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同步探究学案
课题 27.3 实际问题与反比例函数(第3课时) 单元 第二十七章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.了解利用实验数据建立函数模型的基本思路，会绘制散点图，能根据散点分布特征判断可选用反比例函数拟合变量间的关系． 2.完整经历画散点图→建立模型→检验模型→求解预测的全过程，会利用多组数据求参数k的平均值，确定反比例函数解析式并进行求值预测． 3.通过气体压强与体积的跨学科探究，体会函数是刻画变量关系的数学模型，发展数据分析意识与模型观念．
重点 经历实验数据建立反比例近似模型完整四步骤，完成气体压强与体积探究.
难点 理解实验得到的是近似函数模型，数据点不需要全部落在函数图象上.
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：前2节课的学习中，通过实际问题建立反比例模型的前提是什么？ 答案：题目给出数量关系，两个变量乘积为定值.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助实验数据，研究拟合模型。 探究：某物理实验小组研究气体的压强(单位：)与体积(单位：)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(如表1所示). 序号123456体积201816141210压强100112123145163201
表1 气体的压强与体积是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 分析：由表可知，压强是体积的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图(如图1所示).观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.可以发现，图2中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积之间的关系. 图1 图2 (2)建立模型.设函数解析式为，根据表1中的数据，分别求出的值，列出表2. V20816141210100112123145163201200020161968203019562010
表2 计算所有值的平均值，得 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 ① (3)检验模型.将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强与体积的关系. (4)求解问题.将代入①，得 解得 因此，当压强为时，气体的体积约为. 思考1：“探究”的表1中的有些数对只能近似满足函数解析式，即图1中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 答案：以往解决的问题是依据实际问题中确定的变量关系建立函数模型，而对于探究栏目中的问题，需要先分析数据、直观呈现数据变化趋势后，再评估数据所满足的函数类型，建立函数模型. 思考2：结合“探究”和问题(1)所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. 答案：一般步骤：根据数据画散点图；分析数据变化规律，初步建立函数模型；检验函数模型；用函数模型解决问题.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：）（单位：）
则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂0.10.20.40.8动力201052.5
观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 答案：8 3．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米）近视眼镜的度数（度）
(1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 解：（1）设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 选做题： 4．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：A 【综合拓展类练习】 5．气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 解：（1）∵， ∴当时，，即函数表达式为． （2）当时，． 答：当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为． （3）当时，，解得：． 答：要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为的储气罐． （4）函数的图像是反比例函数在第一象限的一支， 列表： V……1234567…………71……
描点，连线如下： ①∵在第一象限，V增大，ρ减小， ∴这些气体的体积增大时，密度变小； ②∵容积不超过2m3，即， 当时，，且V越小，ρ越大， ∴，即把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度的范围为．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（ ） 电流I（安）0.41.01.62.02.5时间t（秒）25106.2554
A． B． C． D． 答案：C 2．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率（）波长（）
则当时，电磁波的波长为________． 答案： 3．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，小李决定从家骑行去某古镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系．根据以往的骑行两地的经验，、的一些对应值如表：
(1)根据表中的数据求小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式； (2)当骑行速度为时，小李上午从家出发，请判断他能否在上午之前到达目的地，并说明理由． 解：（1）∵小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系， ∴设关系式为， 代入，得， 解得， ∴小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式为； （2）不能，理由如下： 当时，则， 解得， ∴当骑行速度为时，小李的骑行时间为， ∵上午从家出发到上午为，且， ∴他不能在上午之前到达目的地． 选做题： 4．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． …234612……23.915.812.1a4.1…
下列说法不正确的是（ ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 答案：D 【综合拓展类作业】 5．生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据． 屏幕尺寸x/英寸57152427屏幕像素密度4403141479281
(1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； (2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 解：（1）观察表格数据，每组x与y的乘积近似为常数，故y是x的反比例函数， 设函数解析式为， 将，代入，得， 代入其余各组数据验证，结果均与表格中y的数值近似相等， 故函数解析式为； （2）当时，代入，得， 解得， 答：该屏幕尺寸为55英寸．
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课题 27.3 实际问题与反比例函数(第3课时) 单元 第二十七章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.了解利用实验数据建立函数模型的基本思路，会绘制散点图，能根据散点分布特征判断可选用反比例函数拟合变量间的关系． 2.完整经历画散点图→建立模型→检验模型→求解预测的全过程，会利用多组数据求参数k的平均值，确定反比例函数解析式并进行求值预测． 3.通过气体压强与体积的跨学科探究，体会函数是刻画变量关系的数学模型，发展数据分析意识与模型观念．
重点 经历实验数据建立反比例近似模型完整四步骤，完成气体压强与体积探究.
难点 理解实验得到的是近似函数模型，数据点不需要全部落在函数图象上.
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：前2节课的学习中，通过实际问题建立反比例模型的前提是什么？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助实验数据，研究拟合模型。 探究：某物理实验小组研究气体的压强(单位：)与体积(单位：)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(如表1所示). 序号123456体积201816141210压强100112123145163201
表1 气体的压强与体积是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 分析：由表可知，压强是体积的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图(如图1所示).观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.可以发现，图2中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积之间的关系. 图1 图2 (2)建立模型.设函数解析式为，根据表1中的数据，分别求出的值，列出表2. V20816141210100112123145163201
表2 计算所有值的平均值，得 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 ① (3)检验模型.将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强与体积的关系. (4)求解问题.将代入①，得 解得 因此，当压强为时，气体的体积约为. 思考1：“探究”的表1中的有些数对只能近似满足函数解析式，即图1中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 思考2：结合“探究”和问题(1)所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：）（单位：）
则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ） A． B． C． D． 2．某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂0.10.20.40.8动力201052.5
观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 3．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米）近视眼镜的度数（度）
(1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 选做题： 4．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【综合拓展类练习】 5．气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（ ） 电流I（安）0.41.01.62.02.5时间t（秒）25106.2554
A． B． C． D． 2．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率（）波长（）
则当时，电磁波的波长为________． 3．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，小李决定从家骑行去某古镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系．根据以往的骑行两地的经验，、的一些对应值如表：
(1)根据表中的数据求小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式； (2)当骑行速度为时，小李上午从家出发，请判断他能否在上午之前到达目的地，并说明理由． 选做题： 4．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． …234612……23.915.812.1a4.1…
下列说法不正确的是（ ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【综合拓展类作业】 5．生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据． 屏幕尺寸x/英寸57152427屏幕像素密度4403141479281
(1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； (2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？
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