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同步探究学案
课题 27.3 实际问题与反比例函数(第1课时) 单元 第二十七章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.能识别实际问题中的反比例数量关系，建立反比例函数模型． 2.会结合实际情境写出反比例函数解析式，根据实际意义确定自变量取值范围．
重点 识别实际情境的反比例关系，建立反比例函数模型解决实际问题.
难点 结合现实情境，确定自变量实际取值范围，解释结果的实际意义.
探究过程
导入新课 【引入思考】 1. 反比例函数解析式是什么？两个变量之间有什么关系？ 2. 反比例函数的增减性和什么有关？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助反比例函数，解决实际问题。 例1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度(单位：)与卸载完所有货物的总时间(单位：)之间有怎样的函数关系 (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物 分析：根据“平均装载速度装载总时间货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到关于的函数解析式. 归纳：用反比例函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式给出），并理清常量与变量之间的关系． （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示． （3）列：由题目中的已知条件列出方程（组），求出待定系数． （4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围． （5）解：运用函数的解析式和相关性质解决实际问题． 古希腊科学家阿基米德(公元前287——前212)发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂(如图所示). 例2：某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和. (1)动力(单位：)与动力臂(单位：)有怎样的函数关系？当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力 (2)若想使动力不超过(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少 说一说：用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力 归纳：实际问题建模步骤： 找定值→识别反比例关系→写解析式→确定自变量实际范围→求解→解释实际意义
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象的说法正确的是（ ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 2．一个水池装水，如果每小时排水量为，那么将水池中的水排完所需的时间（小时）与之间的函数表达式为_________． 3．陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 选做题： 4．当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的可能是（ ） A．4 B．6 C．12 D．13 【综合拓展类练习】 5．某蓄水池的储水量为，当排水速度为时，可将满池水全部排空． (1)写出v与t之间的函数关系式． (2)如果在内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？ (3)已知最大排水速度为，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2．某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 3．如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 选做题： 4．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？
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同步探究学案
课题 27.3 实际问题与反比例函数(第1课时) 单元 第二十七章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.能识别实际问题中的反比例数量关系，建立反比例函数模型． 2.会结合实际情境写出反比例函数解析式，根据实际意义确定自变量取值范围．
重点 识别实际情境的反比例关系，建立反比例函数模型解决实际问题.
难点 结合现实情境，确定自变量实际取值范围，解释结果的实际意义.
探究过程
导入新课 【引入思考】 1. 反比例函数解析式是什么？两个变量之间有什么关系？ 答案：， 两个变量乘积为定值，即. 2. 反比例函数的增减性和什么有关？ 答案：与的符号有关. 当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，随的增大而减小； 当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，随的增大而增大.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助反比例函数，解决实际问题。 例1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度(单位：)与卸载完所有货物的总时间(单位：)之间有怎样的函数关系 (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物 分析：根据“平均装载速度装载总时间货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到关于的函数解析式. 解：(1)轮船上的货物总量为(t)，所以关于的函数解析式为 (2)把代入，得 从结果可以看出，如果全部货物恰好用卸载完，那么平均每小时卸载.对于函数，当时，越小，越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 归纳：用反比例函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式给出），并理清常量与变量之间的关系． （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示． （3）列：由题目中的已知条件列出方程（组），求出待定系数． （4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围． （5）解：运用函数的解析式和相关性质解决实际问题． 古希腊科学家阿基米德(公元前287——前212)发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂(如图所示). 例2：某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和. (1)动力(单位：)与动力臂(单位：)有怎样的函数关系？当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力 (2)若想使动力不超过(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少 解：(1)根据“杠杆原理”，得 所以关于的函数解析式为 当时， 对于函数，当时，，此时杠杆平衡.因此，撬动石头至少需要的力. (2)对于函数，当时，随的增大而减小.因此，只要求出时对应的的值，就能确定动力臂至少应加长的量. 将代入，得 因此，若想用力不超过的一半，动力臂的长度就应该不小于，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m). 说一说：用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力 答案：由杠杆原理，阻力×阻力臂是定值k，可得动力，这是反比例函数. 动力臂l越长，动力F就越小，所以越省力. 归纳：实际问题建模步骤： 找定值→识别反比例关系→写解析式→确定自变量实际范围→求解→解释实际意义
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价（元）与购买数量（本）的函数图象的说法正确的是（ ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 答案：D 2．一个水池装水，如果每小时排水量为，那么将水池中的水排完所需的时间（小时）与之间的函数表达式为_________． 答案： 3．陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 解：（1）设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）当时，代入得： ， 答：采摘完这个苹果园所需的时间为天． 选做题： 4．当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的可能是（ ） A．4 B．6 C．12 D．13 答案：B 【综合拓展类练习】 5．某蓄水池的储水量为，当排水速度为时，可将满池水全部排空． (1)写出v与t之间的函数关系式． (2)如果在内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？ (3)已知最大排水速度为，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？ 解：（1）由题意得，蓄水池储水量为，即排水速度与排水时间的乘积为储水量，， 整理得， ∵排水时间为正数， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）要求内排空满池水，即排水时间， 将代入，得， ∵，当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴每小时至少排水； （3）∵已知最大排水速度为，即， ∴将代入，得，解得， ∵，当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴最少用可将满池水全部排空．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 答案： 3．如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 解：（1）∵与成反比例函数关系， ∴设函数关系式为（）． 将，代入，得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）当时，， 答：当载重后总质量时，它的最快移动速度为． 选做题： 4．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 解：（1）由圆锥体积公式可得， 漏斗口的面积与漏斗的深的函数关系为； （2）把代入可得， 解得（）， 对于函数，当时，越大，越小， 当漏斗口的面积不超过时，那么漏斗的深至少为．
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