本性质。
7. 下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【知识点】最简分式的判断
【解析】A可约分为；B可约分为x-2；C分子不能分解，与分母无公因式，是最简分式；D可约分为x。
8. 分式 与 的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【知识点】最简公分母的确定
【解析】系数2和3最小公倍数是6；x的最高次幂是，y的最高次幂是，所以最简公分母为。
9. 约分 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【知识点】分式的约分
【解析】分子，分母，公因式(x-3)，约去后得。
10. 不改变分式的值，使分式 的分子分母系数化为整数，结果是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【知识点】分式基本性质的应用（系数化整）
【解析】分子分母同乘10：分子=2x-5y，分母=3x+10y，结果为。注意分母的y也要乘10变成10y。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 当x________时，分式 有意义。
【正确答案】≠ -2
【知识点】分式有意义的条件
【解析】分母x+2≠0，解得x≠-2。
12. 当x________时，分式 的值为零。
【正确答案】= -2
【知识点】分式值为零的条件
【解析】分子得x=±2；当x=2时分母x-2=0，舍去；当x=-2时分母x-2=-4≠0，满足条件。
13. 分式 与 的最简公分母是________。
【正确答案】
【知识点】最简公分母的确定
【解析】系数4和6最小公倍数是12；x最高次幂，y最高次幂y，z最高次幂z，最简公分母为。
14. 约分：= ________。
【正确答案】
【知识点】分式的约分
【解析】分子=3ab(a-2b)，分母=9ab=3ab·3，约去公因式3ab，得。
15. 若分式 的值为负数，则x的取值范围是________。
【正确答案】-1 < x < 3
【知识点】分式值的正负性判断
【解析】分式值为负需分子分母异号。分两种情况：①x-3>0且x+1<0，无解；②x-3<0且x+1>0，即x<3且x>-1，所以-116. 已知 ，则分式 的值为________。
【正确答案】
【知识点】分式基本性质与整体代入
【解析】由得，即y-x=3xy，x-y=-3xy。代入原式：分子=2(x-y)+3xy=2(-3xy)+3xy=-3xy；分母=(x-y)-xy=-3xy-xy=-4xy；原式=。
17. 若分式 的值为零，则x = ________。
【正确答案】3
【知识点】分式值为零的条件（含绝对值）
【解析】分子|x|-3=0得x=±3；当x=-3时分母x+3=0，舍去；当x=3时分母x+3=6≠0，满足条件。
18. 通分： 与 的最简公分母是________。
【正确答案】a(a+2)(a-2)
【知识点】最简公分母的确定（分母因式分解）
【解析】，，取各因式最高次幂：a、(a-2)、(a+2)，最简公分母为a(a+2)(a-2)。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分8分，每小题4分）
(1) 当x取何值时，分式 有意义？
【正确答案】x ≠ 3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】分母2x-6≠0，解得x≠3。即当x≠3时，分式有意义。
(2) 当x取何值时，分式 的值为零？
【正确答案】x = 1
【知识点】分式值为零的条件
【解析】令分子，得x=±1；当x=-1时分母x+1=0，舍去；当x=1时分母x+1=2≠0，满足条件。所以x=1。
20.（本题满分8分，每小题4分）约分：
(1)
【正确答案】
【知识点】分式的约分（单项式）
【解析】系数12和18的最大公约数是6；约去剩a，约去剩，约去c剩c，结果为。
【正确答案】
【知识点】分式的约分（多项式因式分解）
【解析】分子，分母，约去公因式(x-2y)，得。
21.（本题满分8分，每小题4分）通分：
(1) 与
【正确答案】 与
【知识点】分式的通分（单项式分母）
【解析】最简公分母为。第一个分式分子分母同乘3y得，第二个分式分子分母同乘2x得。
与
【正确答案】 与
【知识点】分式的通分（多项式分母）
【解析】，，最简公分母为。第一个分式同乘(x+3)，第二个同乘(x-3)。
22.（本题满分6分）不改变分式的值，将下列分式的分子、分母的最高次项系数化为正数：
(1) (2)
【正确答案】；
【知识点】分式基本性质（符号变形）
【解析】(1) 分子分母同乘-1，得；(2) 分母提取负号：-，即分子分母同乘-1，最高次项系数变正。
23.（本题满分8分）已知分式 。
(1) 当x为何值时，分式有意义？（3分）
(2) 当x为何值时，分式的值为零？（3分）
(3) 当x=3时，求分式的值。（2分）
【正确答案】(1) x≠±2；(2) 无解（不存在使值为零的x）；
【知识点】分式综合问题（有意义、值为零、求值）
【解析】(1) 分母，即(x+2)(x-2)≠0，得x≠±2；(2) 分子x-2=0得x=2，但x=2时分母为零，分式无意义，所以不存在使分式值为零的x；(3) 当x=3时，原式=。
24.（本题满分8分）阅读材料：因为 ，所以反过来有 。
(1) 利用上述规律计算：。（5分）
(2) 你能写出 的拆项形式吗？（3分）
【正确答案】；
【知识点】分式基本性质的拓展应用（裂项相消）
【解析】(1) 原式=。中间项全部抵消。(2) 类比推导：，所以。第二章 分式与分式方程
2.1 分式及其基本性质
知识点梳理、例题精讲
一、学习目标
1. 理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式；
2. 掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件，并能熟练求解；
3. 理解并掌握分式的基本性质，能运用其进行分式的变形；
4. 掌握分式约分的方法，能将分式化为最简分式；
5. 掌握分式通分的方法，能确定几个分式的最简公分母。
二、重点掌握方向
（一）学习重点
1. 分式的概念及分式有意义的条件（分母不为零）；
2. 分式值为零的条件（分子为零且分母不为零，两个条件缺一不可）；
3. 分式的基本性质及其应用（约分与通分）。
（二）学习难点
1. 分式值为零的条件中“分母不为零”的限制；
2. 运用分式基本性质进行恒等变形时符号的处理；
3. 最简公分母的确定（尤其是分母为多项式时）。
三、知识点清单总览
序号 知识点名称 核心内容
知识点一 分式的概念 分式定义；分式有意义、无意义的条件
知识点二 分式的值为零的条件 分子为零且分母不为零
知识点三 分式的基本性质 分子分母同乘/除同一个不为零的整式，分式值不变
知识点四 分式的约分 约分定义；最简分式；约分步骤
知识点五 分式的通分 通分定义；最简公分母的确定
四、知识点详解与例题精讲
知识点一：分式的概念
【分式定义】如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。
【分式有意义的条件】分母不等于零，即B≠0。
【分式无意义的条件】分母等于零，即B=0。
【注意】分式是不同于整式的一类代数式，判断分式的关键是看分母中是否含有字母。
【例题1】下列各式中，是分式的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【知识点】分式的概念判断（分母含字母）
【解析】判断分式的关键是看分母中是否含有字母。①分母含x，是分式；②分母是常数2，不是分式；③分母含x、y，是分式；④中π是常数，不是字母，不是分式；⑤分母是常数3，不是分式。所以是分式的有①③，共2个。
【例题2】当x取何值时，分式 有意义？
【正确答案】x≠2
【知识点】分式有意义的条件（分母不为零）
【解析】分式有意义的条件是分母不等于零。令分母x-2≠0，解得x≠2。即当x≠2时，分式有意义。
【例题3】当x为何值时，分式 无意义？
【正确答案】x = -1
【知识点】分式无意义的条件（分母为零）
【解析】分式无意义的条件是分母等于零。令分母x+1=0，解得x=-1。即当x=-1时，分式无意义。
知识点二：分式的值为零的条件
【条件】分式的值为零必须同时满足两个条件：
① 分子等于零；② 分母不等于零。两个条件缺一不可。
【注意】只令分子为零而忽略分母不为零，是常见错误。
【例题1】若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A. x = 3 B. x = -2 C. x = ±3 D. x = -2或x = 3
【正确答案】A
【知识点】分式值为零的条件（分子为零且分母不为零）
【解析】令分子x-3=0，得x=3；再检验分母：当x=3时，分母x+2=5≠0，满足条件。所以x=3。注意不能只令分子为零就直接选。
【例题2】若分式 的值为零，则x的值为________。
【正确答案】x = -2
【知识点】分式值为零的条件（含绝对值）
【解析】令分子|x|-2=0，得x=2或x=-2；再检验分母：当x=2时，分母x-2=0，分式无意义，舍去；当x=-2时，分母x-2=-4≠0，满足条件。所以x=-2。
【例题3】若分式 的值为零，则x的值为________。
【正确答案】x = 2
【知识点】分式值为零的条件（分子可因式分解）
【解析】令分子，即(x+2)(x-2)=0，得x=-2或x=2；再检验分母：当x=-2时，分母x+2=0，舍去；当x=2时，分母x+2=4≠0，满足条件。所以x=2。
知识点三：分式的基本性质
【基本性质】分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
【公式表示】，（其中C≠0）
【应用】分式的基本性质是分式变形（约分、通分）的依据。
【例题1】如果把分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
扩大为原来的3倍
不变
缩小为原来的
D. 扩大为原来的6倍
【正确答案】B
【知识点】分式基本性质的应用
【解析】x和y都扩大3倍后，分子变为2·3x=6x，分母变为3x+3y=3(x+y)，新分式为，与原分式相同，所以值不变。这是分式基本性质的直接应用。
【例题2】下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【知识点】分式基本性质的理解与判断
【解析】A错误：分子分母同时加1，不符合基本性质；B错误：没有说明c≠0；C正确：c作为分母隐含c≠0，分子分母同除以c，分式值不变；D错误：分子分母平方后值一般改变。
【例题3】不改变分式的值，使分式 的分子、分母各项系数都化为整数，结果是________。
【正确答案】
【知识点】分式基本性质的应用（系数化整）
【解析】分子分母同乘10：(0.5x-0.2y)×10=5x-2y，(0.3x+y)×10=3x+10y，所以结果为。
知识点四：分式的约分
【约分定义】根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
【最简分式】分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分通常要约到最简分式。
【约分步骤】① 找分子分母的公因式；② 约去公因式；③ 化为最简分式。
【例题1】分式 约分的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【知识点】分式的约分（分子分母因式分解后约去公因式）
【解析】分子，分母，公因式为(x-1)，约去后得。
【例题2】下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【知识点】最简分式的判断
【解析】A可约分为；B可约分为x-1；C分子不能因式分解，与分母x+1无公因式，是最简分式；D可约分为。
【例题3】约分：
【正确答案】
【知识点】分式的约分（单项式公因式）
【解析】分子，分母，公因式为3a，约去后得。
知识点五：分式的通分
【通分定义】根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
【最简公分母】取各分母系数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幂的积，作为最简公分母。
【步骤】① 找各分母的最简公分母；② 各分式分子分母同乘适当的整式，化为同分母。
【例题1】分式 与 的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【知识点】最简公分母的确定
【解析】系数2和3的最小公倍数是6；字母x的最高次幂是，y的最高次幂是y，所以最简公分母为。
【例题2】分式 与 的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B（或C，二者等价）
【知识点】最简公分母的确定（互为相反数的分母）
【解析】因为b-a=-(a-b)，两个分母只相差一个负号，最简公分母取(a-b)即可，不需要取乘积。
【例题3】通分： 与
【正确答案】 与
【知识点】分式的通分（分母为多项式时先因式分解）
【解析】先分解分母：，，最简公分母为x(x+1)(x-1)。第一个分式分子分母同乘(x+1)得，第二个分式分子分母同乘x得。

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