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直线和圆、圆和圆的位置关系
知识梳理
一、直线与圆的位置关系
1. 三种位置关系与判定
直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种，分别对应两个公共点、一个公共点、没
有公共点.设圆心 到直线 的距离为 ，圆的半径为 ，则
相交 < ；相切 = ；相离 > .
这里的 用点到直线的距离公式计算：圆心为 ( 0, 0)、直线为 + + = 0 时，
| 0+ 0+ |
=
√ 2 + 2
当圆的方程给的是一般式 2 + 2 + + + = 0 时，先配方化成标准方程
( )2 + ( )2 = 2，读出圆心与半径后再算 .
判定也可以走代数路线：把直线方程代入圆的方程消元，得到关于 （或 ）的一元二
次方程，其判别式 > 0、 = 0、 < 0 分别对应相交、相切、相离；两条路线结论一致，
几何法只需求一个距离，代数法则同时给出交点坐标.
图 1
圆心到直线的距离 与半径 的大小关系，完全决定了直线与圆的位置关系： < 相
交、 = 相切、 > 相离.
2. 相交时的弦长
圆心到弦的垂线段平分弦（垂径定理），于是圆心到直线的距离 、半径 、半弦长构
成一个直角三角形| | = 2√ 2 2
1
越大弦越短： 从 0 增大到 的过程中，弦长从直径 2 连续减小到 0.特别地，过圆内
定点 的所有弦中，与 垂直的那条最短（此时 = | |），过圆心的那条最长（即直
径）.
图 2
3. 圆的切线方程与切线长
切线与过切点的半径互相垂直，这是切线的全部几何内涵.由它推出的方程分三种情形：
点在圆上：圆 ( )2 + ( )2 = 2 上一点 ( 1, 1) 处的切线方程为 ( 1
)( ) + ( 1 )( ) =
2.
圆心在原点的特例是 2 + 2 = 2，此时切线方程为 21 + 1 = .
点在圆外：过该点有两条切线.把点写成 ( 0, 0)，设切线斜率为 ，则切线
0 = ( 0) 到圆心的距离等于 ，由此定出 ；点斜式不包含斜率不存在的直线，
= 0 是否为切线要单独验证.
点在圆内：没有切线.
切线长指圆外一点到切点的距离.设圆心为 、半径为 、切点为 ，由 得直角三
角形 ，用勾股定理| | = √| |2 2
过圆外一点 作圆的两条切线，切点为 、 ，则直线 （切点弦）的方程与「点在圆
上」的切线公式形式相同，只需把公式中的切点坐标换成 的坐标：( 0 )( ) + ( 0
)( ) = 2.
2
图 3 左：切线垂直于过切点的半径；右：从圆外一点 引出的两条切线 、 ，切
点连线 即切点弦，图中 | | 即为切线长.
4. 从一点引两条切线的几何结构
设 、 是从点 向圆 所引的两条切线， 、 为切点，则有以下结论：
、 ，且 | | = | |、| | = | | = ；
△ △ ， 平分 ∠ ，也平分 ∠ ；
四边形 的面积 = | | · = 2 △ ；
四点 、 、 、 共圆（以 为直径），∠ 与 ∠ 互补；

在直角三角形 中， ∠ = ， ∠ = .
| | | |
二、圆与圆的位置关系
1. 五种位置关系与公切线
设两圆半径为 、 （ ≥ ），圆心距为 ，比较 与 + 、 的大小即可定出位
置关系.比较之前先把两个方程都化成标准方程，读出圆心与半径.
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
< < （含同心
的范围 > + = + =
< + = 0）
公共点个数 0 1 2 1 0
公切线条数 4 3 2 1 0
公切线指同时与两圆相切的直线：外离时两条外公切线、两条内公切线共 4 条；外切时
两条外公切线、一条内公切线共 3 条；相交时只剩 2 条外公切线；内切时只有 1 条；内含时
没有.
3
图 4
由 与 + 、 的大小关系依次得到外离、外切、相交、内切、内含五种位置关
系；图中把各自的公切线全部画出（实线为外公切线，虚线为内公切线），条数与上表一致.
2. 相交时的公共弦
两圆相交时，两个交点同时满足两个圆的方程，因此也满足「两式相减」得到的方程.把
两个方程都整理成 2 + 2 + + + = 0 的形式后相减，二次项消去，剩下的一次方程
就是公共弦所在直线的方程.
求弦长仍用垂径定理：先取其中一圆的圆心，求它到公共弦的距离 1，则公共弦长 =
2√ 2 21 .
4
题型一 直线与圆位置关系的判定
1、已知 ( 2 2 20, 0)是圆 : + = 内异于圆心的一点，则直线 0 +
2
0 = 与圆 C 的位
置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2、直线 : + + 2 = 0与圆 : 2 + 2 + 4 + 3 = 0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与 m 的取值有关
3、一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为2 的圆形区域内．已知
小岛中心位于轮船正西4 处，轮船航向为北偏西45 ，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触
礁风险？说明理由．
题型二 由直线与圆的位置关系求参数
方法：题干出现含参直线与圆「相切／相交／无公共点／总有两个公共点」，就把位置
关系翻译成圆心到直线的距离 与半径 的等式或不等式，再解出参数（依据：直线与圆的
位置关系由 与 的大小关系唯一确定）.
易错：「总有 2 个公共点」要先把直线族的定点找出来，别硬套判别式.
5
1、若对任意的 ∈ ，直线 = ( + 1)与圆 ( 5)2 + 2 = 2（ > 0）总有 2 个公共点，
则实数 的取值范围是（ ）
A．(4, +∞) B．(6, +∞) C．[4, +∞) D．[6, +∞)
2、若直线3 + 4 + = 0与圆 2 + 2 + 2 = 0无公共点，则（ ）
A． > 8或 < 2 B． > 2 C． > 8 D． > 2或 < 8
3、若直线 : 3 + 4 + = 0与圆 : 2 + 2 + 4 = 0有两个交点，则 m 的取值范围为（ ）
A．( 4,16) B．( 6,14) C．[ 4,16] D．[ 6,14]
4、（多选）已知圆 ： 2 + 2 = 2，直线 ： + = .若圆 与直线 有公共点，则 的值可
能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、若直线 + = 0与圆( 2)2 + ( 2)2 = 4相切，则 =________．
6
题型三 圆的切线方程
方法：先看点在圆上还是圆外——在圆上直接套切线公式，在圆外设点斜式、令圆心到
直线的距离等于半径解斜率，并单独验证竖直直线 = 0（依据：切线到圆心的距离等于半
径）.
易错：点在圆外时竖直切线 = 0 不含在点斜式里，漏验会丢解.
已知圆 : 2 + 2 = 5，求过点 (3,1) 的切线方程.
解：32 + 12 = 10 > 5，点 在圆外，有两条切线.
（1）斜率不存在时，直线 = 3 到圆心的距离为 3 ≠ √5，不是切线；
（2）设切线为 1 = ( 3)，即 + 1 3 = 0，由圆心到直线的距离等于半
|1 3 |
径得 = √5
√ 2+1
1
两边平方并整理得 4 2 6 4 = 0，即 2 2 3 2 = 0，解得 = 2 或 = .
2
故切线方程为 2 5 = 0 或 + 2 5 = 0.
1、过圆 2 + 2 = 5上一点 (1,2)作圆的切线 ，则 的方程为（ ）
A． + 2 3 = 0 B． 2 + 3 = 0 C．2 + 5 = 0 D． + 2 5 = 0
2、过点 (1,2)作圆 ：( 3)2 + 2 = 8 的切线，则切线方程为_______．
3、在平面直角坐标系 中，过点 ( 1,4)且与圆 : ( + 2)2 + ( 2)2 = 1相切的直线方程
为__________．
4、过点 (3, 1)且与圆 ： 2 + 2 2 6 + 6 = 0相切的直线方程为________
7
题型四 圆上到定直线距离为定值的点的个数
方法：作两条与已知直线距离为 的平行线，数它们与圆的交点个数，就是「到该直线
距离等于 的点」的个数，可直接化归为 与 ± 的大小比较（依据：圆上点到直线的距
离最小值为 | |、最大值为 + ）.
易错：「恰有 3 个」对应 = （要求 < ），不是 = + .
已知圆 : 2 + 2 = 4，直线 : = 1，在圆上找点 ，使点 到直线 的距离等于 1，这
样的点有几个？
解：与直线 : = 1 距离为 1 的两条平行线是 = 0 与 = 2.
= 0 过圆心，截圆得两个交点 (0, 2)、(0, 2)； = 2 到圆心的距离等于半径 2，与圆
相切，只有一个交点 (2, 0).
所以这样的点共有 3 个（此处 = 1， = 2， = 1，恰有 = ）.
1、已知圆( + 1)2 + 2 = 2（ > 0）上到直线 + √3 2 = 0的距离为 1 的点有且仅有 3
个，则 的值为（ ）
1 3 5 7
A． B． C． D．
2 2 2 2
2、已知圆 : ( + 2)2 + ( 1)2 = 9，直线 : + = 0，若圆 上至多有3个点到直线 的
距离为2，则 的取值范围是（ ）
A．( ∞, √2 1] ∪ [√2 1,+∞) B．( ∞, √2 1) ∪ (√2 1, +∞)
C．[ √2 1, √2 1] D．( √2 1, √2 1)
3、已知圆( 1)2 + 2 = 8上到直线 = + 的距离为√2的点有且仅有 4 个，则实数 的
取值范围为（ ）
A．( 3,1) B．( 3,0)
C．(0, 1) D．( ∞, 3) ∪ (1,+∞)
8
题型五 直线截圆的弦长与过圆内定点的最短弦
方法：先算圆心到直线的距离 ，用 | | = 2√ 2 2 求弦长；过圆内定点 的动直线
中，与 垂直的那条弦最短（依据：垂径定理——半弦长 = √ 2 2， 越大弦越短）.
易错： 是圆心到直线的距离，不是定点 到直线的距离.
已知圆 : 2 + 2 = 9，直线 : 3 + 4 12 = 0，求直线截圆所得的弦长.
|0+0 12| 12
解：圆心 (0,0) 到直线 的距离 = =
√32+42 5
144 81 9
半径 = 3，半弦长 = √9 = √ = ，
25 25 5
9 18
所以弦长 = 2 × = .
5 5
1、已知圆 : 2 + 2 4 5 = 0，过点 (3, 2)作直线 与圆 相交于点 、 ．当| |最小
时，△ 的面积为（ ）
A．√5 B．2√5 C．3√5 D．4√5

2、过点(0, 1)且倾斜角为 的直线 l 交圆 2 + 2 6 8 = 0于 、 两点，则弦 的长为
3
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3、直线 + √3 2 = 0被圆( 1)2 + 2 = 1所截得的线段的长为______．
9
2
4、若过点 (1,0)的直线 的倾斜角为 ，则直线 被圆 : 2 + 2 = 4所截得的弦长为
3
________．
5、已知圆 C 以(5, 5)为圆心，被直线 + 6 = 0截得的弦长为4√2．
(1)求圆 C 的方程；
(2)若点 (4,0), (0,2)，点 P 为在圆 C 上任一点，当∠ 最小时，求| |的值．
题型六 切线长
方法：求切线长先用两点间距离公式算出 | |，再代入 | | = √| |2 2；需要切点
坐标时再联立切线与圆的方程（依据：半径垂直于切线，直角三角形 中勾股定理成立）.
易错：用公式前先把圆化成标准方程，读准圆心坐标与半径.
已知圆 : ( 1)2 + ( 1)2 = 4，求点 (4,5) 到圆的切线长.
解：| |2 = (4 1)2 + (5 1)2 = 9 + 16 = 25，半径 = 2，
由切线长公式得 | | = √| |2 2 = √25 4 = √21.
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1、已知点 (3,5)是圆 : 2 + ( 1)2 = 1外一点，过 P 作圆 C 的两条切线，切于 A，B 两
点，则切线长| | =（ ）
A．2√6 B．2√5 C．√26 D．3√2
2、已知圆心为 C 的圆经过 (1,1)， (2, 2)，且圆心 C 在直线 : + 1 = 0上，过点
(3,6)作圆 C 的一条切线，则切线长为_______.
3、过点 ( 1,0)作圆 : ( 1)2 + ( 2)2 = 1的两条切线，设切点为 ， ，则线段 的长
为__________．
题型七 切线长的最值
方法：动点在直线或曲线上运动时，由 | | = √| |2 2 知切线长随 | | 一起变，把
切线长的最值转成 | | 的最值——点到直线垂线段最短（依据：半径 是定值，| | 随
| | 单调增大）.
易错：先判断动点在圆外还是圆上，动点落在圆上时切线长为 0.
已知圆 : 2 + 2 = 4，点 是直线 : + 4 = 0 上的动点，求过 向圆所引切线长
的最小值.
|0 0+4|
解：圆心 到直线 的距离为 | | = = 2√2， √2
此时切线长最小，最小值 = √| |2 2 = √8 4 = 2.
11
1、过直线 + = 4上的动点 向圆 : 2 + 2 = 4引切线 ，切点为 ，则| |的最小值为
（ ）
A．4 B．2 C．√2 D．1
2、已知圆 : ( 2)2 + ( 6)2 = 4，点 M 为直线 : + 8 = 0上一个动点，过点 M 作圆
C 的两条切线，切点分别为 A，B，则四边形 周长的最小值为（ ）
A．8 B．6√2 C．5√2 D．2 + 4√2
3、已知圆 : 2 + 2 2 2 = 0，点 在直线 + + 2 = 0上运动，过 作 的两条切线，
切点分别为 、 ，当四边形 的面积最小时，∠ =________．
4、已知⊙ : 2 + 2 + 2 4 + 1 = 0，直线 : 1 = 0，P 为 l 上的动点.过点 P 作⊙
的切线 ， ，切点分别为 A，B，当四边形 的面积最小时，直线 AB 的方程为
__________.
12
题型八 两切线的夹角与切点三角形面积
方法：见两条切线与切点，就用切线长定理把图形拆成两个全等的直角三角形——夹角
取半角的三角函数，四边形面积取 2 △ （依据：切线垂直于半径，△ △ ， =
、 = = ）.
易错：两条切线的夹角 ∠ 是直角三角形中那个锐角的两倍.
已知圆 : 2 + 2 = 4，过点 (0,4) 作圆的两条切线，切点为 、 ，求两条切线的夹角
∠ .
解：连接 、 . | | = 4，半径 = 2， 是切线，所以 .
| | 2 1
在直角三角形 中， ∠ = = = ，
| | 4 2
所以 ∠ = 30 ，两条切线的夹角 ∠ = 2∠ = 60 .
1、已知圆 : 2 + 2 = 4，过点 (0, 4)作圆 的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ）
2
A． B． C． D．
3 6 4 3
2、过点( 4,2√3)作圆 : 2 + 2 + 4 = 0的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ）
2
A． B． C． D．
4 2 3 3
3、过点 (3,6)作圆 : ( 1)2 + ( 3)2 = 5的两条切线，切点分别为 , ，则四边形
的面积为（ ）
A．√10 B．2√10 C．√65 D．2√65
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4、已知圆 : 2 + 2 + 4 8 + 12 = 0，过点 ( 4, 2)作圆 的切线 ， ，切点为
, ，则△ 的面积为（ ）
4 8 16 32
A． B． C． D．
5 5 5 5
题型九 切点弦方程
方法：由圆外一点 引两条切线、切点为 , ，求直线 就把 的坐标代入圆的切线
公式，也可以把「以 为直径的圆」与已知圆相减（依据： 、 同时在两个圆上，两式相
减即得公共弦所在的直线）.
易错：代入的是 的坐标而不是切点坐标，且要先确认 在圆外.
已知圆 : 2 + 2 = 4，过点 (4,2) 作圆的两条切线，切点为 、 ，求直线 的方程.
解：点 (4,2) 满足 42 + 22 = 20 > 4，在圆外.把 的坐标代入圆的切线公式 0 +
0 =
2，得4 + 2 = 4
即切点弦 所在的直线方程为 2 + 2 = 0.
1、过点 (5,3)作圆 : ( 1)2 + 2 = 9的切线，切点分别为 ， ，则直线 的方程为
____________.
2、过 ( 1,2)作圆( 1)2 + 2 = 4的两条切线，设切点分别为 , ，则直线 的方程为
___________．
14
3、过坐标原点 作圆( 3)2 + ( 4)2 = 1的两条切线，切点为 ， ，直线 被圆截得弦
| |的长度为__________．
题型十 圆与圆位置关系的判定与公切线条数
知识点 两圆的位置关系用圆心距 与两半径（ ≥ ）的和差比较： > + 外离、
= + 外切、 < < + 相交、 = 内切、 < 内含（同心是内含的
特例）.五种情形对应的公切线条数依次为 4、3、2、1、0 条；公共点个数依次为 0、1、2、
1、0 个.判定前先把两个方程都化成标准方程，读出圆心与半径.
1、已知圆 1: ( + 1)
2 + ( + 4)2 = 25，圆 2:
2 + 2 4 4 1 = 0，则圆 1与圆 2的位
置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
2、已知圆 : 2 + 21 = 4，圆
2 2
2: + + 8 6 + 9 = 0，则圆 1与圆 2的位置关系为
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
3、圆 1:
2 + 2 2 = 0和圆 2:
2 + 2 + 4 = 0的公切线的条数为（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
15
4、已知圆 1: ( 1)
2 + 2 = 1，圆 22: ( 2) + ( √3)
2 = 4，则 1与 2的公切线的条数
是________．
题型十一 两圆公共弦的方程与弦长
方法：先把两圆方程都整理成 2 + 2 + + + = 0 的形式再相减，消去二次项得
到公共弦所在的直线，随后求圆心到该直线的距离、用垂径定理算弦长（依据：两个交点同
时满足两圆方程，因而也满足两式之差）.
易错：相减前 2、 2 的系数必须都化成 1，否则二次项消不掉.
求圆 2 + 2 = 10 与 ( 2)2 + ( 1)2 = 5 的公共弦长.
解：第二个方程展开为 2 + 2 4 2 = 0，与 2 + 2 10 = 0 相减得4 + 2
10 = 0
5
即公共弦所在直线为 2 + 5 = 0.圆心 (0,0) 到它的距离 = = √5，
√5
半径 = √10，半弦长 = √10 5 = √5，所以公共弦长 = 2√5.
1、已知圆 ： 21 +
2 = 4与圆 2：
2 + 2 + 6 + 4 + 4 = 0的交点为 ， ，则直线 的
方程为（ ）
A．3 + 2 + 4 = 0 B．3 + 2 4 = 0 C．3 + 2 + 2 = 0 D．3 + 2 2 = 0
2、若圆 : 2 + 2 = 1与圆 : 2 + 2 6 6 + 7 = 0交于 ， 两点，则直线 的倾斜角
为（ ）
3 3
A． B． C． D．
4 4 4 4
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3、已知圆 : 2 + 2 = 2( > 0)与圆 : 2 + 2 4 2 + 4 = 0相交于 A、B 两点，若四
边形 的面积为 ，则| | =（ ）
2√5 4√5
A．2 B．4 C． D．
5 5
4、若圆 2 + 2 = 4与圆 2 + 2 + 2 6 = 0( > 0)的公共弦长为2√3，则 =（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5、圆 2 + 2 = 20与圆 2 + 2 6 8 + 20 = 0的公共弦长为（ ）
A．2 B．4√5 C．2√5 D．4
题型十二 由两圆的位置关系求参数
方法：把「两圆相交」「恰有 2 条公切线」「存在点满足某条件」先翻译成 与 ±
的大小关系，再解关于参数的不等式组（依据：两圆的位置关系由 、 + 、 三者的
大小关系唯一确定）.
易错：内含是 < 、内切是 = ，含参数时别漏掉方程本身表示圆的条件.
例：若圆 2 + 2 2 4 + = 0 与圆 2 + 2 = 1 相交，求实数 的取值范围.
解：第一个方程配方得 ( 1)2 + ( 2)2 = 5 ，它表示圆需 5 > 0，即 < 5.
此时 = √5 ， = 1，圆心距 = √12 + 22 = √5.
相交等价于 | | < < + ，即 | 1| < √5 < + 1.
由 √5 < + 1 得 > √5 1，两边平方得 5 > 6 2√5，解得 < 2√5 1；
17
由 | 1| < √5 得 < 1 + √5，两边平方得 5 < 6 + 2√5，解得 > 1 2√5（另
一侧 > 1 √5 恒成立）.
综上， 1 2√5 < < 2√5 1.
1、已知点 ( , 0), (4,6)到同一直线的距离分别为 7，3，若这样的直线恰有 2 条，则 的取
值范围为（ ）
A．( 12,4) B．( 6,4) C．( 4,12) D．( 6,12)
2、已知 ( 2,0)， (1,0)，若圆( 5)2 + ( 4)2 = 2( > 0)上存在点 满足| | =
2| |，则实数 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3、已知点 (4,0)， 是圆 : 2 + 2 = 4上的一动点，点 ( , )是线段 的中点．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)已知 、 是直线 : + 2 = 0上两个动点，且| | = 6．若∠ 恒为锐角，求线
段 中点 的横坐标取值范围．
18
课后作业
1、（多选）已知直线 : = 0，圆 : 2 + 2 4 2 + 1 = 0，则下列说法中正
确的是（ ）
A．圆心坐标为(2, 1)
B．对 ∈ ，直线 与圆 一定相交
C．直线 被圆 截得的最短弦长为2√3
1
D．当 = 1时，圆 上存在着 4 个点到直线 的距离为
2
2、直线 : + 2 = 0与圆 : 2 + 2 = 4相交于 , 两点，则| | =（ ）
A．2√2 B．2 C．√2 D．1
3、（多选）若圆 M：( )2 + ( 1)2 = 8与圆 N：( 1)2 + ( )2 = 2相交，则 k 的
取值可能为（ ）
3
A． B．1 C．3.8 D．4.2
2
4、（多选）已知圆 M：( + 1)2 + ( + 1)2 = 4，直线 l： + 2 = 0，P 为直线 l 上的动
点，过 P 点作圆 M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．当 (1,1)时，直线 AB 的方程为 + = 0
B．四边形 MAPB 面积的最小值为 4
C．线段 AB 的最小值为3√3

D．当∠ > 时，点 P 横坐标取值范围是( 1,3)
3
19
5、（多选）已知圆 1：
2 + 2 = 4与圆 2：
2 + 2 4 + 4 12 = 0，则（ ）
A．圆 2的圆心坐标为(2, 2) B．圆心距| 1 2| = 2√2
C．圆 1与圆 2相交 D．圆 1与圆 2的公共弦的长为2√2
6、已知圆 ：( + 1)2 + 2 = 32，直线 1： = 0， 1 ，圆 上恰有 3 个点到直线 的距
离为2√2，则直线 的方程为_____.
7、过点 (4, 1)作圆 : 2 + 2 + 2 4 4 = 0的切线 ， ，则切线长为__________；
过切点 A，B 的直线方程为__________．
8、圆 1: ( + 1)
2 + ( + 2)2 = 4与圆 2: ( 2)
2 + ( 2)2 = 24的公共弦长为_________．

9、已知圆 : ( 8)2 + ( 6)2 = 1, ( , 0), ( , 0)，若圆 上存在点 使∠ = ，则正
2
数 的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可）
20继续直线和圆、圆和圆的位置关系
知识梳理
一、直线与圆的位置关系
1. 三种位置关系与判定
直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种，分别对应两个公共点、一个公共点、没有公共点.设圆心 到直线 的距离为 ，圆的半径为 ，则
相交 ；相切 ；相离 .
这里的 用点到直线的距离公式计算：圆心为 、直线为 时，
当圆的方程给的是一般式 时，先配方化成标准方程 ，读出圆心与半径后再算 .
判定也可以走代数路线：把直线方程代入圆的方程消元，得到关于 （或 ）的一元二次方程，其判别式 、、 分别对应相交、相切、相离；两条路线结论一致，几何法只需求一个距离，代数法则同时给出交点坐标.
图 1
圆心到直线的距离 与半径 的大小关系，完全决定了直线与圆的位置关系： 相交、 相切、 相离.
2. 相交时的弦长
圆心到弦的垂线段平分弦（垂径定理），于是圆心到直线的距离 、半径 、半弦长构成一个直角三角形
越大弦越短： 从 增大到 的过程中，弦长从直径 连续减小到 .特别地，过圆内定点 的所有弦中，与 垂直的那条最短（此时 ），过圆心的那条最长（即直径）.
图 2　
3. 圆的切线方程与切线长
切线与过切点的半径互相垂直，这是切线的全部几何内涵.由它推出的方程分三种情形：
点在圆上：圆 上一点 处的切线方程为 .
圆心在原点的特例是 ，此时切线方程为 .
点在圆外：过该点有两条切线.把点写成 ，设切线斜率为 ，则切线 到圆心的距离等于 ，由此定出 ；点斜式不包含斜率不存在的直线， 是否为切线要单独验证.
点在圆内：没有切线.
切线长指圆外一点到切点的距离.设圆心为 、半径为 、切点为 ，由 得直角三角形 ，用勾股定理
过圆外一点 作圆的两条切线，切点为 、，则直线 （切点弦）的方程与「点在圆上」的切线公式形式相同，只需把公式中的切点坐标换成 的坐标：.
图 3　
左：切线垂直于过切点的半径；右：从圆外一点 引出的两条切线 、，切点连线 即切点弦，图中 即为切线长.
4. 从一点引两条切线的几何结构
设 、 是从点 向圆 所引的两条切线，、 为切点，则有以下结论：
、，且 、；
， 平分 ，也平分 ；
四边形 的面积 ；
四点 、、、 共圆（以 为直径）， 与 互补；
在直角三角形 中，，.
二、圆与圆的位置关系
1. 五种位置关系与公切线
设两圆半径为 、（），圆心距为 ，比较 与 、 的大小即可定出位置关系.比较之前先把两个方程都化成标准方程，读出圆心与半径.
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
的范围 （含同心 ）
公共点个数 0 1 2 1 0
公切线条数 4 3 2 1 0
公切线指同时与两圆相切的直线：外离时两条外公切线、两条内公切线共 4 条；外切时两条外公切线、一条内公切线共 3 条；相交时只剩 2 条外公切线；内切时只有 1 条；内含时没有.
图 4
由 与 、 的大小关系依次得到外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系；图中把各自的公切线全部画出（实线为外公切线，虚线为内公切线），条数与上表一致.
2. 相交时的公共弦
两圆相交时，两个交点同时满足两个圆的方程，因此也满足「两式相减」得到的方程.把两个方程都整理成 的形式后相减，二次项消去，剩下的一次方程就是公共弦所在直线的方程.
求弦长仍用垂径定理：先取其中一圆的圆心，求它到公共弦的距离 ，则公共弦长 .
题型一　直线与圆位置关系的判定
1、已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】C
【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：，因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离.
2、直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关
【答案】A
【详解】圆，则圆心，半径，所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交．
3、一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由．
【答案】没有，理由如下：以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，由题意可知，轮船航线所在直线过点，轮船航线所在直线的倾斜角为，斜率为，所以，轮船航线所在直线方程为，即．原点到轮船航线所在直线的距离为，所以，轮船没有触礁风险．
题型二　由直线与圆的位置关系求参数
方法：题干出现含参直线与圆「相切／相交／无公共点／总有两个公共点」，就把位置关系翻译成圆心到直线的距离 与半径 的等式或不等式，再解出参数（依据：直线与圆的位置关系由 与 的大小关系唯一确定）.
易错：「总有 2 个公共点」要先把直线族的定点找出来，别硬套判别式.
1、若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线对任意都过定点.要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点.若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ；若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线，由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意；若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件.综上，实数的取值范围为.
2、若直线与圆无公共点，则（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【详解】由得，则圆心，半径.因为直线与圆无公共点，所以圆心到直线的距离，即，化简得，，解得，或.
3、若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆即的圆心为，半径为，若直线与圆有两个交点，则，即，解得，所以m的取值范围为.故选：A
4、（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点，则圆心到直线的距离，解得，故选A、B.
5、若直线与圆相切，则________．
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径.
由直线与圆相切，则得，
解得.
题型三　圆的切线方程
方法：先看点在圆上还是圆外——在圆上直接套切线公式，在圆外设点斜式、令圆心到直线的距离等于半径解斜率，并单独验证竖直直线 （依据：切线到圆心的距离等于半径）.
易错：点在圆外时竖直切线 不含在点斜式里，漏验会丢解.
已知圆 ，求过点 的切线方程.
解：，点 在圆外，有两条切线.
（1）斜率不存在时，直线 到圆心的距离为 ，不是切线；
（2）设切线为 ，即 ，由圆心到直线的距离等于半径得
两边平方并整理得 ，即 ，解得 或 .
故切线方程为 或 .
1、过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆的圆心为，则直线的斜率为，因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，则切线的斜率为,所以直线的方程为,即.故选：D
2、过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______．
【答案】
【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等，
所以点在圆上，
由圆的标准方程，得圆心的坐标为，
，所以切线斜率为，
所以过点的切线方程为，即．
3、在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________．
【答案】或
【详解】由圆，圆心为，半径，当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意；当切线斜率存在时，设切线的方程为，即，则，解得，则切线的方程为，即.综上所述，切线方程为或.
4、过点且与圆：相切的直线方程为________
【答案】或
【详解】圆：即，圆心为，半径，当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，解得，所求切线方程为，综上可得过点与圆相切的直线方程为或.故答案为：或
题型四　圆上到定直线距离为定值的点的个数
方法：作两条与已知直线距离为 的平行线，数它们与圆的交点个数，就是「到该直线距离等于 的点」的个数，可直接化归为 与 的大小比较（依据：圆上点到直线的距离最小值为 、最大值为 ）.
易错：「恰有 3 个」对应 （要求 ），不是 .
已知圆 ，直线 ，在圆上找点 ，使点 到直线 的距离等于 ，这样的点有几个？
解：与直线 距离为 的两条平行线是 与 .
过圆心，截圆得两个交点 、； 到圆心的距离等于半径 ，与圆相切，只有一个交点 .
所以这样的点共有 个（此处 ，，，恰有 ）.
1、已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】圆心到直线的距离，结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得.
2、已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由圆，所以圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则，因为圆上至多有个点到直线的距离为，则，即，化简得，解不等式得或，所以的取值范围是.故选：A
3、已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆的圆心为，半径为.设圆心到直线的距离为，则.若圆上到直线距离为的点有且仅有4个，需满足，即，即，解得.所以实数的取值范围为.故选：A.
题型五　直线截圆的弦长与过圆内定点的最短弦
方法：先算圆心到直线的距离 ，用 求弦长；过圆内定点 的动直线中，与 垂直的那条弦最短（依据：垂径定理——半弦长 ， 越大弦越短）.
易错： 是圆心到直线的距离，不是定点 到直线的距离.
已知圆 ，直线 ，求直线截圆所得的弦长.
解：圆心 到直线 的距离
半径 ，半弦长 ，
所以弦长 .
1、已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由平面内两点间的距离公式可得，设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立，故的最大值为，此时取最小值，且最小值为，
此时的面积为.
2、过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】过点且倾斜角为的直线，即．∵圆，即，∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离，∴直线被圆截得的弦长.
3、直线被圆所截得的线段的长为______．
【答案】
【详解】
由题意可知，圆心到直线的距离，
由于圆的半径，所以弦长为.
4、若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________．
【答案】
【详解】
由直线的倾斜角为，可得直线斜率，
结合直线过点，可得直线的方程为，即.
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
因此，直线被圆截得的弦长.
5、已知圆C以为圆心，被直线截得的弦长为．
(1)求圆C的方程；
(2)若点，点P为在圆C上任一点，当最小时，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）直线到圆心距离为：，又弦长为，则圆半径为：.故圆C方程为：.（2）由题可得，当且仅当PB与圆相切时，最小.则此时，，故.
题型六　切线长
方法：求切线长先用两点间距离公式算出 ，再代入 ；需要切点坐标时再联立切线与圆的方程（依据：半径垂直于切线，直角三角形 中勾股定理成立）.
易错：用公式前先把圆化成标准方程，读准圆心坐标与半径.
已知圆 ，求点 到圆的切线长.
解：，半径 ，
由切线长公式得 .
1、已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，，半径，则.故选：A
2、已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______.
【答案】
【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：，
因为圆过，，且圆心在直线上，
联立方程： ，解得：，
所以圆的方程为：，
则，
所以切线长为.
3、过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________．
【答案】
【详解】
如图示，由已知得，，且，
则，即线段的长为.
题型七　切线长的最值
方法：动点在直线或曲线上运动时，由 知切线长随 一起变，把切线长的最值转成 的最值——点到直线垂线段最短（依据：半径 是定值， 随 单调增大）.
易错：先判断动点在圆外还是圆上，动点落在圆上时切线长为 .
已知圆 ，点 是直线 上的动点，求过 向圆所引切线长的最小值.
解：圆心 到直线 的距离为 ，
此时切线长最小，最小值 .
1、过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接，则，如下图所示：圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，所以当取最小值时，取最小值，故当与直线垂直时，取最小值，即的最小值为，所以.故选：B.
2、已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，所以有，，因此有，要想四边形周长最小，只需最小，即当时，此时，此时，即最小值为，故选：A
3、已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，________．
【答案】
【详解】如图所示：
由圆的几何性质可得，，
由切线长定理可得，
又因为，，
所以，，
圆的标准方程为，
圆心为，半径为，
所以，，
当与直线垂直时，取最小值，且，
所以，，
所以，，此时，
因此，.
故答案为：.
4、已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线，，切点分别为A，B，当四边形的面积最小时，直线AB的方程为__________.
【答案】
【详解】，则的圆心为，半径，
由，分别为的切线，则与全等，
故四边形的面积，
又，
又，故，
故，此时点于点，设，
有，解得，即，
由，
故、、、四点共圆且为该圆直径，
则该圆圆心为，半径为，即该圆方程为，
即，又，
两圆作差得：，即，
故直线AB的方程为.
故答案为：.
题型八　两切线的夹角与切点三角形面积
方法：见两条切线与切点，就用切线长定理把图形拆成两个全等的直角三角形——夹角取半角的三角函数，四边形面积取 （依据：切线垂直于半径，，、）.
易错：两条切线的夹角 是直角三角形中那个锐角的两倍.
已知圆 ，过点 作圆的两条切线，切点为 、，求两条切线的夹角 .
解：连接 、，半径 ， 是切线，所以 .
在直角三角形 中，，
所以 ，两条切线的夹角 .
1、已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接，易得，在中，，则，故这两条切线的夹角为.
2、过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点作圆的两条切线，设切点为、，而圆，即，则圆的半径为2，圆心,,故，故，进而可得，故选：C．
3、过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 可得，
所以，
进而可得，
故，
所以四边形的面积为.
4、已知圆，过点作圆的切线，，切点为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设与交于点，则且为的中点，圆，化为，
则圆心，半径，，
则，
由，得，所以，所以.故选：C.
题型九　切点弦方程
方法：由圆外一点 引两条切线、切点为 ，求直线 就把 的坐标代入圆的切线公式，也可以把「以 为直径的圆」与已知圆相减（依据：、 同时在两个圆上，两式相减即得公共弦所在的直线）.
易错：代入的是 的坐标而不是切点坐标，且要先确认 在圆外.
已知圆 ，过点 作圆的两条切线，切点为 、，求直线 的方程.
解：点 满足 ，在圆外.把 的坐标代入圆的切线公式 ，得
即切点弦 所在的直线方程为 .
1、过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________.
【答案】
【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面，
由切线的性质定理可知，，，即，
所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径，
设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径，
所以圆的方程为，
因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差，
即，化简得，
所以直线的方程为.
2、过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________．
【答案】
【详解】解法一：由图可知，，
所以，所以直线方程为．
解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为，
由，得，所以直线方程为．
解法三：直线方程为，即，
故答案为．
3、过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线被圆截得弦的长度为__________．
【答案】/
【详解】根据题意，设圆的圆心为，则，圆的半径为1，则，
，
则，
可得：，故答案为：
题型十　圆与圆位置关系的判定与公切线条数
知识点　两圆的位置关系用圆心距 与两半径（）的和差比较： 外离、 外切、 相交、 内切、 内含（同心是内含的特例）.五种情形对应的公切线条数依次为 4、3、2、1、0 条；公共点个数依次为 0、1、2、1、0 个.判定前先把两个方程都化成标准方程，读出圆心与半径.
1、已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，两圆圆心距为，则，故两圆相交.故选：C.
2、已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】A
【详解】由题，，故，故，故，故两圆相交.故选：A
3、圆和圆的公切线的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【详解】由得到，所以圆的圆心为，半径为，由得到，所以圆的圆心为，半径为，又，且，所以圆与圆相交，故圆与圆的公切线的条数为条，故选：B.
4、已知圆，圆，则与的公切线的条数是________．
【答案】
【详解】
由圆，得圆的圆心为，半径；
由圆，得圆的圆心为，半径.
由两圆的圆心距： .
因为，，所以，
所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为.
题型十一　两圆公共弦的方程与弦长
方法：先把两圆方程都整理成 的形式再相减，消去二次项得到公共弦所在的直线，随后求圆心到该直线的距离、用垂径定理算弦长（依据：两个交点同时满足两圆方程，因而也满足两式之差）.
易错：相减前 、 的系数必须都化成 1，否则二次项消不掉.
求圆 与 的公共弦长.
解：第二个方程展开为 ，与 相减得
即公共弦所在直线为 .圆心 到它的距离 ，
半径 ，半弦长 ，所以公共弦长 .
1、已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知：，：，则直线的直线方程为：，整理得：.
2、若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知圆，即 ① ，圆 ② ，①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ，因此直线斜率，又 ，由，可得.
3、已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则，设，由题意可知，为的中点，，，故四边形的面积为，则，故，所以，所以，又因为，所以，得，解得，因此.
4、若圆与圆的公共弦长为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】圆：，圆：.两式相减得公共弦所在直线方程：，即圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离由公共弦长，得弦长一半为，由，即解得，又，故.代入圆：.得圆心，半径圆心距，因为所以所以两圆相交，存在公共弦，符合条件.
5、圆与圆的公共弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ，将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程，化简得：.根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：，根据垂径定理，公共弦长.
题型十二　由两圆的位置关系求参数
方法：把「两圆相交」「恰有 2 条公切线」「存在点满足某条件」先翻译成 与 的大小关系，再解关于参数的不等式组（依据：两圆的位置关系由 、、 三者的大小关系唯一确定）.
易错：内含是 、内切是 ，含参数时别漏掉方程本身表示圆的条件.
若圆 与圆 相交，求实数 的取值范围.
解：第一个方程配方得 ，它表示圆需 ，即 .
此时 ，，圆心距 .
相交等价于 ，即 .
由 得 ，两边平方得 ，解得 ；
由 得 ，两边平方得 ，解得 （另一侧 恒成立）.
综上，.
1、已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】以为圆心，7为半径的圆为，以为圆心，3为半径的圆为，若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而，所以，即，可得，所以，解得，所以实数的取值范围为.
2、已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】设，由，得，化简整理，得.由题意得，圆（）与有公共点，故，，，解得，所以实数的最小值是3.
3、已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设，因为点是线段的中点，
则，可得，因为点在圆上，则，
即，整理可得，
所以点的轨迹方程为.
（2）解：设，则，当在圆上运动时，恒为锐角，等价于以中点为圆心，为半径的圆与圆外离．
且圆的圆心坐标为，半径为，所以，
解得或，所以线段中点的横坐标取值范围为．
课后作业
1、（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆心坐标为
B．对，直线与圆一定相交
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为
【答案】ABD
【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确；
对于B：，则直线过定点，又，则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确；对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为，当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误；
对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为，连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得，则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为，综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确.
2、直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】圆的圆心为，半径，则到直线的距离，则.
3、（多选）若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（ ）
A． B．1 C．3.8 D．4.2
【答案】AC
【详解】两圆的圆心分别为，，圆心距，半径分别为，，因为圆M与圆N相交，所以，解得或.故选：AC.
4、（多选）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AB的方程为
B．四边形MAPB面积的最小值为4
C．线段AB的最小值为
D．当时，点P横坐标取值范围是
【答案】ABD
【详解】圆M：的圆心，半径为，对于A，当时，，，所以是等腰直角三角形，所以，，所以点到直线距离为，因为，所以，设的方程为，由点到直线距离为可得，解得或（舍）所以直线AB的方程为，故A正确，对于B，因为，，所以，所以，当取最小值时，四边形MAPB面积最小，此时，所以四边形MAPB面积的最小值为，故B正确；对于C，因为在中，，所以当最小时，最小，当最小时，最小，最小，最小，由前面知，此时，所以此时，故C错误，对于D，当时，，所以，所以，设，所以，解得，故D正确，故选：ABD
5、（多选）已知圆：与圆：，则（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．圆心距
C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为
【答案】BCD
【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误；由圆：得圆心，半径，所以，故B正确；又，所以，所以圆与圆相交，故C正确；由，两式相减得：，由圆心到直线的距离为：，所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确.
6、已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____.
【答案】或
【详解】因直线：，，
则直线的方程可设为，由圆：可知圆心为，半径为.
要使圆上恰有3个点到直线的距离为，
需使圆心到直线的距离，解得或，故直线的方程为或.故答案为：或.
7、过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________．
【答案】
【详解】圆，则圆心，半径，在中，，，，．以为直径的圆的方程，即以为圆心，以为半径的圆的方程为：，又圆，两圆方程相减可得．故答案为：；
8、圆与圆的公共弦长为_________．
【答案】
【详解】
圆，圆的圆心为，半径，
圆，圆的圆心，半径，
因为，所以圆与圆相交，
两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为，
则圆心到公共弦所在直线的距离为，
故所求弦长为．
9、已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可）
【答案】9，（满足即可，答案不唯一）
【详解】因为，，所以点P的轨迹是以A、B为直径端点，圆心为原点O的圆（去掉A、B两点），则点P的轨迹方程为，又点P在圆C上，所以圆与 圆有交点，因为，且，所以，解得.
1直线和圆、圆和圆的位置关系
知识梳理
一、直线与圆的位置关系
1. 三种位置关系与判定
直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种，分别对应两个公共点、一个公共点、没有公共点.设圆心 到直线 的距离为 ，圆的半径为 ，则
相交 ；相切 ；相离 .
这里的 用点到直线的距离公式计算：圆心为 、直线为 时，
当圆的方程给的是一般式 时，先配方化成标准方程 ，读出圆心与半径后再算 .
判定也可以走代数路线：把直线方程代入圆的方程消元，得到关于 （或 ）的一元二次方程，其判别式 、、 分别对应相交、相切、相离；两条路线结论一致，几何法只需求一个距离，代数法则同时给出交点坐标.
图 1
圆心到直线的距离 与半径 的大小关系，完全决定了直线与圆的位置关系： 相交、 相切、 相离.
2. 相交时的弦长
圆心到弦的垂线段平分弦（垂径定理），于是圆心到直线的距离 、半径 、半弦长构成一个直角三角形
越大弦越短： 从 增大到 的过程中，弦长从直径 连续减小到 .特别地，过圆内定点 的所有弦中，与 垂直的那条最短（此时 ），过圆心的那条最长（即直径）.
图 2　
3. 圆的切线方程与切线长
切线与过切点的半径互相垂直，这是切线的全部几何内涵.由它推出的方程分三种情形：
点在圆上：圆 上一点 处的切线方程为 .
圆心在原点的特例是 ，此时切线方程为 .
点在圆外：过该点有两条切线.把点写成 ，设切线斜率为 ，则切线 到圆心的距离等于 ，由此定出 ；点斜式不包含斜率不存在的直线， 是否为切线要单独验证.
点在圆内：没有切线.
切线长指圆外一点到切点的距离.设圆心为 、半径为 、切点为 ，由 得直角三角形 ，用勾股定理
过圆外一点 作圆的两条切线，切点为 、，则直线 （切点弦）的方程与「点在圆上」的切线公式形式相同，只需把公式中的切点坐标换成 的坐标：.
图 3　左：切线垂直于过切点的半径；右：从圆外一点 引出的两条切线 、，切点连线 即切点弦，图中 即为切线长.
4. 从一点引两条切线的几何结构
设 、 是从点 向圆 所引的两条切线，、 为切点，则有以下结论：
、，且 、；
， 平分 ，也平分 ；
四边形 的面积 ；
四点 、、、 共圆（以 为直径）， 与 互补；
在直角三角形 中，，.
二、圆与圆的位置关系
1. 五种位置关系与公切线
设两圆半径为 、（），圆心距为 ，比较 与 、 的大小即可定出位置关系.比较之前先把两个方程都化成标准方程，读出圆心与半径.
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
的范围 （含同心 ）
公共点个数 0 1 2 1 0
公切线条数 4 3 2 1 0
公切线指同时与两圆相切的直线：外离时两条外公切线、两条内公切线共 4 条；外切时两条外公切线、一条内公切线共 3 条；相交时只剩 2 条外公切线；内切时只有 1 条；内含时没有.
图 4
由 与 、 的大小关系依次得到外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系；图中把各自的公切线全部画出（实线为外公切线，虚线为内公切线），条数与上表一致.
2. 相交时的公共弦
两圆相交时，两个交点同时满足两个圆的方程，因此也满足「两式相减」得到的方程.把两个方程都整理成 的形式后相减，二次项消去，剩下的一次方程就是公共弦所在直线的方程.
求弦长仍用垂径定理：先取其中一圆的圆心，求它到公共弦的距离 ，则公共弦长 .
题型一　直线与圆位置关系的判定
1、已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2、直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关
3、一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由．
题型二　由直线与圆的位置关系求参数
方法：题干出现含参直线与圆「相切／相交／无公共点／总有两个公共点」，就把位置关系翻译成圆心到直线的距离 与半径 的等式或不等式，再解出参数（依据：直线与圆的位置关系由 与 的大小关系唯一确定）.
易错：「总有 2 个公共点」要先把直线族的定点找出来，别硬套判别式.
1、若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、若直线与圆无公共点，则（ ）
A．或 B． C． D．或
3、若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4、（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、若直线与圆相切，则________．
题型三　圆的切线方程
方法：先看点在圆上还是圆外——在圆上直接套切线公式，在圆外设点斜式、令圆心到直线的距离等于半径解斜率，并单独验证竖直直线 （依据：切线到圆心的距离等于半径）.
易错：点在圆外时竖直切线 不含在点斜式里，漏验会丢解.
已知圆 ，求过点 的切线方程.
解：，点 在圆外，有两条切线.
（1）斜率不存在时，直线 到圆心的距离为 ，不是切线；
（2）设切线为 ，即 ，由圆心到直线的距离等于半径得
两边平方并整理得 ，即 ，解得 或 .
故切线方程为 或 .
1、过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
2、过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______．
3、在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________．
4、过点且与圆：相切的直线方程为________
题型四　圆上到定直线距离为定值的点的个数
方法：作两条与已知直线距离为 的平行线，数它们与圆的交点个数，就是「到该直线距离等于 的点」的个数，可直接化归为 与 的大小比较（依据：圆上点到直线的距离最小值为 、最大值为 ）.
易错：「恰有 3 个」对应 （要求 ），不是 .
已知圆 ，直线 ，在圆上找点 ，使点 到直线 的距离等于 ，这样的点有几个？
解：与直线 距离为 的两条平行线是 与 .
过圆心，截圆得两个交点 、； 到圆心的距离等于半径 ，与圆相切，只有一个交点 .
所以这样的点共有 个（此处 ，，，恰有 ）.
1、已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2、已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3、已知圆上到直线的距离为的点有且仅有4个，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型五　直线截圆的弦长与过圆内定点的最短弦
方法：先算圆心到直线的距离 ，用 求弦长；过圆内定点 的动直线中，与 垂直的那条弦最短（依据：垂径定理——半弦长 ， 越大弦越短）.
易错： 是圆心到直线的距离，不是定点 到直线的距离.
已知圆 ，直线 ，求直线截圆所得的弦长.
解：圆心 到直线 的距离
半径 ，半弦长 ，
所以弦长 .
1、已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
2、过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3、直线被圆所截得的线段的长为______．
4、若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________．
5、已知圆C以为圆心，被直线截得的弦长为．
(1)求圆C的方程；
(2)若点，点P为在圆C上任一点，当最小时，求的值．
题型六　切线长
方法：求切线长先用两点间距离公式算出 ，再代入 ；需要切点坐标时再联立切线与圆的方程（依据：半径垂直于切线，直角三角形 中勾股定理成立）.
易错：用公式前先把圆化成标准方程，读准圆心坐标与半径.
已知圆 ，求点 到圆的切线长.
解：，半径 ，
由切线长公式得 .
1、已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（ ）
A． B． C． D．
2、已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______.
3、过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________．
题型七　切线长的最值
方法：动点在直线或曲线上运动时，由 知切线长随 一起变，把切线长的最值转成 的最值——点到直线垂线段最短（依据：半径 是定值， 随 单调增大）.
易错：先判断动点在圆外还是圆上，动点落在圆上时切线长为 .
已知圆 ，点 是直线 上的动点，求过 向圆所引切线长的最小值.
解：圆心 到直线 的距离为 ，
此时切线长最小，最小值 .
1、过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2、已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
3、已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，________．
4、已知，直线，P为l上的动点.过点P作的切线，，切点分别为A，B，当四边形的面积最小时，直线AB的方程为__________.
题型八　两切线的夹角与切点三角形面积
方法：见两条切线与切点，就用切线长定理把图形拆成两个全等的直角三角形——夹角取半角的三角函数，四边形面积取 （依据：切线垂直于半径，，、）.
易错：两条切线的夹角 是直角三角形中那个锐角的两倍.
已知圆 ，过点 作圆的两条切线，切点为 、，求两条切线的夹角 .
解：连接 、，半径 ， 是切线，所以 .
在直角三角形 中，，
所以 ，两条切线的夹角 .
1、已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2、过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3、过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4、已知圆，过点作圆的切线，，切点为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型九　切点弦方程
方法：由圆外一点 引两条切线、切点为 ，求直线 就把 的坐标代入圆的切线公式，也可以把「以 为直径的圆」与已知圆相减（依据：、 同时在两个圆上，两式相减即得公共弦所在的直线）.
易错：代入的是 的坐标而不是切点坐标，且要先确认 在圆外.
已知圆 ，过点 作圆的两条切线，切点为 、，求直线 的方程.
解：点 满足 ，在圆外.把 的坐标代入圆的切线公式 ，得
即切点弦 所在的直线方程为 .
1、过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________.
2、过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________．
3、过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线被圆截得弦的长度为__________．
题型十　圆与圆位置关系的判定与公切线条数
知识点　两圆的位置关系用圆心距 与两半径（）的和差比较： 外离、 外切、 相交、 内切、 内含（同心是内含的特例）.五种情形对应的公切线条数依次为 4、3、2、1、0 条；公共点个数依次为 0、1、2、1、0 个.判定前先把两个方程都化成标准方程，读出圆心与半径.
1、已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
2、已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
3、圆和圆的公切线的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4、已知圆，圆，则与的公切线的条数是________．
题型十一　两圆公共弦的方程与弦长
方法：先把两圆方程都整理成 的形式再相减，消去二次项得到公共弦所在的直线，随后求圆心到该直线的距离、用垂径定理算弦长（依据：两个交点同时满足两圆方程，因而也满足两式之差）.
易错：相减前 、 的系数必须都化成 1，否则二次项消不掉.
求圆 与 的公共弦长.
解：第二个方程展开为 ，与 相减得
即公共弦所在直线为 .圆心 到它的距离 ，
半径 ，半弦长 ，所以公共弦长 .
1、已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2、若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3、已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
4、若圆与圆的公共弦长为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
5、圆与圆的公共弦长为（ ）
A．2 B． C． D．4
题型十二　由两圆的位置关系求参数
方法：把「两圆相交」「恰有 2 条公切线」「存在点满足某条件」先翻译成 与 的大小关系，再解关于参数的不等式组（依据：两圆的位置关系由 、、 三者的大小关系唯一确定）.
易错：内含是 、内切是 ，含参数时别漏掉方程本身表示圆的条件.
例：若圆 与圆 相交，求实数 的取值范围.
解：第一个方程配方得 ，它表示圆需 ，即 .
此时 ，，圆心距 .
相交等价于 ，即 .
由 得 ，两边平方得 ，解得 ；
由 得 ，两边平方得 ，解得 （另一侧 恒成立）.
综上，.
1、已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2、已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3、已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围．
课后作业
1、（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆心坐标为
B．对，直线与圆一定相交
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为
2、直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
3、（多选）若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（ ）
A． B．1 C．3.8 D．4.2
4、（多选）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AB的方程为
B．四边形MAPB面积的最小值为4
C．线段AB的最小值为
D．当时，点P横坐标取值范围是
5、（多选）已知圆：与圆：，则（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．圆心距
C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为
6、已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____.
7、过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________．
8、圆与圆的公共弦长为_________．
9、已知圆，若圆上存在点使，则正数的值可以是__________.（写出一个满足条件的值即可）
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