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四川省各地市2010年高考数学最新联考试题分类大汇编
第8部分:立体几何
一、选择题：
（四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）设m、n为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，下列命题为真命题的是( )(A)如果m、n是异面直线，m(α，n(α，那么n∥α；(B)如果m、n是异面直线，m(α，n(α，那么n与α相交；(C)如果m、n共面，m(α，n∥α，那么m∥n；(D)如果m(β，m∥α，n(α，n∥β，那么m∥n.【答案】C
【解析】如图，可知(A)不正确对于(B)，当n与α平行时，也可以满足m与n异面的条件，故(B)不正确对于(C)，因为m、n共面，可设这个平面为γ，又因为m(α，故m是平面α与γ的交线根据线面平行的性质定理，当n∥α时，必定有m∥n。(C)正确对于(D)，当α与β相交时命题正确，但当α∥β时，m、n可能是异面直线。故(D)错误（3）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知m、n是两条直线，α、β、γ是三个平面，下列命题正确的是（ B ）
（A）若 m∥α，n∥α，则m∥n （B）若m⊥α，n⊥α，则m∥n
（C）若 m∥α，m∥β，则α∥β （D）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
（8）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，A1C1到底面ABCD的距离为，若该四棱柱的八个顶点同在一个球面上，则B、B1两点的球面距离为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
4．（四川省雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）在正方体中，M、N为棱AB与AD的中点，则异面直线MN与BD1所成角的余弦值是( D )
A． B． C． D．
6．（四川省自贡市2010届高三三诊理科试题）过空间一定点P的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有（ C ）
A．0条 B．1条 C．4条 D．无数条
8．（四川省南充高中2010届高三4月月考理科试题）在正三棱锥S－ABC中，D是AB的中点，且SD与BC成45°角，则SD与底面ABC所成角的正弦为（C ）
A． B． C． D．
11．（四川省资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）在四面体ABCD中，已知，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是（ D ）
（A） （B）
（C） （D）
5、（四川省眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科）已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则“”是“”的（ B ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10、（四川省眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科）已知在同一球面上， 平面，若则两点间的球面距离是（ A ）
A. B. C. D.
10．(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是
SC、BC的中点，且，若侧棱
则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 （ C ）
A．12π B．32π
C．36π D．48π
二、填空题：
15. （四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）如图，ABCD为菱形，CEFB为正方形，平面ABCD⊥平面CEFB，CE＝1，∠AED＝30(，则异面直线BC与AE所成角的大小为__________________.【答案】45(
【解析】由题意，正方形和菱形变成均为1，又平面ABCD⊥平面CEFB，所以CE⊥平面ABCD于是CE⊥CD，从而DE＝在△ADE中，AD＝1, DE＝,∠AED＝30(由正弦定理得：，
所以sin∠DAE＝＝，故∠DAE＝45(又BC∥AD，故异面直线BC与AE所成角等于∠DAE。15．（四川省雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）棱长为2的正四面体的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 。
14．（四川省自贡市2010届高三三诊理科试题）如图3，A、B、C是球面上三点，且AB=2cm，BC=4cm，∠ABC=60°，若球心O到截面ABC的距离为cm，则该球的表面积为 。48
14．（四川省资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）若三条射线OA、OB、OC两两成角60(，则直线OA与平面OBC所成的角为_______．
15．(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a 。
三、解答题
得分
评卷人
（19）(四川省绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C与底面ABC垂直，BB1=BC，∠B1BC=60o，AB=AC，M是B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：AB1//平面A1CM；
（Ⅱ）若AB1与平面BB1C1C所成的角为45o，求二面角B-AC-B1的大小．
19．解：（I）证明：如图，连结AC1，交A1C于N，连结MN．
∵ M是中点，N是AC1的中点，
∴ MN//AB1．
∵ MN平面A1CM，
∴ AB1//平面A1CM．………………4分
（II）作BC的中点O，连接AO、B1O．
由 AB=AC，得AO⊥BC．
∵ 侧面BB1C1C与底面ABC垂直，
∴ AO⊥面BB1C1C， …………………………………………………………6分
∴ ∠AB1O是AB1与平面BB1C1C所成的角，即∠AB1O=45o，从而AO=B1O．
又∵ BB1=BC，∠B1BC=60o，
∴ △B1BC是正三角形，故B1O⊥BC．
以O为原点，分别以OB、OB1、OA为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．设OA=a，则A(0，0，a)，B1(0，a，0)，C(，0，0)，O(0，0，0)，
∴ ，，．
∵ OB1⊥平面ABC，故是平面ABC的一个法向量，设为n1，
则n1=，
设平面AB1C的法向量为n2=(x2，y2，z2)，
由 n2=0且 n2=0 得
令y2=a，得n2=(a，a，a)．
∴ cos=，
∴ =．
即二面角B-AC-B1的大小是． ……………………………………12分
19．（四川省自贡市2010届高三三诊理科试题）（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=BC=AB,E是BP的中点。
（I）求证：EC//平面APD；
（II）求BP与平面ABCD所成角的正切值；
（III）求二面角P-AB-D的大小。
19、解：解法一(Ⅰ) 如图，取PA的中点为F，连结EF、FD。
∵ E是BP的中点
∵ EF∥AB 且EF＝AB, 又 ∵DC∥AB, DC=AB
∴　EF∥DC ，∴ 四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD.
又∵ EC平面PAD,FD平面PAD ∴ EC∥平面ADE ……(4分)
(Ⅱ) 取AD中点H，连结PH，因为PA＝PD， 所以PH⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD, ∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影，
∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角　　 ………(6分)
∵四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°∴四边形ABCD是直角梯形, ∴DC＝CB＝AB,
设AB＝，则BD＝　在ABD中，易得∠DBA＝45°, AD＝，
　PH＝＝＝　
又 ∵ BD2+AD2＝4＝AB2,　 ∴ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°, ………(7分)
∴ HB＝＝＝　
∴二面角P—AB—D的大小为 ……(12分)
解法二(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设AB＝2，同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB＝90°,
如图以D为原点，DA所在直线为轴，DB所在直线为轴，过D点且垂直于
平面ABCD的直线为轴建立空间直角坐标系， ………(5分)[来源:学科网]
则B（0，，0），P（，0，）， ∴（－，，－），
平面ABCD的一个法向量为（0，0，1）， ………(6分)
所以， ………(7分)
可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为，
所以PB与平面ABCD所成角的正切值为， 　 ………(8分)
(Ⅲ)易知A（，0，0），则＝（－，，0，）， ………(9分)
设平面PAB的一个法向量为＝（）则
　　由 => =>
令　可得＝(1，1，1) ……(11分)
从而，所以二面角P—AB—D的大小为 ……(12分)
19．（四川省南充高中2010届高三4月月考理科试题）（本小题满分12分） 如图，在四棱维P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点．
（1）求异面直线PD与AE所成角的大小；
（2）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
（3）在（2）的条件下，求二面角F－PC－E的大小．
[来源:学科网ZXXK] 19．（四川省资阳市2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分12分）
如图，已知PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，且BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角C－PB－D的大小；
（Ⅲ）在线段PE上是否存在一点M，使DM∥平面PBC，若存在求出点M；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）连接DO，BO∥CD且BO=CD，则四边形BODC是平行四边形，故BC∥OD，又BC⊥AB，则BO⊥OD，因为PO⊥平面ABCD，可知OD、OB、OP两两垂直，分别以OD、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 2分
设AO=1，则，，，，，则，，．
则，，故PE⊥PB，PE⊥BC，又PB∩BC=B，
∴PE⊥平面PBC． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PBC的一个法向量，设面PBD的一个法向量为，，，
由得取，则，
故二面角C－PB－D的大小为． 8分
（Ⅲ）存在满足条件的点M． 9分
由（Ⅰ）可知，向量是平面PBC的一个法向量，若在线段PE上存在一点M，使DM∥平面PBC，设，则
，由，
得，∴，即M点与线段PE的端点E重合． 12分
19、（四川省眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科）（本题满分12分）
已知梯形中，分别是上的点，是的中点。沿梯形翻折，使平面平面（如图）。
（1）当时，求证：；
（2）若以为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
⑶当取得最大值时，求二面角的余弦值。
１９、（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，为的中点.
(Ⅰ)求证：底面；
（Ⅱ）求二面角的大小.
19. （本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）证明：，O为BC中点
∴
又
而ABCD是直角梯形，从而BC与AD相交 （没有说明扣1分）
∴PO⊥底面ABCD
（Ⅱ） PO⊥底面ABCD ，过点作于点E，连接PE
由三垂线定理知
∴∠PEO为二面角P—AD—B的平面角
∵AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，O为BC中点
∴，，
由等面积法知
∴
∴∠PEO＝，即二面角P—AD—B的大小为（或或）
解法二： （Ⅰ）同解法一；
如图，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz
（Ⅱ）∵BC＝PB＝PC＝2 且PO⊥底面ABCD
∴平面ABCD的法向量为
∵，，
∴，
设平面的法向量为，由得到
，令，则，，即
二面角的大小为（或或）
19．(四川省成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)（12分）
在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF//AC，
（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A—BF—E的大小。
19．（12分）
解：（1）∵平面ACEF⊥平面ABCD，
EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如图所示的空间直角坐标系
，
…………2分
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为[来源:学§科§网]
，则
①
②
③
④
由①②③④解得
…………4分
，
故平面BEF⊥平面DEF …………6分
（2）设平面ABF的法向量，
…………8分
…………10分
由图知，二面角A—BF—E的平面角是钝角，
故所求二面角的大小为 …………12分

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