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恒成立、有解问题，根的分布问题
知识梳理
1、恒成立与有解问题
1.1 恒成立与有解的含义
恒成立：对集合 中的每一个 ，不等式都成立；只要在 里找到一个反例，恒成立就不成立.有解（也叫能成立、存在性成立）：只要 中存在一个 使不等式成立即可，其余的 取什么都不管.
两者的否定关系是：量词与不等号同时反转.；，其中 与 互换、 与 互换.所以恒成立的否定是有解，有解的否定是恒成立；题目说"命题为假""不成立""不存在"时，先把命题翻成反面，再按 1.2 的结论处理.
1.2 最值转化结论
设含 的式子在 上的最大值为 、最小值为 ，则：
不等式 转化结论
式子 对 恒成立
式子 对 恒成立
式子 对 有解
式子 对 有解
2、一元二次方程根的分布问题
根的分布问题，是问方程 （）的两根 、 相对某个常数或某个范围的位置.设二次函数 ，则两根就是图象与 轴交点的横坐标，根的位置问题就是交点的位置问题.开口方向确定后，看三样：
① 判别式 ——图象与 轴有没有交点、有几个交点；
② 对称轴 ——交点大概落在哪一侧、是否落在指定范围内；
③ 特殊点处的函数值——把特殊点的横坐标代入 ，由函数值的正负锁定交点相对它的位置.
具体各类位置对应什么条件、图象长什么样，见题型三的知识讲解与配图.
题型一　恒成立问题
i.在R上恒成立——判别式法
题面出现"对任意 都成立""解集为 ""命题为真"，且 取全体实数、式子是整式二次——这时不需要求最值，直接看图象：设二次函数 ，"对一切 恒正"就是抛物线整条在 轴上方，而这当且仅当开口向上且与 轴无交点；交点个数由判别式决定， 无交点、 恰有一个公共点（此时函数在顶点处取到 ，不满足严格大于零）、 有两个交点.所以恒正 开口向上且 ；恒负 开口向下且 ；带等号（、）时允许取到 ，判别式放宽为 .
方法：题面出现"对任意 都成立""解集为 ""命题为真"，且 取全体实数、式子是整式二次——判别式法：抛物线整条在 轴上方，当且仅当开口向上且与 轴无交点，故开口向上且 保证恒正.
易错：含参数时先讨论二次项系数为零，漏了就少一支；带等号时判别式要放宽为 .
例1、已知命题"，"是真命题，则实数 的取值范围为( )
A．　　 B．
C．　　 D． 或
解：二次项系数是常数 ，抛物线要整条在 轴上方即与 轴无交点，故只需 ：
，解得 .
所以 的取值范围为 ，选 A.
端点为什么取不到：若放宽成 ，则 时原式为 ，在 处取到 ； 时原式为 ，在 处取到 ，都不满足"大于 ".严格不等号对应严格的 .
1、若不等式 的解集是 ，则 的范围是( )
A． B． C． D．
2、（多选）若命题"，"是假命题，则 的值可以是( )
A． B． C． D．
3、已知命题“，”是真命题，则实数 的取值范围是______．
ii.在给定集合上恒成立——分离参数法
的取值集合是给定的范围（不是全体实数）时，判别式不再够用——抛物线只需在这一段上位于 轴上方，整条曲线的位置无所谓.这时首选分离参数法：把参数干净地分到不等式一边，把分离后不含参数的一侧记作 ，化成 （或 ）后，"对每个 都成立"就变成" 不低于 在 上的最大值（不超过最小值）"——这正是知识梳理 1.2 最值转化结论的直接应用.
使用时按四步走：①移项，把含参数的项集中到一边；②两边同除以含 的式子前先定号，范围端点处除数为零的要单独代入检验；③求 在给定范围上的最值——对勾函数 型的注意单调性分段，必要时换元；④严格不等号求出的边界，代回检验端点能否取到.
方法：参数能干净地分到不等式一边，就用分离参数法——按恒成立取"最紧"的一端，化为 不超过（或不低于）该式在给定 取值集合上的最小值（最大值），再求最值，由最值转化结论保证.
易错：除以含 的式子前先定号；严格不等号求得的边界要代回检验端点能否取到.
例2、若命题 ："存在 ，使得 "为假命题，则实数 的最大值是( )
A．　　 B． C．　　 D．
解：题面是"存在 使 "为假命题，先翻量词——它等价于"对任意 ，都有 恒成立".
分离参数：由 ，因为 时 ，两边同除以 （不等号方向不变）得 .参考1.2表格可知，此时 .由基本不等式可得，，当且仅当时等号成立，所以.
检验端点： 时原式为 ，在 上恒成立，可以取到，所以 的最大值是 ，选 C.
1、若命题"，"为真命题，则实数 的一个值为______．
2、使得 ， 为真命题的一个必要不充分条件是( )
A． B． C． D．
3、若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
iii.主元法
题面换成"对 恒成立，求 "——参数 的范围已知，反而是 待求.这时把参数换当主元：整理成关于 的一次式，设为 ，则 是关于 的一次函数；一次函数在 上的最值只在两个端点取到，所以"对一切 成立"等价于"在 、 两个端点处同时成立"——两个不等式联立即可解出 .注意一次项系数含 ，它为零时一次式退化为常数，这一支要单独讨论.
方法：题面是"对 在给定范围内取值时不等式恒成立，求 "，参数一次而 反而是待求量，就用主元法——把 看作自变量，整理成关于 的一次式，其最值只在两端点取到，故只需两端点处同时成立，由一次函数的单调性保证.
易错：系数为零的那一支必须单独讨论，漏掉就会把不成立的 也放进去.
例3、对于 ，不等式 恒成立的 的取值范围是______．
解：参数 是一次而 待求，按主元法先把原式整理成关于 的一次式：
.
设 （）.它是关于 的一次式，最值必在端点取到，所以按系数 的符号分三种情况.
当 时，， 对一切 成立，不满足 ，舍去.
当 时，， 关于 递增，最小值在左端点 处：，解得 或 ；与 取交集得 .
当 时，， 关于 递减，最小值在右端点 处：，解得 或 ；与 取交集得 .
综上， 的取值范围是 或 .
1、若 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
2、若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
3、若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
题型二　有解问题
方法：题面出现"存在 使……成立""有解""能成立"，或"命题为假"（否定后是存在性），就用最值法——有解取"最松"的一端，即式子 有解等价于 不超过该式的最大值；参数未分离时先分离，再求另一侧在给定 取值集合上的最大值.
易错：题面给"命题为假"时先翻量词再定方向，直接照原题面求最值会全盘跑偏.
例4、存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是______．
解：不等式左边只含 、右边只含 ，参数已天然分离.按"存在"取最松的一端：
，.
因为 在 上随的增大而增大，.
所以只需 ，即 ，因式分解得 ，解得 .
对照一下：若把题干改成"对任意 都成立"，就要改用最小值 ，答案完全不同.可见"存在"二字直接决定了取哪一端.
分离后形如 的分式，先把分子按分母配凑成 的对勾形式再换元，用对勾函数的单调性在给定范围上求最值.
例5、若存在 ，使不等式 成立，则 的取值范围是______．
解：把含 的项集中到一边：.
因为 时 ，两边同除以 （不等号方向不变）得 .存在要取最大值一端，故 .
先按分母配凑分子：.
这个形态提示换元：令 ，由 得 ，于是设 （）.
最大值只能比较范围两端： 时 ， 时 ，故 的最大值为 .
所以 ，即 的取值范围是 .
（若误取对勾函数的极小值 ，答案会小一大截.）
1、命题"，"为假命题的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
2、"，"的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
3、若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为______．
题型三　根的分布问题
题面给出的是根的位置——"方程的两根都大于 ""有一正根一负根""一根比 大、另一根比 小".这类题不要去解方程：根往往带根式，题目也不要求写出根，只需把根"框"进指定范围.基本路子就是"三个看"：判别式、对称轴、特殊点的函数值.
根与常数 的比较
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即
大致图象
（a>0）
得出的结论
大致图象
（a<0）
得出的结论
综合结论 （不讨论a）
2.根在给定范围内的分布
分布情况 两根都在
内 两根仅有一根在内
（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根
在内，
大致图象
（）
得出的结论 或
大致图象
（）
得出的结论 或
综合结论
（不讨论） ——————
例6、若关于 的方程 的两根都大于 ，求实数 的取值范围.
解：设二次函数 ，开口向上.
判别式：，解得 或 .
对称轴：，解得 .
代入值：把 代入，得 ，需与开口方向同号，即 ，解得 .
三条同时成立，取交集得 .
1、""是"一元二次方程 有两个异号的实数根"的( )条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2、（多选）已知关于 的方程 ，则下列说法正确的是( )
A．当 时，方程的两个实根和为
B．方程无实根的一个必要条件是
C．方程有两个正实根的充要条件是
D．方程有两个正实根的一个充分条件是
3、方程 有两个正实根，则实数 的取值范围为______．
4、方程 的两根都大于 的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
5、已知方程 的两根都在集合 内，则 的取值范围为( )
A． B． C． D．
6、设二次函数 ．
（1）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，且两根都大于等于 且小于等于 ，求实数 的取值范围；
（2）若关于 的方程 有一个根小于 ，另一个根大于 且小于 ，求实数 的取值范围．
课后作业
1、已知不等式 的解集是 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
2、已知命题 ：，．若命题 为假命题，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D． 或
3、（多选）对于所有实数 ，使得不等式 恒成立的一个充分不必要条件可以是( )
A． B． C． D．
4、若 ， 是真命题，则实数 的取值范围是______．
5、对于任意的实数 ，，则 的取值范围是______．
6、（多选）下列命题正确的是( )
A． 在集合 上恒成立，则实数 的取值范围是
B．关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是 或
C．若关于 的方程 的一根比 大且另一根比 小，则 的取值范围是
D．"集合 中只有一个元素"是""的必要不充分条件
7、已知二次函数 ．
（1）求关于 的不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，求实数 的取值范围；
（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
8、已知关于 的不等式 ．
（1）是否存在实数 ，使不等式对任意 恒成立，并说明理由；
（2）若不等式对于 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 使不等式成立，求 的取值范围．
9、设 ．
（1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求 的最小值；
（3）解关于 的不等式 ．
10、已知 ， 是方程 的两个实根．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若两根都大于 ，求 的取值范围．
1恒成立、有解问题，根的分布问题
知识梳理
1、恒成立与有解问题
1.1 恒成立与有解的含义
恒成立：对集合 中的每一个 ，不等式都成立；只要在 里找到一个反例，恒成立就
不成立.有解（也叫能成立、存在性成立）：只要 中存在一个 使不等式成立即可，其余的
取什么都不管.
两者的否定关系是：量词与不等号同时反转. ( ∈ , > 0) ∈ , ≤ 0；
( ∈ , > 0) ∈ , ≤ 0，其中 > 与 ≤ 互换、≥ 与 < 互换.所以恒成立的否定是有
解，有解的否定是恒成立；题目说"命题为假""不成立""不存在"时，先把命题翻成反面，再按
1.2 的结论处理.
1.2 最值转化结论
设含 的式子在 上的最大值为 、最小值为 ，则：
不等式 转化结论
式子 ≥ 对 ∈ 恒成立 ≤
式子 ≤ 对 ∈ 恒成立 ≥
式子 ≥ 对 ∈ 有解 ≤
式子 ≤ 对 ∈ 有解 ≥
2、一元二次方程根的分布问题
根的分布问题，是问方程 2 + + = 0（ ≠ 0）的两根 1、 2 相对某个常数或某个
范围的位置.设二次函数 = 2 + + ，则两根就是图象与 轴交点的横坐标，根的位置
问题就是交点的位置问题.开口方向确定后，看三样：
① 判别式 ——图象与 轴有没有交点、有几个交点；

② 对称轴 = ——交点大概落在哪一侧、是否落在指定范围内；
2
③ 特殊点处的函数值——把特殊点的横坐标代入 2 + + ，由函数值的正负锁定交
点相对它的位置.
具体各类位置对应什么条件、图象长什么样，见题型三的知识讲解与配图.
1
题型一 恒成立问题
i.在 R 上恒成立——判别式法
题面出现"对任意 都成立""解集为 ""命题为真"，且 取全体实数、式子是整式二次—
—这时不需要求最值，直接看图象：设二次函数 = 2 + + ，"对一切 恒正"就是抛物
线整条在 轴上方，而这当且仅当开口向上且与 轴无交点；交点个数由判别式决定， < 0
无交点、 = 0 恰有一个公共点（此时函数在顶点处取到 0，不满足严格大于零）、 > 0 有
两个交点.所以恒正 开口向上且 < 0；恒负 开口向下且 < 0；带等号（≥ 0、≤ 0）
时允许取到 0，判别式放宽为 ≤ 0.
方法：题面出现"对任意 都成立""解集为 ""命题为真"，且 取全体实数、式子是整式
二次——判别式法：抛物线整条在 轴上方，当且仅当开口向上且与 轴无交点，故开口向
上且 < 0 保证恒正.
易错：含参数时先讨论二次项系数为零，漏了就少一支；带等号时判别式要放宽为 ≤
0.
1
例 1、已知命题" ∈ ，4 2 + ( 2) + > 0"是真命题，则实数 的取值范围为( )
4
A．{ ∣ 0 < < 4} B．{ ∣ 0 ≤ ≤ 4}
C．{ ∣ ≥ 4} D．{ ∣ ≤ 0 或 ≥ 4 }
解：二次项系数是常数 4 > 0，抛物线要整条在 轴上方即与 轴无交点，故只需 <
0：
= ( 2)2
1
4 × 4 × = 2 4 = ( 4) < 0，解得 0 < < 4.
4
所以 的取值范围为 { ∣ 0 < < 4}，选 A.
1 2 1
端点为什么取不到：若放宽成 ≤ 0，则 = 0 时原式为 (2 ) ，在 = 处取到 0；
2 4
1 2 1
= 4 时原式为 (2 + ) ，在 = 处取到 0，都不满足"大于 0".严格不等号对应严格的
2 4
< 0.
2
1、若不等式 ( 1) 2 + ( 1) + 2 > 0 的解集是 ，则 的范围是( )
A．{ ∣ 1 ≤ < 9} B．{ ∣ ≥ 2} C．{ ∣ ≥ 1} D．{ ∣ 2 ≤ ≤ 9}
2、（多选）若命题" ∈ ， 2 + < 0"是假命题，则 的值可以是( )
A．0 B． 1 C．2 D．4
3、已知命题“ ∈ ， 2 + + 1 ≥ 0”是真命题，则实数 的取值范围是______．
ii.在给定集合上恒成立——分离参数法
的取值集合是给定的范围（不是全体实数）时，判别式不再够用——抛物线只需在这
一段上位于 轴上方，整条曲线的位置无所谓.这时首选分离参数法：把参数干净地分到不等
式一边，把分离后不含参数的一侧记作 ，化成 ≥ （或 ≤ ）后，"对每个 ∈ 都成
立"就变成" 不低于 在 上的最大值（不超过最小值）"——这正是知识梳理 1.2 最值转化
结论的直接应用.
使用时按四步走：①移项，把含参数的项集中到一边；②两边同除以含 的式子前先定
号，范围端点处除数为零的要单独代入检验；③求 在给定范围上的最值——对勾函数 +

型的注意单调性分段，必要时换元；④严格不等号求出的边界，代回检验端点能否取到.

方法：参数能干净地分到不等式一边，就用分离参数法——按恒成立取"最紧"的一端，
化为 不超过（或不低于）该式在给定 取值集合上的最小值（最大值），再求最值，由最
值转化结论保证.
易错：除以含 的式子前先定号；严格不等号求得的边界要代回检验端点能否取到.
例 2、若命题 ："存在 1 ≤ ≤ 2，使得 2 + 4 < 0"为假命题，则实数 的最大值
是( )
3
A．1 B． C．4 D．6
2
3
解：题面是"存在 1 ≤ ≤ 2 使 2 + 4 < 0"为假命题，先翻量词——它等价于"对任
意 1 ≤ ≤ 2，都有 2 + 4 ≥ 0 恒成立".
分离参数：由 2 + 4 ≥ ，因为 1 ≤ ≤ 2 时 > 0，两边同除以 （不等号方向不
4 4 4
变）得 ≤ + .参考 1.2 表格可知，此时 ≤ ( + ) .由基本不等式可得，( + ) =

4，当且仅当 = 2时等号成立，所以 ≤ 4.
检验端点： = 4 时原式为 2 4 + 4 = ( 2)2 ≥ 0，在 { ∣ 1 ≤ ≤ 2} 上恒成立，
可以取到，所以 的最大值是 4，选 C.
1、若命题" ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 4}， 2 2 > 0"为真命题，则实数 的一个值为
______．
2、使得 ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 2}， 2 + ≤ 0 为真命题的一个必要不充分条件是( )
A． ≤ 2 B． ≤ 6 C． ≥ 2 D． ≥ 6
3、若对任意 ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 2}，不等式 2 + 3 < 0 恒成立，则实数 的取值范围是
______．
iii.主元法
题面换成"对 ∈ { ∣ ≤ ≤ } 恒成立，求 "——参数 的范围已知，反而是 待求.
这时把参数换当主元：整理成关于 的一次式，设为 ，则 是关于 的一次函数；一次函
数在 { ∣ ≤ ≤ } 上的最值只在两个端点取到，所以"对一切 ∈ { ∣ ≤ ≤ } 成立"等
价于"在 = 、 = 两个端点处同时成立"——两个不等式联立即可解出 .注意一次项系数
含 ，它为零时一次式退化为常数，这一支要单独讨论.
4
方法：题面是"对 在给定范围内取值时不等式恒成立，求 "，参数一次而 反而是待
求量，就用主元法——把 看作自变量，整理成关于 的一次式，其最值只在两端点取到，
故只需两端点处同时成立，由一次函数的单调性保证.
易错：系数为零的那一支必须单独讨论，漏掉就会把不成立的 也放进去.
例 3、对于 1 ≤ ≤ 1，不等式 2 + ( 2) + 1 > 0 恒成立的 的取值范围是
______．
解：参数 是一次而 待求，按主元法先把原式整理成关于 的一次式：
2 + ( 2) + 1 = ( 1) + 2 2 + 1.
设 = ( 1) + 2 2 + 1（ 1 ≤ ≤ 1）.它是关于 的一次式，最值必在端点取
到，所以按系数 1 的符号分三种情况.
当 = 1 时， 1 = 0， = 0 对一切 成立，不满足 > 0，舍去.
当 > 1 时， 1 > 0， 关于 递增，最小值在左端点 = 1 处： 2 3 + 2 >
0，解得 < 1 或 > 2；与 > 1 取交集得 > 2.
当 < 1 时， 1 < 0， 关于 递减，最小值在右端点 = 1 处： 2 > 0，解得
< 0 或 > 1；与 < 1 取交集得 < 0.
综上， 的取值范围是 { ∣ < 0 或 > 2 }.
1、若 0 ≤ ≤ 1 时，不等式 2 + 5 6 > 0 恒成立，则实数 的取值范围是______．
2、若对任意 ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 2}，不等式 2 + ( 2) + 2 > 0 恒成立，则实数 的
取值范围是______．
3、若对任意 ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 3}，不等式 2 2 + + 2 < 0 恒成立，则实数 的取值范
围是______．
5
题型二 有解问题
方法：题面出现"存在 使……成立""有解""能成立"，或"命题为假"（否定后是存在
性），就用最值法——有解取"最松"的一端，即式子 ≥ 有解等价于 不超过该式的最大
值；参数未分离时先分离，再求另一侧在给定 取值集合上的最大值.
易错：题面给"命题为假"时先翻量词再定方向，直接照原题面求最值会全盘跑偏.
例 4、存在 ∈ { ∣ 0 ≤ ≤ 3}，使不等式 2 2 ≥ 2 3 成立，则实数 的取值范
围是______．
解：不等式左边只含 、右边只含 ，参数已天然分离.按"存在"取最松的一端：
∈ { ∣ 0 ≤ ≤ 3}，2 2 ≥ 2 3 (2 2) ≥
2 3 .
因为 2 2 在 { ∣ 0 ≤ ≤ 3} 上随 的增大而增大，(2 2) = 2 × 3 2 = 4.
所以只需 4 ≥ 2 3 ，即 2 3 4 ≤ 0，因式分解得 ( 4)( + 1) ≤ 0，解得
1 ≤ ≤ 4.
对照一下：若把题干改成"对任意 ∈ { ∣ 0 ≤ ≤ 3} 都成立"，就要改用最小值
(2 2) = 2，答案完全不同.可见"存在"二字直接决定了取哪一端.
2+1
分离后形如 ≤ 的分式，先把分子按分母配凑成 + 的对勾形式再换元，用对勾
+1
函数的单调性在给定范围上求最值.
例 5、若存在 0 ≤ ≤ 3，使不等式 2 + 1 ≥ 0 成立，则 的取值范围是
______．
解：把含 的项集中到一边： 2 + 1 ≥ ( + 1).
2+1
因为 0 ≤ ≤ 3 时 + 1 > 0，两边同除以 + 1（不等号方向不变）得 ≤ .存在要
+1
2+1
取最大值一端，故 ≤ ( ) .
+1
2+1 ( +1)2 2( +1)+2 2
先按分母配凑分子： = = ( + 1) + 2.
+1 +1 +1
2
这个形态提示换元：令 = + 1，由 0 ≤ ≤ 3 得 1 ≤ ≤ 4，于是设 = + 2

（1 ≤ ≤ 4）.
2 5
最大值只能比较范围两端： = 1 时 = 1 + 2 2 = 1， = 4 时 = 4 + 2 = ，故
4 2
5
的最大值为 .
2
6
5 5
所以 ≤ ，即 的取值范围是 { ∣ ≤ }.
2 2
（若误取对勾函数的极小值 2√2 2 ≈ 0.83，答案会小一大截.）
1、命题" ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 1}， 2 2 > 0"为假命题的一个充分不必要条件是( )
A． > 2 B． > 1 C． ≥ 2 D． ≥ 1
2、" ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 4}， 2 + + 4 ≤ 0"的一个充分不必要条件是( )
A． ≤ 5 B． ≤ 4 C． ≥ 5 D． ≥ 4
3、若存在 ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 3}，使得不等式 2 + ( 2) 2 > 0 成立，则实数 的取值
范围为______．
7
题型三 根的分布问题
题面给出的是根的位置——"方程的两根都大于 1""有一正根一负根""一根比 1 大、另一
根比 1 小".这类题不要去解方程：根往往带根式，题目也不要求写出根，只需把根"框"进指定
范围.基本路子就是"三个看"：判别式、对称轴、特殊点的函数值.
1. 根与常数 的比较
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一根小于 k ，一大于k 即
分布情况
x1 k, x2 k x1 k, x2 k x1 k x2
k
大致图象 k
（a>0）
> 0 > 0

得出的结论 { < { > 2 + + < 0
2 2
2 + + > 0 2 + + > 0
大致图象
（a<0）
> 0 > 0

得出的结论 { < { > 2 + + > 0
2 2
2 + + < 0 2 + + < 0
> 0 > 0
综合结论
{ < { > ( 2 + + ) < 0
（不讨论 a） 2 2
( 2 + + ) > 0 ( 2 + + ) > 0
8
2.根在给定范围内的分布
两根都在 两根仅有一根在{ ∣ < < }内 一根在{ ∣ < < }内，另一根
分布情况
{ ∣ < < }内 （图象有两种情况，只画了一种） 在{ ∣ < < }内，m n p q
大致图象
（a 0 ）
2 + + > 0
> 0 2
+ + < 02
+ + > 0 { 或 2 + + < 0
得出的结论 2 + + > 0 ( 2 + + )( 2 + + ) < 0

2 + + > 0
< < ( 2 + + )( 2 + + ) < 0
{ 2 {
( 2 + + )( 2
+ + ) < 0
大致图象
（a 0）
2 + + < 0
> 0
2 + + > 0
2 + + < 0 { 或 2 + + > 0
得出的结论 2 + + < 0 ( 2 + + )( 2 + + ) < 0
2 + + < 0
< < ( 2 + + )( 2 + + ) < 0
{ 2 {
( 2 + + )( 2 + + ) < 0
综合结论 ( 2 + + )( 2 + + ) < 0
a —————— (
2 + + )( 2 + + ) < 0 {
（不讨论 ） ( 2 + + )( 2 + + ) < 0
9
例 6、若关于 的方程 2 + ( 2) + 5 = 0 的两根都大于 2，求实数 的取值范
围.
解：设二次函数 = 2 + ( 2) + 5 ，开口向上.
判别式： = ( 2)2 4(5 ) = 2 16 > 0，解得 < 4 或 > 4.
2
对称轴： > 2，解得 < 2.
2
代入值：把 = 2 代入，得 4 + 2( 2) + 5 = + 5，需与开口方向同号，即
+ 5 > 0，解得 > 5.
三条同时成立，取交集得 5 < < 4.

1、" < 0"是"一元二次方程 2 + + = 0 有两个异号的实数根"的( )条件

A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
2、（多选）已知关于 的方程 2 + ( 3) + 4 = 0，则下列说法正确的是( )
A．当 = 3 时，方程的两个实根和为 0
B．方程无实根的一个必要条件是 > 1
C．方程有两个正实根的充要条件是 ≤ 1
D．方程有两个正实根的一个充分条件是 < 1
3、方程 2 ( 1) + 1 = 0 有两个正实根，则实数 的取值范围为______．
4、方程 2 4 + = 0 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是( )
A．3 < < 4 B．3 < ≤ 4 C． > 3 D． ≤ 4
10
5、已知方程 2 2 + + 2 = 0 的两根都在集合 { ∣ 1 < < 4} 内，则 的取值范围为
( )
18 18 18
A．{ ∣ 2 ≤ < 3} B．{ ∣ 1 < < } C．{ ∣ ≤ < 3} D．{ ∣ 2 ≤ < }
7 7 7
6、设二次函数 = 2 2 + ( 2) + ．
（1）若关于 的方程 = 0 有两个不相等的实数根，且两根都大于等于 1 且小于等于
2，求实数 的取值范围；
（2）若关于 的方程 = 有一个根小于 1，另一个根大于 1 且小于 2，求实数 的取
值范围．
11
课后作业
1、已知不等式 2 2 + + > 0 的解集是 { ∣ 1 < < 3}，若对于任意 ∈ { ∣ 1 ≤
≤ 0}，不等式 2 2 + + + ≤ 8 恒成立，则 的取值范围是( )
A．{ ∣ ≤ 2} B．{ ∣ ≤ 2} C．{ ∣ ≤ 4} D．{ ∣ ≤ 4}
2、已知命题 ： ≥ 1， 2 + (4 ) + 13 2 ≥ 0．若命题 为假命题，则实数 的
取值范围是( )
A．{ ∣ > 6} B．{ ∣ > 10} C．{ ∣ 6 < ≤ 10} D．{ ∣ ≤ 6 或
> 10 }
3、（多选）对于所有实数 ，使得不等式 2 + + 2 > 0 恒成立的一个充分不必要条件可
以是( )
A． > 0 B． > 1 C． < 0 D． < 2
3
4、若 ∈ ，2 2 + < 0 是真命题，则实数 的取值范围是______．
8
5、对于任意的实数 ∈ { ∣ 0 ≤ ≤ 1}， 2 2 ≥ 2，则 的取值范围是______．
12
6、（多选）下列命题正确的是( )
A． 2 + 1 < 0 在集合 { ∣ 1 < < 2} 上恒成立，则实数 的取值范围是
{ ∣ ≥ 3}
+
B．关于 的不等式 > 0 的解集是 { ∣ > 1}，则关于 的不等式 > 0 的解集是
2
{ ∣ < 1 或 > 2 }
C．若关于 的方程 2 + ( 2 1) + 2 = 0 的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 的取值
范围是 { ∣ 1 < < 2}
1
D．"集合 = { ∣ 2 + + 1 = 0} 中只有一个元素"是" = "的必要不充分条件
4
7、已知二次函数 = 2 + ( 1) ．
（1）求关于 的不等式 > 0 的解集；
（2）若关于 的不等式 < 0 的解集中恰有 3 个整数，求实数 的取值范围；
1
（3）当 ≤ ≤ 3 时，不等式 > (1 ) 2 + (2 + 1) 2 + 1 恒成立，求实数 的
2
取值范围．
13
8、已知关于 的不等式 2 2 + 1 < 0．
（1）是否存在实数 ，使不等式对任意 ∈ 恒成立，并说明理由；
（2）若不等式对于 ∈ { ∣ 1 ≤ ≤ 1} 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ∈ { ∣ ≥ 2} 使不等式成立，求 的取值范围．
9、设 = 2 + (1 ) + 2．
（1）若不等式 ≥ 2 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
2+2 +5
（2）在（1）的条件下，求 的最小值；
+1
（3）解关于 的不等式 2 + (1 ) + 2 < 1 ( ∈ )．
14
10、已知 1， 2 是方程
2 + + 1 = 0 的两个实根．
（1）若 21 +
2
2 = 6，求实数 的值；
（2）若两根都大于 1，求 的取值范围．
15恒成立、有解问题，根的分布问题
知识梳理
1、恒成立与有解问题
1.1 恒成立与有解的含义
恒成立：对集合 中的每一个 ，不等式都成立；只要在 里找到一个反例，恒成立就不成立.有解（也叫能成立、存在性成立）：只要 中存在一个 使不等式成立即可，其余的 取什么都不管.
两者的否定关系是：量词与不等号同时反转.；，其中 与 互换、 与 互换.所以恒成立的否定是有解，有解的否定是恒成立；题目说"命题为假""不成立""不存在"时，先把命题翻成反面，再按 1.2 的结论处理.
1.2 最值转化结论
设含 的式子在 上的最大值为 、最小值为 ，则：
不等式 转化结论
式子 对 恒成立
式子 对 恒成立
式子 对 有解
式子 对 有解
2、一元二次方程根的分布问题
根的分布问题，是问方程 （）的两根 、 相对某个常数或某个范围的位置.设二次函数 ，则两根就是图象与 轴交点的横坐标，根的位置问题就是交点的位置问题.开口方向确定后，看三样：
① 判别式 ——图象与 轴有没有交点、有几个交点；
② 对称轴 ——交点大概落在哪一侧、是否落在指定范围内；
③ 特殊点处的函数值——把特殊点的横坐标代入 ，由函数值的正负锁定交点相对它的位置.
具体各类位置对应什么条件、图象长什么样，见题型三的知识讲解与配图.
题型一　恒成立问题
i.在R上恒成立——判别式法
题面出现"对任意 都成立""解集为 ""命题为真"，且 取全体实数、式子是整式二次——这时不需要求最值，直接看图象：设二次函数 ，"对一切 恒正"就是抛物线整条在 轴上方，而这当且仅当开口向上且与 轴无交点；交点个数由判别式决定， 无交点、 恰有一个公共点（此时函数在顶点处取到 ，不满足严格大于零）、 有两个交点.所以恒正 开口向上且 ；恒负 开口向下且 ；带等号（、）时允许取到 ，判别式放宽为 .
方法：题面出现"对任意 都成立""解集为 ""命题为真"，且 取全体实数、式子是整式二次——判别式法：抛物线整条在 轴上方，当且仅当开口向上且与 轴无交点，故开口向上且 保证恒正.
易错：含参数时先讨论二次项系数为零，漏了就少一支；带等号时判别式要放宽为 .
例1、已知命题"，"是真命题，则实数 的取值范围为( )
A．　　 B．
C．　　 D． 或
解：二次项系数是常数 ，抛物线要整条在 轴上方即与 轴无交点，故只需 ：
，解得 .
所以 的取值范围为 ，选 A.
端点为什么取不到：若放宽成 ，则 时原式为 ，在 处取到 ； 时原式为 ，在 处取到 ，都不满足"大于 ".严格不等号对应严格的 .
1、若不等式 的解集是 ，则 的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 ，即 时，原不等式可化为 ，恒成立，满足解集为 ；
当 ，即 时，若解集为 ，则需 ，解得 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
2、（多选）若命题"，"是假命题，则 的值可以是( )
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】由题意可知：命题"，"是真命题，
则 ，解得 ．结合选项可知 AB 正确，CD 错误．
3、已知命题“，”是真命题，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】当 时，不等式为 ，恒成立，符合题意；
当 时，需开口向上且抛物线与 轴至多一个交点，即 且 ，解得 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
ii.在给定集合上恒成立——分离参数法
的取值集合是给定的范围（不是全体实数）时，判别式不再够用——抛物线只需在这一段上位于 轴上方，整条曲线的位置无所谓.这时首选分离参数法：把参数干净地分到不等式一边，把分离后不含参数的一侧记作 ，化成 （或 ）后，"对每个 都成立"就变成" 不低于 在 上的最大值（不超过最小值）"——这正是知识梳理 1.2 最值转化结论的直接应用.
使用时按四步走：①移项，把含参数的项集中到一边；②两边同除以含 的式子前先定号，范围端点处除数为零的要单独代入检验；③求 在给定范围上的最值——对勾函数 型的注意单调性分段，必要时换元；④严格不等号求出的边界，代回检验端点能否取到.
方法：参数能干净地分到不等式一边，就用分离参数法——按恒成立取"最紧"的一端，化为 不超过（或不低于）该式在给定 取值集合上的最小值（最大值），再求最值，由最值转化结论保证.
易错：除以含 的式子前先定号；严格不等号求得的边界要代回检验端点能否取到.
例2、若命题 ："存在 ，使得 "为假命题，则实数 的最大值是( )
A．　　 B．
C．　　 D．
解：题面是"存在 使 "为假命题，先翻量词——它等价于"对任意 ，都有 恒成立".
分离参数：由 ，因为 时 ，两边同除以 （不等号方向不变）得 .参考1.2表格可知，此时 .由基本不等式可得，，当且仅当 时等号成立，所以 .
检验端点： 时原式为 ，在 上恒成立，可以取到，所以 的最大值是 ，选 C.
1、若命题"，"为真命题，则实数 的一个值为______．
【答案】（不唯一）
【详解】由题意， 对任意 恒成立，
因为 ，所以当 时， 的最小值为 ，所以 ．
故 可取 ．
2、使得 ， 为真命题的一个必要不充分条件是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若 ， 为真命题，则 时 ．
而 ，故当 时取到最大值 ，故 ．
因此 是所求必要不充分条件的范围的真子集，故选项中只有 满足条件．故选 C．
3、若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】分离参数：由 ，因为 时 ，两边同除以 （不等号方向不变）得 ，即 .恒成立取最紧的一端，故 .由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以实数 的取值范围是 ．
iii.主元法
题面换成"对 恒成立，求 "——参数 的范围已知，反而是 待求.这时把参数换当主元：整理成关于 的一次式，设为 ，则 是关于 的一次函数；一次函数在 上的最值只在两个端点取到，所以"对一切 成立"等价于"在 、 两个端点处同时成立"——两个不等式联立即可解出 .注意一次项系数含 ，它为零时一次式退化为常数，这一支要单独讨论.
方法：题面是"对 在给定范围内取值时不等式恒成立，求 "，参数一次而 反而是待求量，就用主元法——把 看作自变量，整理成关于 的一次式，其最值只在两端点取到，故只需两端点处同时成立，由一次函数的单调性保证.
易错：系数为零的那一支必须单独讨论，漏掉就会把不成立的 也放进去.
例3、对于 ，不等式 恒成立的 的取值范围是______．
解：参数 是一次而 待求，按主元法先把原式整理成关于 的一次式：
.
设 （）.它是关于 的一次式，最值必在端点取到，所以按系数 的符号分三种情况.
当 时，， 对一切 成立，不满足 ，舍去.
当 时，， 关于 递增，最小值在左端点 处：，解得 或 ；与 取交集得 .
当 时，， 关于 递减，最小值在右端点 处：，解得 或 ；与 取交集得 .
综上， 的取值范围是 或 .
1、若 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】把 看成关于 的一次式，由题知当 时它恒为正，由于一次式在端点处取最值，所以
，解得 ．
所以实数 的取值范围是 ．
2、若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】把原式整理成关于 的一次式：．
设 （），它是关于 的一次式，最值必在端点取到，按系数 的符号分三种情况．
当 时，， 恒成立，符合题意；
当 时，， 关于 递增，最小值在左端点 处：，其判别式 ，恒成立，故 都符合题意；
当 时，， 关于 递减，最小值在右端点 处：，解得 ，故 且 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
3、若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】把原式整理成关于 的一次式：．
设 （），按系数 的符号分三种情况．
当 ，即 时，，不满足 ，舍去；
当 时，， 关于 递增，最小值在左端点 处：，无解，舍去；
当 时，， 关于 递减，最小值在右端点 处：，解得 ，与 取交集得 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
题型二　有解问题
方法：题面出现"存在 使……成立""有解""能成立"，或"命题为假"（否定后是存在性），就用最值法——有解取"最松"的一端，即式子 有解等价于 不超过该式的最大值；参数未分离时先分离，再求另一侧在给定 取值集合上的最大值.
易错：题面给"命题为假"时先翻量词再定方向，直接照原题面求最值会全盘跑偏.
例4、存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是______．
解：不等式左边只含 、右边只含 ，参数已天然分离.按"存在"取最松的一端：
，.
因为 在 上随的增大而增大，.
所以只需 ，即 ，因式分解得 ，解得 .
对照一下：若把题干改成"对任意 都成立"，就要改用最小值 ，答案完全不同.可见"存在"二字直接决定了取哪一端.
分离后形如 的分式，先把分子按分母配凑成 的对勾形式再换元，用对勾函数的单调性在给定范围上求最值.
例5、若存在 ，使不等式 成立，则 的取值范围是______．
解：把含 的项集中到一边：.
因为 时 ，两边同除以 （不等号方向不变）得 .存在要取最大值一端，故 .
先按分母配凑分子：.
这个形态提示换元：令 ，由 得 ，于是设 （）.
最大值只能比较范围两端： 时 ， 时 ，故 的最大值为 .
所以 ，即 的取值范围是 .
（若误取对勾函数的极小值 ，答案会小一大截.）
1、命题"，"为假命题的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原命题"，"为假命题，等价于它的否定
"，"为真命题，
即对于 ， 成立．
设 ，开口向上，对称轴为 ，
故 在 上单调递减，最小值为 （当 时取得）．
因此原命题为假等价于 ，即原命题为假对应集合为 ．
充分不必要条件对应集合是 的真子集，选项中仅有 满足条件，
因此命题为假的一个充分不必要条件是 ．
2、"，"的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，所以 ．
当 时，，当且仅当 即 时取等号，所以 ．
则 ，．
选项 A， 能推出 ，而 不能推出 ，故 是它的一个充分不必要条件；
选项 B 是它的充分必要条件，选项 C、D 是既不充分也不必要条件．
3、若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为______．
【答案】 或
【详解】把 看成关于 的一次式，"存在"只需一个端点处成立：
时 ①，或 时 ②．
解①可得 或 ；解②可得 或 ．
实数 的取值范围为 或 ．
题型三　根的分布问题
题面给出的是根的位置——"方程的两根都大于 ""有一正根一负根""一根比 大、另一根比 小".这类题不要去解方程：根往往带根式，题目也不要求写出根，只需把根"框"进指定范围.基本路子就是"三个看"：判别式、对称轴、特殊点的函数值.
根与常数 的比较
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即
大致图象
（a>0）
得出的结论
大致图象
（a<0）
得出的结论
综合结论 （不讨论a）
2.根在给定范围内的分布
分布情况 两根都在
内 两根仅有一根在内
（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根
在内，
大致图象
（）
得出的结论 或
大致图象
（）
得出的结论 或
综合结论
（不讨论） ——————
例6、若关于 的方程 的两根都大于 ，求实数 的取值范围.
解：设二次函数 ，开口向上.
判别式：，解得 或 .
对称轴：，解得 .
代入值：把 代入，得 ，需与开口方向同号，即 ，解得 .
三条同时成立，取交集得 .
1、""是"一元二次方程 有两个异号的实数根"的( )条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】设一元二次方程的两根是 ，．
充分性：当 时，根据根与系数的关系 可知 ，所以方程的两根必有一正一负，充分性成立；
必要性：当方程有两个异号实根时，则有 ，所以 ，必要性成立．
所以是充要条件．故选 C．
2、（多选）已知关于 的方程 ，则下列说法正确的是( )
A．当 时，方程的两个实根和为
B．方程无实根的一个必要条件是
C．方程有两个正实根的充要条件是
D．方程有两个正实根的一个充分条件是
【答案】BCD
【详解】对于 A，当 时，方程 无实数根，所以 A 错误；
对于 B，方程无实数根，则 ，解得 ，
又由 是 的真子集，所以方程无实根的一个必要条件是 ，故 B 正确；
对于 CD，方程有两个正实数根的充要条件是 ，解得 ，
且 是 的真子集，
所以方程有两个正实根的一个充分条件是 ，故 CD 正确．
3、方程 有两个正实根，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【详解】因为方程 有两个正实根 ，，
所以 ，解得 ．
实数 的取值范围为 ．
4、方程 的两根都大于 的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设二次函数 ，其图象对称轴为 ，
由方程 的两根都大于 ，等价于把 代入的函数值为正、且 ：
，
即 ，解得 ，即 ．
对于 A：因 是 的真子集，故 是两根都大于 的充分不必要条件，故 A 正确；
对于 B：由上分析知， 是两根都大于 的充要条件，故 B 错误；
对于 C：因 ，若取 ，故 不是两根都大于 的充分条件，故 C 错误；
对于 D：因 ，若取 ，故 不是两根都大于 的充分条件，故 D 错误．
故选 A．
5、已知方程 的两根都在集合 内，则 的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设二次函数 ，设 的两根为 ，．
由 ， 都在集合 内，把 、 分别代入，函数值需为正，且对称轴在内、：
，解得 ．
所以 的取值范围为 ．故选 D．
6、设二次函数 ．
（1）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，且两根都大于等于 且小于等于 ，求实数 的取值范围；
（2）若关于 的方程 有一个根小于 ，另一个根大于 且小于 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）．　（2）．
【详解】（1）设二次函数 ，由题意可知其图象与 轴有两个交点，且交点的横坐标都在 与 之间（含端点）．
把 、 分别代入：函数值分别为 （恒非负）与 ，需 ；再加上 与对称轴位置：
，即 ，
解得 ．
即实数 的取值范围是 ．
（2）由 得 ，
设二次函数 ，由题意可得其图象与 轴交点的横坐标一个小于 ，另一个大于 且小于 ．
把 代入需函数值为负、把 代入需函数值为正：
，即 ，解得 ．
即实数 的取值范围是 ．
课后作业
1、已知不等式 的解集是 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得 和 是关于 的方程 的两个实数根，
所以 ，解得 ，
所以 ．
由 得 ．
当 时，．
所以 ，则 的取值范围是 ，故 A 正确．
2、已知命题 ：，．若命题 为假命题，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D． 或
【答案】A
【详解】由题意得命题 的否定 ：， 为真命题，
设二次函数 （），其对称轴为 ．
当 ，即 时，函数最小值为 （当 时取得），
由题意得 ，即 ，与 矛盾，；
当 ，即 时，函数最小值为
，
由题意得 ，即 或 ，．
综上 ．故选 A．
3、（多选）对于所有实数 ，使得不等式 恒成立的一个充分不必要条件可以是( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】若不等式 对于所有实数 恒成立，则 ，即 ．
的充分不必要条件可以是它的真子集，故 A、C 正确．
4、若 ， 是真命题，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】当 时， 恒成立，符合题意；
当 时，， 是真命题，
则 ，解得 ．
综上， 的取值范围为 ．
5、对于任意的实数 ，，则 的取值范围是______．
【答案】
【详解】原问题等价于关于 的一次不等式： 在 时恒成立，
把 看成关于 的一次式，两个端点处都得非负：
，解得 ．
所以 的取值范围是 ．
6、（多选）下列命题正确的是( )
A． 在集合 上恒成立，则实数 的取值范围是
B．关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是 或
C．若关于 的方程 的一根比 大且另一根比 小，则 的取值范围是
D．"集合 中只有一个元素"是""的必要不充分条件
【答案】ABD
【详解】对于 A：设二次函数 ，由 在集合 上恒成立，得 、 时的函数值都不大于零：
，解得 ，即 的取值范围是 ，故 A 正确；
对于 B： 关于 的不等式 的解集是 ，，
则 等价于 ，即 ，即 ，解得 或 ，
所以解集是 或 ，故 B 正确；
对于 C：要使方程的一根比 大且另一根比 小，设二次函数 ，把 代入需 ：
即 ，解得 ，所以 的取值范围为 ，故 C 错误；
对于 D：若集合 中只有一个元素，当 时 ，符合题意；
当 时，则 ，解得 ．
综上可得 或 ．
所以由"集合 中只有一个元素"推不出""，充分性不成立；
由""能推出"集合 中只有一个元素"，必要性成立．
所以前者是后者的必要不充分条件，故 D 正确．故选 ABD．
7、已知二次函数 ．
（1）求关于 的不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，求实数 的取值范围；
（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）当 时解集为 或 ；当 时为 ；当 时为 或 ．
（2） 或 ．　（3）．
【详解】（1）因为 ，
当 时，，此时不等式 的解集为 或 ；
当 时，，此时不等式 的解集为 ；
当 时，，此时不等式 的解集为 或 ．
（2）当 时，，此时 的解集为 ，
要使解集中恰有 个整数，则 ，解得 ；
当 时，，此时 的解集为 ，不符合题意；
当 时，，此时 的解集为 ，
要使解集中恰有 个整数，则 ，解得 ．
综上：实数 的取值范围为 或 ．
（3）由 整理得 ，
即 对 恒成立．
又因为 ．
令 ，，则 ，
可得 ．
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
且 ，所以 ，
可得 ，所以 的取值范围是 ．
8、已知关于 的不等式 ．
（1）是否存在实数 ，使不等式对任意 恒成立，并说明理由；
（2）若不等式对于 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 使不等式成立，求 的取值范围．
【答案】（1）不存在，理由见解析．　（2）．　（3）．
【详解】（1）当 时， 不恒成立；
当 时，若不等式对于任意实数 恒成立，则需 且 ，
而 ，故无解．
所以不存在实数 ，使不等式对任意 恒成立．
（2）把 看成关于 的一次式，当 时它恒小于零，当且仅当两个端点处都小于零：
．
由 得 或 ；由 得 ．
取交集得 的取值范围是 ．
（3）因为 ，所以由 得 ，
所以 ．
设 （），则 ，
所以 ．
设 （），显然 在 上为增函数，
所以当 时 取最小值 ，所以 ．
所以 的取值范围是 ．
9、设 ．
（1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求 的最小值；
（3）解关于 的不等式 ．
【答案】（1）．　（2）．　（3）当 时解集为 ；当 时为 或 ；当 时为 或 ；当 时为 ；当 时为 ．
【详解】（1）由题意知 对一切实数 恒成立，
故 对一切实数 恒成立．
当 时，得 ，不满足题意；
当 时，则需满足 ，解得 ．
综上所述，．
（2）由（1）可知 ，则 ，
，
当且仅当 即 时等号成立．
故 的最小值为 ．
（3）由 ，可得 ．
①当 时， 即 ，解集为 ；
②当 时，，不等式即为 ，解集为 或 ；
③当 时，，不等式即为 ，解集为 或 ；
④当 时，可得 ，解集为 ；
⑤当 时，，不等式即为 ，解集为 ．
综上可得原不等式的解集为：
当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ．
10、已知 ， 是方程 的两个实根．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若两根都大于 ，求 的取值范围．
【答案】（1）．　（2）．
【详解】（1）由 ， 是方程的两个实根，得 ，，
且 ，解得 或 ．
由 ，得 ，即 ．
解得 或 ．
又 或 ，经检验 不满足 应舍去，所以 ．
（2）由方程两根都大于 ，得 ，解得 ．
所以 的取值范围是 ．
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