资源简介

点到直线的距离公式与对称问题
知识梳理
1 点到直线的距离公式
点 到直线 的距离，就是从 向 作垂线所得垂线段的长度，垂线段最短； 在 上时距离为 .设 ，直线 ：（、 不同时为 ），则距离为 ：分子是把点的坐标代入直线左端后取绝对值，分母是 、 系数平方和的算术平方根.
使用前提是直线必须先化成一般式：给的是点斜式、截距式时，先整理成 再代入，否则分子分母都会算错.分子绝对值不能漏，分母根号不能丢.
几类特殊情形可按几何意义直接写： 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ；到直线 的距离是 ，到直线 的距离是 或 时公式照常成立，也可按这些几何意义直接求.
2 两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离，是夹在它们之间的公垂线段的长.设 ： 与 ：（），则距离为 .它由「在一条直线上取一点，把线线距离化为点线距离」得到：所取的点在 上，代入点线距离公式后分子恰剩常数项之差.
使用前提有两条：方程为一般式，且两条直线的 、 系数对应相等.系数成倍数关系时（如 与 ），先把其中一个方程两边同乘适当常数化成同系数再套公式；不化一致就直接用常数项相减，结果必错.
题型一　点到直线的距离
动点 被约束在直线 上时， 就是 到定点 距离的平方.由「直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短」， 的最小值就是 到 的距离，在垂足处取得.
注意两点：求「距离的平方」的最小值时，先求出 再平方，别把 本身当答案；不化一般式直接代入是最常见错误，如 应先写成 .
例1、已知实数 ， 满足 ，求 的最小值.
解：设 ，由条件知 在直线 上运动.由两点间距离公式，，其中 为定点.因为直线外一点与直线上各点连线中垂线段最短，所以 的最小值就是点 到直线 的距离. 已是一般式，，，，由距离公式得 ，所以所求最小值为 ，当 为过 所作垂线的垂足时取得.
点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】点到直线的距离为.
已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________．
【答案】
【详解】根据题意画出图象如下图所示：
易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小；
其余位置如，则；
所以最小值即为点到直线的距离，
所以，点与点之间距离的最小值为3.
若点为直线上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】由可看成点与定点的距离，
因为点为直线上的动点，
则点到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
已知满足，则的最小值为___________
【答案】
【详解】由满足知，点是直线上的任意点，
而表示点到定点的距离的平方，
因此的最小值即为点到直线距离的平方，
即有，
所以的最小值为.
故答案为：
题型二　由点到直线的距离求参数
绝对值方程通常有两个解，两个都要保留——只取一支就漏解，如 应解出 与 .解完检验每个参数值不使 、 同时为零，否则方程不再表示直线，该解舍去.
例1、若点 到直线 的距离为 ，求实数 的值.
解：直线 已是一般式，，，.由点到直线的距离公式，，其中分子是把 、 整体代入 后取绝对值，分母为 .由 得 ，即 ，所以 或 ，解得 或 .两个值都使直线方程中 、 的系数不为零，直线有意义，故 或 .
已知点到直线的距离为1，则____________.
【答案】或
【详解】因为点到直线的距离为1，
所以，解得或.
故答案为：或.
已知点到直线：的距离为1，则＝________．
【答案】或
【详解】点到直线：的距离为1，则，
解得：或.
故答案为：或
题型三　两平行直线间的距离
求两平行线间的距离：先把两条方程的 、 系数化成对应相等（成倍数关系时同乘常数即可），再套 .系数不一致就相减常数项，结果必错——如对 与 ，应先把第一条化为 .
例1、求直线 与 之间的距离.
解：两条直线的 、 系数不对应相等—— 的系数恰为 的 倍，因此先把 的方程两边同乘 ，化为 .此时两条直线为同系数形式，常数项分别为 与 ，由两平行线间距离公式 ，得 .
已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且，
解得，则，即，
所以这两条平行直线之间的距离为．
直线与间的距离是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】由得，
所以直线与间的距离是．
题型四　由两平行线间的距离求参数
若直线与直线：之间的距离是，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】∵直线与直线之间的距离为，
，，或（负值舍去）．
．
已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ）
A．14 B．-14 C．6 D．-14或6
【答案】D
【详解】由题，直线，则两直线距离为或6.
若直线与直线间的距离为1，则__________.
【答案】6或
【详解】直线化为，
根据平行线间的距离公式： ，
解得：或.
故答案为：6或-14
已知两条平行直线与间的距离为4，则的值为___________
【答案】-2
【详解】由已知得，所以，解得或，
又，所以.
故答案为：.
题型五　对称问题
（一）直线关于点对称
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据 ，再由点斜式求解；
方法二：由 ，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数．
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上．
已知直线与直线关于点对称，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】因为不在直线上，
且直线与直线关于点对称，
所以直线与直线平行，
即，解得.
在直线上取一点，
关于点的对称点为,
将代入直线，解得.
故选：C
与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为，
则，，解得，，
代入，得，
即所求直线的方程为．
故选：D．
已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______.
【答案】2
【详解】由于直线与直线关于点对称，
所以两直线平行，故，则，
由于点在直线上，关于点的对称点为，
故在上，代入可得，.
故答案为：.
（二）点关于直线对称
①若两点与关于直线对称，由方程组
可得到点关于对称的点的坐标(其中，)．
（关键词：垂直、平分）
②若两点与关于直线对称，则⊥，故可设的方程为，代入，即可求出，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标
例1、求点 关于直线 的对称点 的坐标.
解：设 .由对称的定义， 是线段 的垂直平分线，据此列两个条件.其一，：直线 的斜率为 ，故 的斜率为 （），即 ；其二， 的中点 在 上，即 .由第一式得 ，代入第二式得 ，即 ，也就是 ，解得 ，从而 ，所以 .检验： 的中点为 ，代入 的左端得 ，确在 上；又 ，，斜率乘积为 ，垂直条件也满足.
点关于直线：的对称点的坐标为______．
【答案】
【详解】因为点关于直线：的对称点为，
设点的坐标为，则，的中点为，
由题意得，即，解得：，
即对称点的坐标为.
点关于直线的对称点坐标是______.
【答案】
【详解】设所求对称点坐标为，则，
故，故对称点的坐标为，
故答案为：
（三）直线关于直线对称
①直线（）和（）相交，求关于直线的对称直线
1)求出与的交点
2)在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
3)根据，两点求出直线
②直线（）和（）平行，求关于直线的对称直线
1)
2)在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线．
例1、求直线 关于直线 对称的直线方程.
解：先判断位置关系： 的斜率为 ， 的斜率为 ，二者不平行，必相交，故采用"交点+一点对称"法.联立 ，由第二式得 ，代入第一式得 ，即 ，解得 ，，交点为 .再在 上取异于 的一点 （代入验证 ，确在 上）.设 关于 的对称点为 .由 ， 的斜率为 ，故 ，即 ；由 的中点 在 上，得 .由第一式得 ，代入第二式得 ，即 ，解得 ，，所以 .所求直线 过 与 ，其斜率 ，由点斜式得 ，整理为一般式即 .
直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设为所求直线上的任意一点，
关于直线的对称点为，
则在直线上，
则，整理得到即为所求.
故选：B.
在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（ ）
A．3 B．3 C．3 D．3
【答案】A
【详解】由可得交点为，
在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，
则，解得，即，
由两点式方程可得，即.
故选：A
若直线关于直线对称的直线经过点，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】设关于直线的对称点为，
所以，解得，所以，
又因为在直线上，所以，解得，
故选：A.
直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示）
【答案】
【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离，
可设所求直线为，则或（舍），
所以，所求直线为.
故答案为：
求直线关于直线对称的直线方程为__________.
【答案】
【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为，
又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为，
则，解得，
所以所求直线方程为，即.
故答案为：.
已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
【答案】.
【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
题型六　对称问题的综合应用——光线反射与折叠
光线反射、台球碰撞、折叠、角平分线，本质都是轴对称：反射面、桌边、折痕、角平分线就是对称轴.由反射定律，入射光线与反射光线关于反射面对称.
反射类题的通用做法：作光源关于反射面的对称点，把折线拉直——两点之间线段最短，连线与反射面的交点就是入射点，总路程等于对称点与目标点的距离.多次反射沿光路反向逐次作对称点.求反射光线所在直线：入射点在对称轴上不动，再在入射线上取一点作对称，两点定线.
折叠问题中，折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线，据此列「垂直＋中点在折痕上」的方程组.角平分线是角两边所在直线的对称轴，一边上的点关于它的对称点落在另一边上.
例1、一束光线从点 射出，射到 轴上一点后经 轴反射，反射光线经过点 ，求入射点的坐标与光线从 到 所走的总路程.
解：由反射定律，入射光线与反射光线关于镜面（ 轴）对称.作 关于 轴的对称点 ：由特殊对称规律，横坐标不变、纵坐标变号，得 .设入射点为 ，则光线走过的总路程 ，其中 与 位于 轴两侧，线段 与 轴相交，由两点之间线段最短， 在 为线段 与 轴的交点时取最小，实际反射路径正对应这一位置.直线 的斜率 ，方程为 .令 ，得 ，解得 ，所以入射点为 .总路程为 .
长方形台球桌上，一球从边上某处击出，分别撞击球桌的边、、各1次后，又回到出发点处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图）若，，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（ ）
A．不确定 B．12 C．11 D．10
【答案】D
【详解】
如图，延长，相交于点M，
作延长线于点N，
则四边形为矩形，
因为，,
由题意得，，且，
所以， ，
所以，
所以，同理得，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以易证得，
所以，
所以，
在中，，
所以总长度：.
一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设点关于直线的对称点，则，
解得，即点，故所求直线的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即.
故选：A
一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上，
且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为.
根据垂直斜率关系，即.
将中点代入直线得，
将代入可得：，解得，
把代入得，所以，
所以.
故选：C.
在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ）
A． B．5 C．10 D．
【答案】D
【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为.
由对称性可知，，，
反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于，
为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上，
否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线，
则的周长等于.
故选：D.
一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称，
联立，可得，则它们的交点为，
又点在直线上，令点关于的对称点为，
所以，可得，则点在反射光线所在直线上，
综上，点、均在反射光线所在直线上，
所以，所求直线为，即.
故选：A
如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以,
建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，
设，则
因为，，
所以，解得，
由光的反射原理可知：四点共线，所以，
所以，代入重心坐标即，
所以，解得或 (舍).
得，，
则,
故的周长等于
故选：C.
已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，，，
∴直线方程为，直线方程为，
如图，作关于的对称点，
∵，∴，再作关于的对称点，则，
连接 交与点，则直线ME方程为，∴，
连接 分别交为点 ，
则直线方程为，直线方程为，
∴，.
连接，，则，之间即为点的变动范围.
∵直线方程为，直线FH的斜率为，
∴斜率的范围为.
故选：D.
台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则___________．
【答案】
【详解】以C为原点，边分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
N关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为，
直线方向为本球射出方向，
故,.
故答案为：.
在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________.
【答案】
【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设，
又因为，所以线段的中点为，
又因为过点的中线的方程是，
所以，
解之得，于是，
设关于直线的对称点为，
所以，
解之得，即，
因为直线为过点的角平分线方程，
所以在直线上，
所以直线即直线，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故答案为：.
题型七　将军饮马——利用对称求最值
动点 限制在直线 上，求 的最小值或 的最大值.第一道工序是判断 、 在 的同侧还是异侧：把两点坐标代入 的左端看符号.
型（图 1）：同侧时作一个定点关于 的对称点（如 ），由「垂直平分线上的点到线段两端等距」把 换成 ，折线和被拉成线段，最小值就是 ，在 、、 三点共线时取得；异侧时线段 本身与 相交，最小值直接是 ，不必作对称.
图 1　
型（图 2）方向恰好相反：异侧时作对称点折化直，最大值为定点与对称点的连线长 ；同侧时直接连 并延长，最大值为 .
图 2　
例1、已知点 ，，动点 在直线 上运动，求 的最小值与 的最大值.
解：先判断位置关系：把 、 分别代入 ，得 与 ，两点在直线 的同侧.
求 的最小值：同侧作对称，由特殊对称规律，点 关于直线 的对称点为 ，故 的对称点为 ，且 是线段 的垂直平分线，对 上任意一点 都有 .于是 （两点之间线段最短），由 在 下方、 在上方，线段 与 相交于 ，等号可取，所以最小值为 .
求 的最大值：、 同侧，不作对称，直接连线，由三角形不等式 ，直线 与 相交（在 的延长线上），故最大值为 ，在 为直线 与 的交点时取得.
著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】D
【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果．
的几何意义为点到两定点与的距离之和．
设点关于轴的对称点为，则的坐标为．
要求的最小值，可转化为求的最小值，
利用对称可知
，
即的最小值为．
已知点在直线上运动，点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，故，
所以，
所以，即当三点共线时取得最大值.
故选：D.
已知点在直线上，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，
∴，又，
∴.
故选：C.
代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离，
所以代数式表示，
由图象可知在上运动，所以易得关于对称点为，
连接交于点，此时最小，最小值为.
故选：B.
（多选）已知，，P是直线上的动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BC
【详解】设点B关于直线l对称的点为，
则，解得，即.
连接，与直线l交于点M，如图所示
当点P与点M重合时，，
，
当点P与点M不重合时，，
综上，的最小值为，故A错误，B正确.
连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示
当点P与点N重合时，，
，
当点P与点N不重合时，，
综上，，即的最大值为，故C正确，D错误.
故选：BC
若，点关于直线的对称点在直线上，那么的最小值等于________．
【答案】
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以点关于直线的对称点为．
依题意可知，即．
于是，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______．
【答案】
【详解】
如图所示，设点关于直线的对称点为，则，，
连接，
，
则即为的最小值，
，
所以为的最小值为．
已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____．
【答案】
【详解】
作点关于直线的对称点为，
再作点关于轴的对称点为，
由的周长，
因为，
所以的周长,
故答案为：
已知点及直线，为轴上的动点，为上的动点，则△的周长最小值为________.
【答案】
【详解】由题，、与A分别关于y轴、直线l对称，则△的周长，
为，设，则，即，解得，
故，即△的周长最小值为.
故答案为：
已知实数满足，则的最小值为________
【答案】
【详解】，
，
则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，
如图所示：
设点关于直线的对称点为，
得，解得，
得，
则
，
等号成立时，三点共线，
故答案为：
题型八　距离新定义
新定义距离题是「翻译题」：按定义把新距离写成坐标表达式，如曼哈顿距离 ，不能把它当欧氏距离套公式.
定值轨迹分象限去绝对值后识别形态： 是以 为中心、顶点在水平竖直方向的正方形边界，对角线长 ——面积、周长按正方形算，别当圆.
在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为______．
【答案】
【详解】
由题意设，则，用分别用依次代入该方程，发现该方程不变，
所以曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称，
不妨设，此时即，它与坐标轴的两个交点坐标为，
它们的距离为，
所以由对称性得动点P的轨迹长度为.
故答案为：.
在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离．已知点，若，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，．令，
作出所表示的平面区域如图中实线所示，
则，而表示点到原点的距离的平方，
结合图形可知的最小值为2，最大值为4，故的最小值与最大值之和为，
故选：B．
（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼 闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2
C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32
D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2
【答案】CD
【详解】对于A，，A错误；
对于B，令直线a上任意点为，
则，
则当时，的最小值为1，B错误；
对于C，设，则，
当时，则；当时，则；
当时，则；当时，则；
则M点轨迹为上述四条线段围城的封闭曲线，如图示正方形：
则的轨迹围成图形的面积是，C正确；
对于D，设，当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小，
由此可得，
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
则M点轨迹如图示：
则的轨迹与直线围成的封闭图形面积为，D正确，
故选：CD
课后作业
（多选）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（ ）
A．点A的坐标为
B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为
C．直线的方程可以是
D．直线的方程可以是
【答案】ABC
【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确；
对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确；
对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确；
对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误．
（多选）下列选项正确的是（ ）
A．过点且和直线平行的直线方程是
B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C．直线关于对称的直线为
D．原点到直线的距离的最大值为
【答案】AD
【详解】对于A，设与直线平行的直线方程为，
而该直线过点，则，解得，所求方程为，A正确；
对于B，当时，，得，B错误；
对于C，直线过点，而关于的对称点不在直线上，C错误；
对于D，直线恒过定点，令原点为，当且仅当垂
直于直线时，原点到该直线距离最大，为，D正确.
故选：AD
（多选）已知点和，是直线上的动点，则（ ）
A．存在，使最小 B．存在，使最小
C．存在，使最大 D．存在，使最小
【答案】ACD
【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线，
由图可知，点和在直线同侧，
设点关于直线的对称点为，
则有，解得，得，
，当且仅当为直线与直线的交点时有最小值，
直线的斜率为，方程为，
由，解得，存在，使最小，A选项正确；
最小值为0，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点，
的中点坐标为，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线方程为，即，
，解得，存在，使最小，B选项错误；
，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值，
直线的方程为，即，
，解得，存在，使最大，C选项正确；
设， ，
当时有最小值，此时，
所以存在，使最小，D选项正确.
故选：ACD.
已知点．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)，最大距离为
(3)不存在
【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为．
若斜率存在，设l的方程为，
即．由已知得，解得．
此时l的方程为．
综上，可得直线l的方程为或．
（2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由，得，所以．
由直线方程的点斜式得，即．
所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为．
（3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，
因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线．
如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为3，宽为2，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合.将矩形折叠，使点落在线段上，已知折痕所在直线的斜率为.
（1）求折痕所在的直线方程；
（2）若点为的中点，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设折痕所在的直线方程为，点落在线段上的对称点为，其中，由折痕垂直平分可列出关于和的方程组，解之即可；
（2）由两点间距离公式求得的长，由点到直线的距离公式求得点到折痕的距离为，的面积，从而得解．
【详解】解：（1）设折痕所在的直线方程为，点落在线段上的对称点为，其中，
则的中点的坐标为，，
，解得，
折痕所在的直线方程为．
（2）由（1）知，折痕所在的直线方程为，
，，，
，
为的中点，点，
点到折痕的距离为，
的面积．
1点到直线的距离公式与对称问题
知识梳理
1 点到直线的距离公式
点 到直线 的距离，就是从 向 作垂线所得垂线段的长度，垂线段最短； 在 上时距离为
| + + |
0.设 ( 0, 0)，直线 ： + + = 0（ 、 不同时为 0），则距离为 =
0 0 ：分子是
√ 2+ 2
把点的坐标代入直线左端后取绝对值，分母是 、 系数平方和的算术平方根.
使用前提是直线必须先化成一般式：给的是点斜式、截距式时，先整理成 + + = 0 再代
入，否则分子分母都会算错.分子绝对值不能漏，分母根号不能丢.
几类特殊情形可按几何意义直接写： ( 0, 0) 到 轴的距离是 | 0|，到 轴的距离是 | 0|；到直
线 = 的距离是 | 0 |，到直线 = 的距离是 | 0 |. = 0 或 = 0 时公式照常成立，也可
按这些几何意义直接求.
2 两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离，是夹在它们之间的公垂线段的长.设 1： + + 1 = 0 与 2： +
| |
+ 2 = 0（ 1 ≠ 2），则距离为 =
1 2 .它由「在一条直线上取一点，把线线距离化为点线距
√ 2+ 2
离」得到：所取的点在 1 上，代入点线距离公式后分子恰剩常数项之差.
使用前提有两条：方程为一般式，且两条直线的 、 系数对应相等.系数成倍数关系时（如 2
+ 1 = 0 与 4 2 1 = 0），先把其中一个方程两边同乘适当常数化成同系数再套公式；不化一
致就直接用常数项相减，结果必错.
题型一 点到直线的距离
动点 ( , ) 被约束在直线 上时，( )2 + ( )2 就是 到定点 ( , ) 距离的平方.由「直
线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短」，| | 的最小值就是 到 的距离，在垂足处取得.
注意两点：求「距离的平方」的最小值时，先求出 再平方，别把 本身当答案；不化一般式直
接代入是最常见错误，如 = 2 + 1 应先写成 2 + 1 = 0.
例 1、已知实数 ， 满足 3 + 4 10 = 0，求 ( + 2)2 + ( 3)2 的最小值.
1
解：设 ( , )，由条件知 在直线 : 3 + 4 10 = 0 上运动.由两点间距离公式，( + 2)2 +
( 3)2 = (√( + 2)2 + ( 3)2 )2 = | |2，其中 ( 2,3) 为定点.因为直线外一点与直线上各点连
线中垂线段最短，所以 | | 的最小值就是点 到直线 的距离. 已是一般式， = 3， = 4， =
|3×( 2)+4×3 10| | 6+12 10| 4 16
10，由距离公式得 = = = ，所以所求最小值为 2 = ，当 为过
√32+42 5 5 25
所作垂线的垂足时取得.
1、点(3, 3)到直线3 4 6 = 0的距离是（ ）
12 9 27
A． B．3 C． D．
5 5 5
2、已知点 是直线3 4 + 2 = 0上任意一点，则点 与点 (3, 1)之间距离的最小值是
___________．
3、若点 ( , )为直线 2 8 = 0上的动点，则√ 2 + ( 1)2的最小值为______．
4、已知 , 满足 + 2 5 = 0，则( 1)2 + ( 1)2的最小值为___________
题型二 由点到直线的距离求参数
绝对值方程通常有两个解，两个都要保留——只取一支就漏解，如 |3 3| = 15 应解出 = 6
与 = 4.解完检验每个参数值不使 、 同时为零，否则方程不再表示直线，该解舍去.
例 1、若点 ( , 2) 到直线 : 3 4 + 5 = 0 的距离为 3，求实数 的值.
|3 4×2+5|
解：直线 已是一般式， = 3， = 4， = 5.由点到直线的距离公式， = =
√32+( 4)2
|3 3|
，其中分子是把 = 、 = 2 整体代入 3 4 + 5 后取绝对值，分母为 √25 = 5.由 = 3 得
5
2
|3 3|
= 3，即 |3 3| = 15，所以 3 3 = 15 或 3 3 = 15，解得 = 6 或 = 4.两个值都
5
使直线方程中 、 的系数不为零，直线有意义，故 = 6 或 = 4.
1、已知点 ( , √3)到直线 : √3 + 1 = 0的距离为 1，则 =____________.
2、已知点 ( 1,2)到直线 ：4 3 + = 0的距离为 1，则 ＝________．
题型三 两平行直线间的距离
求两平行线间的距离：先把两条方程的 、 系数化成对应相等（成倍数关系时同乘常数即
| |
可），再套 = 1 2 .系数不一致就相减常数项，结果必错——如对 2 + 4 = 0 与 4 + 2 +
√ 2+ 2
3 = 0，应先把第一条化为 4 + 2 8 = 0.
例 1、求直线 1: 2 + 4 = 0 与 2: 4 + 2 + 3 = 0 之间的距离.
解：两条直线的 、 系数不对应相等—— 2 的系数恰为 1 的 2 倍，因此先把 1 的方程两边同乘
2，化为 4 + 2 8 = 0.此时两条直线为同系数形式，常数项分别为 8 与 3，由两平行线间距离公
| 1 2| | 8 3| 11 11√5式 = ，得 = = = .
√ 2+ 2 √42+22 2√5 10
1、已知直线 1: 3 4 = 0与 2: + ( 1) 6 = 0平行，则这两条平行直线之间的距离为
（ ）
√10 14√10
A．2√10 B． C．2 D．
5 5
2、直线3 4 1 = 0与6 8 + 9 = 0间的距离是（ ）
11 11
A．1 B． C．2 D．
10 5
3
题型四 由两平行线间的距离求参数
1、若直线 1: 2 + = 0( > 0)与直线 2： + 3 = 0之间的距离是√5，则 + =（ ）
A．0 B．1 C． 1 D．2
2、已知直线3 4 2 = 0与直线6 8 + = 0间的距离为 1，则实数 m 的值为（ ）
A．14 B．-14 C．6 D．-14 或 6
3、若直线3 4 2 = 0与直线6 8 + = 0间的距离为 1，则 =__________.
4、已知两条平行直线 1： √3 + 6 = 0与 2： √3 + = 0( < 0)间的距离为 4，则 的值为
___________
题型五 对称问题
（一）直线关于点对称
方法一：在直线 1上找一点 ，求点 关于点 对称的点 ，根据 1// 2 1 = 2，再由点斜式求
解；
方法二：由 1// 2 1// 2，设出 2的直线方程，由点 到两直线的距离相等 1 = 2求参数．
方法三：在直线 2任意一点( , )，求该点关于点 对称的点(2 , 2 )，则该点(2
, 2 )在直线 1上．
4
1、已知直线 + 2 3 = 0与直线 + 4 + = 0关于点 (2,0)对称，则实数 =（ ）
A．2 B．1 C． 2 D． 1
2、与直线3 4 + 5 = 0关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A．4 + 3 5 = 0 B．3 + 4 + 5 = 0 C．4 3 + 5 = 0 D．3 4 5 = 0
3、已知直线 + 2 3 = 0与直线 + 4 + = 0关于点 (1,0)对称，则实数 的值为______.
（二）点关于直线对称
①若两点 1( 1， 1)与 2( 2， 2)关于直线 ： + + ＝0对称，由方程组
1 + 2 1＋ 2
( )＋ ( )＋ ＝0，2 2
2－ 1
· (－ )＝－1，
{ 2－ 1
可得到点 1关于 对称的点 2的坐标( 2， 2)(其中 ≠ 0， 1 ≠ 2)．
（关键词：垂直、平分）
②若两点 1( 1， 1)与 2( 2， 2)关于直线 ： + + ＝0对称，则 1 2⊥ ，故可设 1 2的方
程为 + = 0，代入 1( 1, 1)，即可求出 ，联立直线 1 2和 的方程，求出两条直线的交
点，即为 1 2中点，进一步利用中点坐标公式求 2的坐标
例 1、求点 (3, 2) 关于直线 : + 2 = 0 的对称点 的坐标.
解：设 ( , ).由对称的定义， 是线段 的垂直平分线，据此列两个条件.其一， ：直线
+2 +3 2
的斜率为 1，故 的斜率为 1（ ≠ 3），即 = 1；其二， 的中点 ( , ) 在 上，即
3 2 2
+3 2 +3 5 2
+ 2 = 0.由第一式得 = 5，代入第二式得 + 2 = 0，即 + 3 + ( 5)
2 2 2 2
2 4 = 0，也就是 2 8 = 0，解得 = 4，从而 = 1，所以 (4, 1).检验： 的中点为
5
7 3 7 3
( , )，代入 的左端得 2 = 0，确在 上；又 = 1， = 1，斜率乘积为 1，垂直条2 2 2 2
件也满足.
1、点 (1,2)关于直线 ： = + 1的对称点 的坐标为______．
2、点(1,2)关于直线 2 2 = 0的对称点坐标是______.
（三）直线关于直线对称
①直线 1： 1 + + = 0（
2 2
1 1 1 + 1 ≠ 0）和 ： + + = 0（
2
2 +
2
2 ≠ 0）相交，求
1关于直线 的对称直线 2
1)求出 1与 的交点
2)在 1上任意取一点 (非 点），求出 关于直线 的对称点
3)根据 ， 两点求出直线 2
②直线 ： + + = 0（ 2 + 2 ≠ 0）和 ： + + = 0（ 2 + 21 1 1 1 1 1 2 2 ≠ 0）平行，求
1关于直线 的对称直线 2
1) 2 = 1
2)在直线 1上任取一点 ，求点 关于直线 的对称点 ，利用点斜式求直线 2．
例 1、求直线 1: 2 + 4 = 0 关于直线 : + 1 = 0 对称的直线方程.
6
解：先判断位置关系： 1 的斜率为 2， 的斜率为 1，二者不平行，必相交，故采用"交点+一点
2 + 4 = 0,
对称"法.联立 { ，由第二式得 = + 1，代入第一式得 2 + + 1 4 = 0，即 3
+ 1 = 0
3 = 0，解得 = 1， = 2，交点为 (1,2).再在 1 上取异于 的一点 (2,0)（代入验证 2 × 2 + 0
4 = 0，确在 1 上）.设 关于 的对称点为 ( , ).由 ， 的斜率为 1，故 = 1，即
0 +2 +2
= 1；由 的中点 ( , ) 在 上，得 + 1 = 0.由第一式得 = 2 ，代入第二式得
2 2 2 2 2
+ 2 (2 ) + 2 = 0，即 2 + 2 = 0，解得 = 1， = 3，所以 ( 1,3).所求直线 2 过 (1,2)
3 2 1 1
与 ( 1,3)，其斜率 = = ，由点斜式得 2 = ( 1)，整理为一般式即 + 2 5 =
1 1 2 2
0.
1、直线 2 1 = 0关于直线 + = 0对称的直线方程是（ ）
A．2 + + 1 = 0 B．2 1 = 0 C．2 + 1 = 0 D． 2 + 1 = 0
2、在平面直角坐标系中，直线 1：2 + 3 1 = 0关于直线 ： + 2 = 0对称的直线 2的方程是
（ ）
A．3 + 2 + 1 = 0 B．3 2 + 1 = 0 C．3 + 2 1 = 0 D．3 2 1 = 0
3、若直线 : 2 + + 1 = 0关于直线 + 3 = 0对称的直线经过点 ( 2,1)，则 =（ ）
3 3
A． 1 B．1 C． D．
2 2
4、直线3 4 + 5 = 0关于直线3 4 1 = 0对称的直线的方程为___________．（用一般式表
示）
7
5、求直线2 + 11 + 16 = 0关于直线3 + 4 1 = 0对称的直线方程为__________.
6、已知直线 1: + 3 = 0，直线 : 1 = 0，若直线 1关于直线 l 的对称直线为 2，则直线 2
的方程为_______________．
题型六 对称问题的综合应用——光线反射与折叠
光线反射、台球碰撞、折叠、角平分线，本质都是轴对称：反射面、桌边、折痕、角平分线就是
对称轴.由反射定律，入射光线与反射光线关于反射面对称.
反射类题的通用做法：作光源关于反射面的对称点，把折线拉直——两点之间线段最短，连线与
反射面的交点就是入射点，总路程等于对称点与目标点的距离.
多次反射沿光路反向逐次作对称点.
求反射光线所在直线：入射点在对称轴上不动，再在入射线上取一点作对称，两点定线.
折叠问题中，折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线，据此列「垂直＋中点在折痕上」的方程
组.角平分线是角两边所在直线的对称轴，一边上的点关于它的对称点落在另一边上.
例 1、一束光线从点 ( 3,4) 射出，射到 轴上一点后经 轴反射，反射光线经过点 (5,2)，求
入射点的坐标与光线从 到 所走的总路程.
解：由反射定律，入射光线与反射光线关于镜面（ 轴）对称.作 关于 轴的对称点 ′：由特
殊对称规律，横坐标不变、纵坐标变号，得 ′( 3, 4).设入射点为 ，则光线走过的总路程 | | +
| | = | ′ | + | |，其中 ′ 与 位于 轴两侧，线段 ′ 与 轴相交，由两点之间线段最短，
| ′ | + | | 在 为线段 ′ 与 轴的交点时取最小，实际反射路径正对应这一位置.直线 ′ 的斜率
2 ( 4) 6 3 3 3 7
= = = ，方程为 + 4 = ( + 3).令 = 0，得 4 = ( + 3)，解得 = ，所以入射点为
5 ( 3) 8 4 4 4 3
7
( , 0).总路程为 | ′ | = √(5 + 3)2 + (2 + 4)2 = √64 + 36 = 10.
3
8
1、长方形台球桌 上，一球从 边上某处 击出，分别撞击球桌的边 、 、 各 1 次后，又
回到出发点 处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图∠ = ∠ ）若
= 3， = 4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（ ）
A．不确定 B．12 C．11 D．10
2、一束光线从点 ( 2, 1)射出，与直线 : = 0相交于点 (1,1)．经直线 反射，则反射光线所在
直线的方程为（ ）
A．3 2 1 = 0 B．2 3 + 1 = 0 C．3 + 2 5 = 0 D．2 + 3 5 = 0
3、一条光线从点 ( 1,0)射出，与直线 : + 3 = 0相交于点 ，经 反射后，经过点 (1,0)，则
| | + | | =（ ）
A．2√3 B．4 C．2√5 D．2√6
4、在平面直角坐标系中，从点 (1,0) 出发的一束光线经直线 + 2 = 0 上的点 反射后，又经
过 轴上的点 反射后经过点 ，则 △ 的周长是（ ）
A．√5 + 1 B．5 C．10 D．√10
9
5、一条光线沿直线2 4 1 = 0入射到直线 + = 0后反射，则反射光线所在的直线方程为
（ ）
A．4 2 1 = 0 B．4 2 + 1 = 0 C．4 + 2 + 1 = 0 D．4 + 2 1 = 0
6、如图，在△ 中， = = 3√2， = 6，点 是边 上异于端点的一点，光线从点 出发经
， 边反射后又回到点 ，若光线 经过△ 的重心，则△ 的周长等于（ ）
A．√10 B．2√5 C．2√10 D．2√15
7、已知： ( 2,0)， (2,0)， (0,2)， ( 1,0)， (1,0)，一束光线从 点出发射到 上的 点经 反
射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点）.则 斜率的取值范围是（ ）
A．( ∞, 2) B．(0, +∞) C．(1, +∞) D．(4, +∞)
10
8、台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能
直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边 ， 两次
反弹后击打目标球 N，点 M 到 , 的距离分别为200cm, 60cm，点 N 到 , 的距离分别为
80cm, 120cm，将 M，N 看成质点，本球在 M 点处，若击打成功，则 =___________．
9、在 中，已知顶点 (3, 1)，过点 的角平分线方程是 4 + 10 = 0，过点 的中线的方程是
6 + 10 59 = 0，则直线 的方程为______________.
题型七 将军饮马——利用对称求最值
动点 限制在直线 上，求 | | + | | 的最小值或 || | | || 的最大值.第一道工序是判断
、 在 的同侧还是异侧：把两点坐标代入 的左端看符号.
| | + | | 型（图 1）：同侧时作一个定点关于 的对称点（如 → ′），由「垂直平分线上的
点到线段两端等距」把 | | 换成 | ′|，折线和被拉成线段，最小值就是 | ′|，在 、 、 ′ 三点共
线时取得；异侧时线段 本身与 相交，最小值直接是 | |，不必作对称.
图 1
11
|| | | || 型（图 2）方向恰好相反：异侧时作对称点折化直，最大值为定点与对称点的连线
长 | ′|；同侧时直接连 并延长，最大值为 | |.
图 2
例 1、已知点 (2,5)， (5,7)，动点 在直线 = 上运动，求 | | + | | 的最小值与
|| | | || 的最大值.
解：先判断位置关系：把 (2,5)、 (5,7) 分别代入 ，得 2 5 = 3 < 0 与 5 7 = 2 <
0，两点在直线 = 的同侧.
求 | | + | | 的最小值：同侧作对称，由特殊对称规律，点 ( , ) 关于直线 = 的对称点为
( , )，故 的对称点为 ′(5,2)，且 = 是线段 ′ 的垂直平分线，对 = 上任意一点 都有
| | = | ′|.于是 | | + | | = | ′| + | | ≥ | ′ |（两点之间线段最短），由 ′ 在 = 下
方、 在上方，线段 ′ 与 = 相交于 (5,5)，等号可取，所以最小值为 | ′ | =
√(5 5)2 + (7 2)2 = 5.
求 || | | || 的最大值： 、 同侧，不作对称，直接连线，由三角形不等式
|| | | || ≤ | |，直线 与 = 相交（在 的延长线上），故最大值为 | | =
√(5 2)2 + (7 5)2 = √13，在 为直线 与 = 的交点时取得.
1、著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以
转化为几何问题加以解决，如：√( )2 + ( )2可以转化为平面上点 ( , )与点 ( , )的距
离．结合上述观点，可得函数 ( ) = √ 2 + 6 + 25 + √ 2 2 + 10的最小值为（ ）
A．3√7 B．5√2 C．7 D．√65
12
2、已知点 在直线 + 1 = 0上运动，点 (2,4), (2,1)，则|| | | ||的最大值为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．√5
3、已知点 在直线 + 1 = 0上， (1,3)， (3, 1)，则|| | | ||的最大值为（ ）
A．√5 B．√7 C．√10 D．2√5
4、代数式√ 2 + ( 1)2 +√( 2)2 + ( 4)2的最小值为（ ）
A．√10 B．√17 C．√7 D．√13
5、（多选）已知 (6,9)， (3,3)，P 是直线 : 2 = 0上的动点，则（ ）
A．| | + | |的最小值为√66 B．| | + | |的最小值为√65
C．| | | |的最大值为3√5 D．| | | |的最大值为2√11
1 4
6、若 > 0, > 0，点( , )关于直线 + 1 = 0的对称点在直线 + 2 = 0上，那么 + 的

最小值等于________．
7、已知两点 (1,2)， (3,6)，动点 在直线 = 上运动，则| | + | |的最小值为______．
8、已知点 在 轴上， 在直线 : = 上， (3,1)，则△ 的周长的最小值为_____．
13
9、已知点 (3,5)及直线 : 2 + 2 = 0， 为 轴上的动点， 为 上的动点，则△ 的周长最小值
为________.
10、已知实数 , 满足 = 0，则√ 2 + 2 8 2 + 17 + √ 2 + 2 10 4 + 29的最小值
为________
题型八 距离新定义
新定义距离题是「翻译题」：按定义把新距离写成坐标表达式，如曼哈顿距离 ( , ) = | 1
2| + | 1 2|，不能把它当欧氏距离套公式.
定值轨迹分象限去绝对值后识别形态：| | + | | = 是以 ( , ) 为中心、顶点在水平竖直
方向的正方形边界，对角线长 2 ——面积、周长按正方形算，别当圆.
1、在平面直角坐标系 内，O 为坐标原点，对于任意两点 ( 1, 1), ( 2, 2)，定义它们之间的“曼
哈顿距离”为‖ ‖ = | 1 2| + | 1 2|，以对于平面上任意一点 P，若‖ ‖ = 2，则动点 P 的轨迹
长度为______．
2、在平面直角坐标系 中，定义 ( 1, 1), ( 2, 2)两点间的折线距离 ( , ) = | 1 2| + | 1
2|，该距离也称曼哈顿距离．已知点 (2,0), ( , )，若 ( , ) = 2，则
2 + 2 4 的最小值与最
大值之和为（ ）
A．0 B． 2 C． 4 D． 6
14
3、（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼 闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学
用语.在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，定义点 ( 1, 1)与点 ( 2, 2)的曼哈顿距离为
( , ) = | 1 2| + | 1 2|.若点 1( 1,0)，点 2(1,0)，直线 , 和 的方程分别是 2 2 =
0, = 1和 = 1，则下列叙述正确的是（ ）
A． ( 1, 2) = √2
B．点 与直线 上任意一点的曼哈顿距离最小值为 2
C．若动点 满足 ( , 1) = 4，则 的轨迹围成图形的面积是 32
D．若动点 与直线 上任意一点的曼哈顿距离最小值等于 ( , 2)，则 的轨迹与直线 围成的封闭图
形面积是 2
课后作业
1、（多选）已知直线 : (2 1) + 2 4 6 = 0( ∈ )过定点 A，且点 A 到直线 ′: 4 =
0的距离为 2，则（ ）
A．点 A 的坐标为(2,4)
B．当直线 l 在 y 轴上的截距为 1 时，直线 l 的方程为3 2 + 2 = 0
C．直线 ′的方程可以是 = 4
D．直线 ′的方程可以是3 4 12 = 0
2、（多选）下列选项正确的是（ ）
A．过点( 1,2)且和直线 + 2 + 1 = 0平行的直线方程是 + 2 3 = 0
2
B．若直线 的斜率 ∈ [ √3, √3]，则直线倾斜角 的取值范围是 ∈ [ , ]
3 3
C．直线 = 0关于 (1,0)对称的直线为 3 = 0
D．原点到直线 + (2 + 1) 3 1 = 0的距离的最大值为√2
15
3、（多选）已知点 (3,3)和 (4, 2)， 是直线 : + + 2 = 0上的动点，则（ ）
A．存在 (1, 3)，使| | + | |最小 B．存在 ( 1, 1)，使|| | | ||最小
1 5
C．存在 (5, 7)，使|| | | ||最大 D．存在 ( , )，使| |2 + | |2最小
2 2
4、已知点 (2, 1)．
(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程．
(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 3 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
5、如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形 的长为 3，宽为 2，边 , 分别在 轴、 轴的
1
正半轴上，点 与坐标原点重合.将矩形折叠，使点 落在线段 上，已知折痕所在直线的斜率为 .
2
（1）求折痕所在的直线方程；
（2）若点 为 的中点，求△ 的面积.
16点到直线的距离公式与对称问题
知识梳理
1 点到直线的距离公式
点 到直线 的距离，就是从 向 作垂线所得垂线段的长度，垂线段最短； 在 上时距离为 .设 ，直线 ：（、 不同时为 ），则距离为 ：分子是把点的坐标代入直线左端后取绝对值，分母是 、 系数平方和的算术平方根.
使用前提是直线必须先化成一般式：给的是点斜式、截距式时，先整理成 再代入，否则分子分母都会算错.分子绝对值不能漏，分母根号不能丢.
几类特殊情形可按几何意义直接写： 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ；到直线 的距离是 ，到直线 的距离是 或 时公式照常成立，也可按这些几何意义直接求.
2 两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离，是夹在它们之间的公垂线段的长.设 ： 与 ：（），则距离为 .它由「在一条直线上取一点，把线线距离化为点线距离」得到：所取的点在 上，代入点线距离公式后分子恰剩常数项之差.
使用前提有两条：方程为一般式，且两条直线的 、 系数对应相等.系数成倍数关系时（如 与 ），先把其中一个方程两边同乘适当常数化成同系数再套公式；不化一致就直接用常数项相减，结果必错.
题型一　点到直线的距离
动点 被约束在直线 上时， 就是 到定点 距离的平方.由「直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短」， 的最小值就是 到 的距离，在垂足处取得.
注意两点：求「距离的平方」的最小值时，先求出 再平方，别把 本身当答案；不化一般式直接代入是最常见错误，如 应先写成 .
例1、已知实数 ， 满足 ，求 的最小值.
解：设 ，由条件知 在直线 上运动.由两点间距离公式，，其中 为定点.因为直线外一点与直线上各点连线中垂线段最短，所以 的最小值就是点 到直线 的距离. 已是一般式，，，，由距离公式得 ，所以所求最小值为 ，当 为过 所作垂线的垂足时取得.
点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________．
若点为直线上的动点，则的最小值为______．
已知满足，则的最小值为___________
题型二　由点到直线的距离求参数
绝对值方程通常有两个解，两个都要保留——只取一支就漏解，如 应解出 与 .解完检验每个参数值不使 、 同时为零，否则方程不再表示直线，该解舍去.
例1、若点 到直线 的距离为 ，求实数 的值.
解：直线 已是一般式，，，.由点到直线的距离公式，，其中分子是把 、 整体代入 后取绝对值，分母为 .由 得 ，即 ，所以 或 ，解得 或 .两个值都使直线方程中 、 的系数不为零，直线有意义，故 或 .
已知点到直线的距离为1，则____________.
已知点到直线：的距离为1，则＝________．
题型三　两平行直线间的距离
求两平行线间的距离：先把两条方程的 、 系数化成对应相等（成倍数关系时同乘常数即可），再套 .系数不一致就相减常数项，结果必错——如对 与 ，应先把第一条化为 .
例1、求直线 与 之间的距离.
解：两条直线的 、 系数不对应相等—— 的系数恰为 的 倍，因此先把 的方程两边同乘 ，化为 .此时两条直线为同系数形式，常数项分别为 与 ，由两平行线间距离公式 ，得 .
已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
直线与间的距离是（ ）
A．1 B． C．2 D．
题型四　由两平行线间的距离求参数
若直线与直线：之间的距离是，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ）
A．14 B．-14 C．6 D．-14或6
若直线与直线间的距离为1，则__________.
已知两条平行直线与间的距离为4，则的值为___________
题型五　对称问题
（一）直线关于点对称
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据 ，再由点斜式求解；
方法二：由 ，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数．
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上．
已知直线与直线关于点对称，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______.
（二）点关于直线对称
①若两点与关于直线对称，由方程组
可得到点关于对称的点的坐标(其中，)．
（关键词：垂直、平分）
②若两点与关于直线对称，则⊥，故可设的方程为，代入，即可求出，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标
例1、求点 关于直线 的对称点 的坐标.
解：设 .由对称的定义， 是线段 的垂直平分线，据此列两个条件.其一，：直线 的斜率为 ，故 的斜率为 （），即 ；其二， 的中点 在 上，即 .由第一式得 ，代入第二式得 ，即 ，也就是 ，解得 ，从而 ，所以 .检验： 的中点为 ，代入 的左端得 ，确在 上；又 ，，斜率乘积为 ，垂直条件也满足.
点关于直线：的对称点的坐标为______．
点关于直线的对称点坐标是______.
（三）直线关于直线对称
①直线（）和（）相交，求关于直线的对称直线
1)求出与的交点
2)在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
3)根据，两点求出直线
②直线（）和（）平行，求关于直线的对称直线
1)
2)在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线．
例1、求直线 关于直线 对称的直线方程.
解：先判断位置关系： 的斜率为 ， 的斜率为 ，二者不平行，必相交，故采用"交点+一点对称"法.联立 ，由第二式得 ，代入第一式得 ，即 ，解得 ，，交点为 .再在 上取异于 的一点 （代入验证 ，确在 上）.设 关于 的对称点为 .由 ， 的斜率为 ，故 ，即 ；由 的中点 在 上，得 .由第一式得 ，代入第二式得 ，即 ，解得 ，，所以 .所求直线 过 与 ，其斜率 ，由点斜式得 ，整理为一般式即 .
直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（ ）
A．3 B．3 C．3 D．3
若直线关于直线对称的直线经过点，则（ ）
A． B．1 C． D．
直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示）
求直线关于直线对称的直线方程为__________.
已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
题型六　对称问题的综合应用——光线反射与折叠
光线反射、台球碰撞、折叠、角平分线，本质都是轴对称：反射面、桌边、折痕、角平分线就是对称轴.由反射定律，入射光线与反射光线关于反射面对称.
反射类题的通用做法：作光源关于反射面的对称点，把折线拉直——两点之间线段最短，连线与反射面的交点就是入射点，总路程等于对称点与目标点的距离.
多次反射沿光路反向逐次作对称点.
求反射光线所在直线：入射点在对称轴上不动，再在入射线上取一点作对称，两点定线.
折叠问题中，折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线，据此列「垂直＋中点在折痕上」的方程组.角平分线是角两边所在直线的对称轴，一边上的点关于它的对称点落在另一边上.
例1、一束光线从点 射出，射到 轴上一点后经 轴反射，反射光线经过点 ，求入射点的坐标与光线从 到 所走的总路程.
解：由反射定律，入射光线与反射光线关于镜面（ 轴）对称.作 关于 轴的对称点 ：由特殊对称规律，横坐标不变、纵坐标变号，得 .设入射点为 ，则光线走过的总路程 ，其中 与 位于 轴两侧，线段 与 轴相交，由两点之间线段最短， 在 为线段 与 轴的交点时取最小，实际反射路径正对应这一位置.直线 的斜率 ，方程为 .令 ，得 ，解得 ，所以入射点为 .总路程为 .
长方形台球桌上，一球从边上某处击出，分别撞击球桌的边、、各1次后，又回到出发点处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图）若，，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（ ）
A．不确定 B．12 C．11 D．10
一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（ ）
A． B．4 C． D．
在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ）
A． B．5 C．10 D．
一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则___________．
在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________.
题型七　将军饮马——利用对称求最值
动点 限制在直线 上，求 的最小值或 的最大值.第一道工序是判断 、 在 的同侧还是异侧：把两点坐标代入 的左端看符号.
型（图 1）：同侧时作一个定点关于 的对称点（如 ），由「垂直平分线上的点到线段两端等距」把 换成 ，折线和被拉成线段，最小值就是 ，在 、、 三点共线时取得；异侧时线段 本身与 相交，最小值直接是 ，不必作对称.
图 1　
型（图 2）方向恰好相反：异侧时作对称点折化直，最大值为定点与对称点的连线长 ；同侧时直接连 并延长，最大值为 .
图 2　
例1、已知点 ，，动点 在直线 上运动，求 的最小值与 的最大值.
解：先判断位置关系：把 、 分别代入 ，得 与 ，两点在直线 的同侧.
求 的最小值：同侧作对称，由特殊对称规律，点 关于直线 的对称点为 ，故 的对称点为 ，且 是线段 的垂直平分线，对 上任意一点 都有 .于是 （两点之间线段最短），由 在 下方、 在上方，线段 与 相交于 ，等号可取，所以最小值为 .
求 的最大值：、 同侧，不作对称，直接连线，由三角形不等式 ，直线 与 相交（在 的延长线上），故最大值为 ，在 为直线 与 的交点时取得.
著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
已知点在直线上运动，点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
已知点在直线上，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（多选）已知，，P是直线上的动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
若，点关于直线的对称点在直线上，那么的最小值等于________．
已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______．
已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____．
已知点及直线，为轴上的动点，为上的动点，则△的周长最小值为________.
已知实数满足，则的最小值为________
题型八　距离新定义
新定义距离题是「翻译题」：按定义把新距离写成坐标表达式，如曼哈顿距离 ，不能把它当欧氏距离套公式.
定值轨迹分象限去绝对值后识别形态： 是以 为中心、顶点在水平竖直方向的正方形边界，对角线长 ——面积、周长按正方形算，别当圆.
在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为______．
在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离．已知点，若，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼 闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2
C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32
D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2
课后作业
（多选）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（ ）
A．点A的坐标为
B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为
C．直线的方程可以是
D．直线的方程可以是
（多选）下列选项正确的是（ ）
A．过点且和直线平行的直线方程是
B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C．直线关于对称的直线为
D．原点到直线的距离的最大值为
（多选）已知点和，是直线上的动点，则（ ）
A．存在，使最小 B．存在，使最小
C．存在，使最大 D．存在，使最小
已知点．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为3，宽为2，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合.将矩形折叠，使点落在线段上，已知折痕所在直线的斜率为.
（1）求折痕所在的直线方程；
（2）若点为的中点，求的面积.
1

展开更多......

收起↑