资源简介

直线方程
知识梳理
一、倾斜角和斜率
1、倾斜角的定义
当直线1与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角《叫做直
线1的倾斜角：当直线1与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.因此倾斜角的取值范围是
0≤a<π（即[0°，180）)
在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一的倾斜角：方向相同的直线倾斜程度相同、倾斜角相
等，方向不同的直线倾斜角不等.所以倾斜角是从“形的角度刻画直线方向的量，任何直线都不缺
2、斜率的定义与存在条件
把直线倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，记作k=tana.
由定义立刻得到适用范围：倾斜角为三的直线没有斜率(tan号无意义)，倾斜角不是的直线
都有斜率.也就是说，“是否竖直”正是“斜率是否存在”的分界
若知道直线上两点的坐标，则过两点P(x1y)、P2(x2,y2)且x1≠x2的直线，k=兰；
2X2-X1
当x1=x2时该直线竖直，斜率不存在
3、斜率随倾斜角的变化：分段单调
y=tanc
由这张图直接读出结论：a∈[0，)时k随a增大而增大且k∈[0，+o):
a∈，)时k也随a增大而增大但k∈(-o,0).两段上都是增函数，却分
别在的两侧趋向+∞与-∞，中间间断所以“倾斜角越大，斜率越大”这句话是
错的，跨过号直接比较斜率的正负号会得出完全相反的结论
二、直线方程的五种形式
1、五种形式的定义
平面直角坐标系中，一条直线由"一个点和一个方向"或"两个点"唯一确定把这些确定条件翻译成
关于x,y的方程，就得到直线的各类方程形式；条件不同、写法不同，于是有下面五种形式.
(1)点斜式：已知直线上一点Po(xo,yo)和斜率k,方程为y-yo=k(x-xo):
(2)斜截式：己知斜率k和直线在y轴上的截距b,方程为y=kx+b.
(3)两点式：已知直线上两点B(x1y)、P2(2,y2),方程为y出=-
y2-y1x2-x1
(4)截距式：已知直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b,方程为总+岩=1
(5)一般式：关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0).
2、各形式的成立条件与表示不了的直线
每一种形式都自带限制：它在写出方程的那一刻用到了某些分母或某些假设，条件一旦被破坏，
对应的一类直线就无法用它表示把五种形式逐条对照如下，
形式（方程）
成立条件
条件不满足时表示不了的直线
点斜式y-yo=k(x-xo)
斜率k存在，且已知直线上一点
斜率不存在的直线（垂直于x轴）
斜截式y=kx+b
斜率k存在
斜率不存在的直线（垂直于x轴）
两点式业=x
y2-y1x2-x1
x1卡x2且y1卡y2
垂直于x轴的直线、垂直于y轴的直线
截距式后+名=1
a≠0且b≠0（两截距都非零）
过原点的直线、与坐标轴平行或重合的直线
般式Ax+By+C=0
A,B不同时为0
无，可表示平面内任意一条直线
3、特殊位置的直线
(1)水平直线：斜率k=0,方程为y=yo:在一般式中对应A=0、B≠0.
(2)竖直直线：斜率不存在，方程为x=xo;在一般式中对应B=0、A≠0.
(3)过原点的直线：两个截距都是0，可写成y=kx或Ax+By=O:其中y=kx只覆盖斜率
存在的情形，竖直的过原点直线(y轴)要单独写出.
2直线方程
知识梳理
一、倾斜角和斜率
1、倾斜角的定义
当直线 与 轴相交时，以 轴为基准， 轴正方向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .因此倾斜角的取值范围是
在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一的倾斜角：方向相同的直线倾斜程度相同、倾斜角相等，方向不同的直线倾斜角不等.所以倾斜角是从“形”的角度刻画直线方向的量，任何直线都不缺.
2、斜率的定义与存在条件
把直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，记作
由定义立刻得到适用范围：倾斜角为 的直线没有斜率（ 无意义），倾斜角不是 的直线都有斜率.也就是说，“是否竖直”正是“斜率是否存在”的分界.
若知道直线上两点的坐标，则过两点 、 且 的直线，
当 时该直线竖直，斜率不存在.
3、斜率随倾斜角的变化：分段单调
由这张图直接读出结论： 时 随 增大而增大且 ；
时 也随 增大而增大但 .两段上都是增函数，却分别在 的两侧趋向 与 ，中间间断.所以“倾斜角越大，斜率越大”这句话是错的，跨过 直接比较斜率的正负号会得出完全相反的结论.
二、直线方程的五种形式
1、五种形式的定义
平面直角坐标系中，一条直线由"一个点和一个方向"或"两个点"唯一确定.把这些确定条件翻译成关于 的方程，就得到直线的各类方程形式；条件不同、写法不同，于是有下面五种形式.
（1）点斜式：已知直线上一点 和斜率 ，方程为 .
（2）斜截式：已知斜率 和直线在 轴上的截距 ，方程为 .
（3）两点式：已知直线上两点 、，方程为 .
（4）截距式：已知直线在 轴、 轴上的截距分别为 ，方程为 .
（5）一般式：关于 的二元一次方程 （其中 不同时为 ）.
2、各形式的成立条件与表示不了的直线
每一种形式都自带限制：它在写出方程的那一刻用到了某些分母或某些假设，条件一旦被破坏，对应的一类直线就无法用它表示.把五种形式逐条对照如下.
形式（方程） 成立条件 条件不满足时表示不了的直线
点斜式 斜率 存在，且已知直线上一点 斜率不存在的直线（垂直于 轴）
斜截式 斜率 存在 斜率不存在的直线（垂直于 轴）
两点式 且 垂直于 轴的直线、垂直于 轴的直线
截距式 且 （两截距都非零） 过原点的直线、与坐标轴平行或重合的直线
一般式 不同时为 无，可表示平面内任意一条直线
3、特殊位置的直线
（1）水平直线：斜率 ，方程为 ；在一般式中对应 、.
（2）竖直直线：斜率不存在，方程为 ；在一般式中对应 、.
（3）过原点的直线：两个截距都是 ，可写成 或 ；其中 只覆盖斜率存在的情形，竖直的过原点直线（ 轴）要单独写出.
题型一　概念辨析
1、下列说法中正确的有( )
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
【答案】C
【详解】对于 A ，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以 A 错误;
对于 B ，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以 B 错误；
对于 C ，若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直，故 C 正确;
对于 D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于-1，故 D 错误；
故选：C.
2、下列叙述正确的是( )
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或
D．若直线 与 轴相交，其向上的方向与 轴正方向所成的角为 ，则其倾斜角为
【答案】C
【详解】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为 的直线不存在斜率，错：
B：由于直线倾斜角的取值范围是 ，因此 不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当 时，直线斜率 ，但直线倾斜角为 ，错：
C：与 轴垂直的直线的倾斜角是 ，与 轴垂直的直线的倾斜角是 ，对；
D：如图，当 向上方向的部分在 轴左侧时，倾斜角为 :
当 向上方向的部分在 轴右侧时，倾斜角为 ，错.
故选：C
3、（多选）下列结论错误的是( )
A．若直线 ， 的斜率相等，则
B．若直线 ， 的斜率分别为 , ，且 ，则
C．若直线 ， 的斜率都不存在，则
D．若直线 ， 的斜率不相等，则 与 不平行
【答案】ABC
【详解】对 A ，直线 , 的斜率相等，则 或 与 重合，故 A 错误；
对 B ，当直线的斜率 时，有 ，故 B 错误；
对 C ，若直线 , 的斜率都不存在，则 或 与 重合，故 C 错误；
对 D ，直线 ， 的斜率不相等，则 与 不平行，正确.
故选：ABC.
4、（多选）下列说法中不正确的有( )
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率之积等于 ，则两直线垂直
C．过点 且斜率为1的直线方程可表示为：
D．直线倾斜角 的范围是： ，且当倾斜角增大时，斜率也增大
【答案】 ACD
【详解】对于A，若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故 A 错误；
对于 B ，若两直线的斜率之积等于 ，则两直线垂直，故 B 正确：
对于 C ，过点 且斜率为1的直线方程为 ，而方程 中 ，故 C 错误：
对于 D ，直线倾斜角 的范围是： ,
当 时，倾斜角增大时，斜率也增大；当 时，斜率不存在；
当 时，倾斜角增大时，斜率也增大.故 D 错误.
故选：ACD.
5、（多选）下列说法正确的有( )
A．直线 的倾斜角为
B．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
C．过 、 两点的所有直线的方程为
D．设直线 的方程为 ，则直线 倾斜角的取值范围是
【答案】 AD
【详解】对于A，直线 可得 ，则斜率 ,
所以直线倾斜角 满足 ，又 ，即 ，故正确：
对于 B ，当截距不为 时，由直线截距式可设直线方程为 ，代入 得 ，解得 :
当截距为 时，可设直线方程为 ，代入 得 ，即 ，故错误；
对于 C ，根据直线方程两点式可知 ， 且 ，故错误；
对于D，由直线 的方程为 可得 ，斜率 ，
由 得 ，设倾斜角为 ，则 .
由 ，得 ，故正确.
故选：AD.
6、（多选）下列结论正确的是( )
A．方程 与方程 可表示同一直线
B．直线 过点 ，倾斜角为45°，则其方程是
C．直线 过点 ，斜率不存在，则其方程是
D．所有的直线都有点斜式和截距式方程
【答案】BC
【详解】对于 A：方程 分母不为 ，要求 ，对应的直线不包含点 ，而 包含点 ，二者不能表示同一直线， A 错误；
对于 B ：倾斜角为 ，斜率 ，代入点斜式方程得 .
整理得 , B 正确:
对于 C ：斜率不存在的直线垂直于 轴，直线上所有点的横坐标恒为 ，方程为 , C 正确；
对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式；
截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式，
因此不是所有直线都有点斜式和截距式， D 错误.
故选：BC.
题型二　由平行、垂直关系求参数
1、两直线平行的判定
设两条不重合的直线 ，倾斜角分别为 ，斜率分别为 .
斜率式：对于斜率分别为 的两条直线 ，有 .这个充要条件依赖两个前提，缺一不可：两条直线的斜率都存在，且 与 不重合.
一般式判定：设 ，（每个式子里 不同时为 ）.（1）当 时， 且 ；
（2）当 时，.
由平行关系求参数的操作口径：用 只能算出“平行或重合”，因此解出参数后必须代回原方程检验，重合的舍去.一般式的这套判法避开了对斜率是否存在的讨论，能少掉一半漏解的可能.
2、两直线垂直的判定
斜率式：若 的斜率都存在，则 .
一般式判定：设 ，，则无条件地有 .
1、“ "是“直线 与直线 互相平行"的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】因为两条直线平行，所以
所以“ "是直线 与直线 互相平行的既不充分也不必要. 故选： D .
2、已知 :直线 与直线 平行， ，则 是 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】直线 与直线 平行，
则 解得 或 .
所以 等价于 或 ，而 ，
故 是 的充分不必要条件.
故选：A.
3、（多选）已知直线 ，则下列说法正确的是( )
A． 可能垂直于 轴 B． 可能垂直于 轴
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】 BC
【详解】对于 A ，因为直线 , 的系数不为 ，所以 不垂直于 轴， A 错误；
对于 B ，当 时， ，与 轴垂直， B 正确；
对于 C ，当 时， .
因为直线 的斜率均为 且不重合，所以两直线平行， C 正确；
对于D，因为 ，所以 ，解得 或 .
当 时，由 C 选项知两直线是平行的；
当 时， ，斜率均为 ，且两直线不重合，所以两直线平行，
故 时 或 错误；
故选：BC.
4、已知 ，两直线 ，若 ，则 的最小值为( )
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，且 ,
所以 ，即 ，且 ,
所以
当且仅当 ，即 时等号成立
故选：D.
题型三　求直线方程
结论一：在两坐标轴上的截距相等或互为相反数
先把“截距”说清：直线与 轴的交点 的横坐标 叫做直线在 轴上的截距，与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线在 轴上的截距.截距是数，可正、可负、可为零，它不是距离.
结论：截距相等：①过原点；②；
截距互为相反数：①过原点；②；
结论二：过定点 且到两定点 距离相等的直线
结论：过点 的直线 到定点 的距离相等 ；② 过线段 的中点.
结论三：过定点 （）的直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小
设直线 与 轴正半轴交于 、与 轴正半轴交于 ，其中 .因为两个截距都非零、且直线不与坐标轴平行，截距式适用，可设
三角形 的面积 .
点 在 上，所以
由基本不等式得
两边平方，化去根号得
所以 ，当且仅当 时取到，即
取等条件是本题最容易被忽略的一步，它本身也在几何上说明了一件事：此时 、，而
即 恰好是线段 的中点.也就是说，“面积最小”等价于“定点 平分这条截距线段”：此时两条截距分别是 与 ，.
适用范围与推广：这里要求 ，也就是直线必须落在 所在象限的这两条正半轴上；若 但都在负半轴，把 取成同号（如 自然为负），推导一字不改，面积改用 ，结论变成 .
1、过点 且在 轴、 轴上截距相等的直线方程为 .
【答案】 或
【详解】设直线在 轴 轴上的截距均为 ,
①若 ，即直线过原点，设直线方程为 ，代入 ，可得
故直线方程为 ，即 :
②若 ，则直线方程为 ，代入 可得 ,
解得 ，故直线方程为 .
综上所述：所求直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
2、过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 .
【答案】 或
【详解】设直线 ，截距分别为 和
因为截距互为相反数，所以
若 ，又过点 ，所以 ，直线为 .
若 ，解得 ，所以 ，直线为 .
3、已知直线 过点（1,3)，若 与 轴， 轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可能是( )
A．3 B． C． 5 D．
【答案】D
【详解】由题意知直线 在 轴上的截距存在且大于 ,
设直线 的方程为 .
直线 过点 ，可得 ,
所以 ，当且仅当 ，即 取等号，故 ，
所以 .
故选： D .
4、直线 经过点 ，且点 到它的距离相等，则 的方程为( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】 D
【详解】若直线 斜率不存在，则 ,
此时点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，符合要求：
若直线 斜率存在，设 ，即 ,
则有 ，化简得 .
即 ，解得 ，即 :
故 的方程为 或 .
故选：D.
5、已知直线 经过点 ，且 . 两点到直线 的距离相等，则 的方程为 .
【答案】 或 .
【详解】当直线 与直线 平行，或直线 过线段 的中点时，满足条件，
第一种情况：当直线 与直线 平行时 ,此时直线 的方程为 , 即 ，
第二种情况，当直线 过线段 的中点时,中点坐标 ，此时直线 的斜率 ,
方程为 ，即 .
综上可知，直线 的方程为 或 .
故答案为： 或
6、已知点 、 .
(1)若点 是直线 上的动点，且 ，求直线 的方程；
(2) 若点 、 到直线 的距离相等，求实数 的值.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）解：点 是直线 上的动点，且 .
所以点 在线段 的垂直平分线上，
线段 的中点为
故直线 的方程为 ，即 .
（2）解：由条件知，线段 的中点 在直线上或线段 所在直线与直线平行， 若线段 的中点 在直线 上，则 ，解得 ：
若线段 所在直线与直线 平行，则 ，解得
综上所述， 或
题型四　斜率和倾斜角取值范围问题
1、两直线的夹角
定义：两条直线相交时，所成的角有四个，其中不超过 的那个角叫做它们的夹角，所以两条直线相交时夹角 .两条直线平行或重合时，规定它们的夹角为 ；两条直线垂直时，夹角为 .综合起来，两直线的夹角 .
公式：设两条直线的斜率分别为 （两个斜率都存在，且 ），则
用法要点：在夹角题里，若已知一条直线的斜率 与两条直线的夹角 ，求另一条直线的斜率 ，通常用 建立带绝对值的方程 .去绝对值时方程分成两支，得到两个解，它们对应两条关于已知直线对称的直线，不要漏掉其中一条.
2、过某点的直线和线段有交点
方法： 一条含参直线恒过定点 ，且要与线段 有公共点时，先求出 、，再利用几何直观读出直线绕 旋转扫过的角区间.
例 ．已知点 ，，直线 经过点 且与线段 有公共点，求直线 的斜率 的取值范围，以及它的倾斜角 的取值范围.
解：由过两点的斜率公式得 ，，
即 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ；线段 上的点相对于 的方向，恰好铺满由 逆时针转到 的一段，其中跨过了竖直方向 .
当 时 ； 时 .故 或 .竖直直线 也过 且与线段有交点，但它没有斜率，故 只属于倾斜角范围，不进 的范围.故
1、设点 ，若过点 的直线 与线段 有公共点.则直线 的斜率 取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设过点 且垂直于 轴的直线交线段 于点 ，如下图所示：
当直线 从 的位置旋转至与 的位置靠近时，
此时直线 的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则
当直线 从靠近 的位置旋转至 的位置时，
此时直线 的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则 .
综上所述，直线 的斜率 的取值范围是
故选：A.
2、已知点 ，若直线 与线段 相交，则直线 的倾斜角的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】 C
【详解】因为直线 的方程 可化为 .
所以直线 过定点 .
又 .
所以直线 的斜率 、
直线 的斜率 .
所以 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 .
结合倾斜角和斜率的关系可知倾斜角的取值范围是
故选：C.
3、已知 ，直线 上存在点 ，满足 . 则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】直线 方程可化为： .
令 得： ，所以直线 恒过定点 .
由 得： .
当直线 上存在点 满足 时，直线 与线段 有交点，如图所示，
， ，由直线 斜率不为 ，
∵直线 的斜率 .
所以 .
故选：B.
4、直线 与直线 的夹角的正切值为 .
【答案】
设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 由 ，得 ，所以直线 的斜率为 ，即 : 由 ，得 ，所以直线 的斜率为 ，即 .
所以
直线 与直线 的夹角正切值为2 .
5、直线 和 的夹角的余弦值为 .
【答案】
【详解】设直线 和 的倾斜角分别为 ，两直线的夹角为 ， ，则
所以
而 ，解得 ， ，则直线 和 的夹角的余弦值为
题型五　直线过定点问题
原理：关于参数的多项式恒等于零，等价于各项系数同时为零
例 1．已知直线 （ 为任意实数）恒过定点 ，求点 的坐标.
解： 的方程里含 的项分散在两处，先把它们按 重新分组： 是定点，意思是存在一组 使上式对任意 都成立；把左边看成 的一次式，则 的系数 与不含 的常数项 必须同时为 ，否则只能解出唯一一个 使等式成立，谈不上恒成立.于是有 ，解得 ， ，故 .
1、无论 取何值，直线 总经过点( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 .
当 ，即 时， ，解得 ,
所以无论 取何值，直线 总经过点 .
故选：C.
2、已知直线 与直线 关于点 对称，则 恒过的定点为( )
A． B． C． D．
【答案】 C
【详解】直线 的方程可化为 ，由 解得
所以，直线 过定点 ，点 关于点 的对称点为 .
因此，直线 恒过的定点 .
故选：C.
3、若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 过定点 ，
设定点 关于点 对称的点的坐标为 ，
则 ，即直线 恒过定点 .
故选：C.
题型六　与直线有关的对称问题
1、点关于点对称
定义： 两点关于点 对称，等价于 是线段 的中点.
公式：点 关于点 的对称点为
2、点关于直线对称
定义与条件： 关于直线 对称，等价于 是线段 的垂直平分线.这句话里含两个条件“垂直、平分”：连线 与 垂直；线段 的中点在 上.
方程组：设 、 关于直线 （）对称，则
第一式是“中点在 上”（把中点坐标代入 的方程）；第二式是“连线与 垂直”，即两斜率之积为 ，其中 就是 的斜率（由 得 ）.联立这两式即可解出 ，
3、直线关于点对称
关键性质：点关于点对称在几何上就是绕该点旋转 .一条直线绕某点旋转 后方向不变，所以对称直线与原直线平行，即 ，斜率不变（或两条都竖直）.同时，对称中心到两条直线的距离相等.这两条就是解这类题的全部抓手.
两种做法（根据个人喜好选择）：
（1）相关点代入法（轨迹法）：设所求直线 上任一点 ，它关于 的对称点为 ；这个点在已知直线 上，所以把 代入 的方程，整理得到的就是 的方程.这一步之所以成立，是因为两直线上的点关于 一一对应， 上任意点的对称点必在 上， 上任意点的对称点也必在 上.
（2）取点法：在 上取两个点，分别求出它们关于 的对称点，由两点式写出 .取点时优先取 与坐标轴的交点，算起来最省.
4、直线关于直线对称
这一类分两种情形，必须先判断已知直线 与对称轴 是相交还是平行，两种情形的做法不同.
（1）相交（ 与 有交点 ）：因为交点在对称轴上，它关于 的对称点是自身，所以 一定也过 .
做法是：先联立 与 的方程求出交点 ；再在 上取一个不在 上的点 ，按点关于直线对称的方程组求出 关于 的对称点 ；最后由 两点用两点式写出 .取 时优先取 与坐标轴的交点.
（2）平行（）：此时 ，三条直线斜率相同.
做法是：设 与 的 系数相同、只差常数项；再在 上任取一点 ，求它关于 的对称点 ，把 代入所设方程定出常数.
1、与直线 关于 轴对称的直线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】 D
【详解】设与直线 关于 轴对称的直线为 ,
取 上任意一点 ，则 关于 轴的对称点为 .
所以 在直线 上，即 ，亦即 .
故选： D .
2、与直线 关于坐标原点对称的直线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线 上一点 关于坐标原点 对称的点为 ，由 ， ，解得 ， ，则代入 ，得 ,
即所求直线的方程为 .
故选：D.
3、点 关于直线 的对称点为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设点 关于直线 的对称点为 .
由中点坐标公式得 的中点为
则 的中点在直线 上且直线 与 垂直，
所以 化简得
所以点 关于直线 的对称点为 .
故选： B
4、点 关于直线 的对称点 的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设对称点 的坐标为 ,则 ，解得 .
故选：B.
5、直线 关于直线 对称的直线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 为所求直线上的任意一点，
关于直线 的对称点为 .
则 在直线 上,
则 ，整理得到 即为所求.
故选： B .
6、已知直线 与直线 关于点 对称，则实数 的值为( )
A． 2 B． C． D．
【答案】A
【详解】由于直线 与直线 关于点 对称，
所以两直线平行，故 ，则 .
由于点(3,0)在直线 上，（3,0）关于点 的对称点为 ,
故 在 上，代入可得 ，故 ,
故选： A
题型七　三角形三线综合问题
方法： 题中给出某边上的高线时，说明高线与该边垂直，利用 求出该边的斜率，再由该边过已知顶点用点斜式写出方程，故高线的斜率就是边斜率的负倒数.
方法： 题中给出某边上的中线时，说明中线端点就是该边的中点，设未知顶点坐标后利用中点坐标公式表示中点，把中点坐标代入中线方程即得一个方程，故再与另一条已知条件联立就能解出该顶点.
方法： 题中给出角平分线时，把它看作对称轴：这个角的两边关于它对称，故一个顶点关于角平分线的对称点必落在对边上，利用点关于直线对称的方程组求出该对称点，再与已知顶点连成直线即可.
1、已知 的顶点 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ，边 上的高 所在直线方程为 ，求：
(1)顶点 的坐标：
(2)直线 的方程.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由于 ，且 的直线方程为 ,
所以 ，故 .
又 的顶点 ，所以 所在的直线方程为 ,
由于 边上的中线 所在的直线方程为 ,
联立方程 ，解得 ：故点 .
(2）设点 ，则 的中点
由于点 在直线 上,
所以 ，整理得 .
同时点 在直线 上，所以 ,
故 ，解得 ，中点 .
所以 ，故直线方程为 .
2、已知 的顶点 ，边 上的高线 所在的方程为 ，角 的角平分线交 边于点 所在的直线方程为 .
(1)求点 的坐标；
(2)求直线 的方程.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意， ， ，所以 .
直线 的方程为： ，即 .
联立直线 与直线 的方程，
所以点 的坐标为 .
（2）设点 关于直线 的对称点为 .
则 ，所以 .
因为直线 就是直线 ，
所以直线 的方程为： ，即 .
3、已知 的顶点 ，顶点 在 轴上， 边上的高所在的直线方程为
(1)求直线 的方程；
(2)若 边上的中线所在的直线方程为 ，求 的值.
【答案】(1) ; .
【详解】(1）依题意，由 边上的高所在的直线的斜率为 ，故直线 的斜率为 ， 又 ，所以直线 的方程为 ，即 .
(2）由 点在 轴上，设 ，则线段 的中点 .
由点 在直线 上，得 ，得 ，即 ，
又点 在直线 上，因此 ，解得 ,
所以 的值为 .
课后作业
1、（多选）下列四个命题为真命题的是( )
A．经过定点 且方向向量为 的直线都可以用方程 表示
B．经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程
表示
C．不经过原点的直线都可以用方程 来表示
D．方程 （ 不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线
【答案】ABD
【详解】对于 A ，由直线方向向量为 ，可得该直线的斜率为 ，
又由直线过定点 ，可得直线方程为 ，所以 A 为真命题：
对于 B ，设 是该直线的任意一点，则 由 ，可得 ，所以 B 为真命题；
对于 C ，不过原点但在 轴或 轴上无截距的直线 ）或 ）不能用方程 表示，所以 C 为假命题
对于 D ，直线的一般式方程 （ 不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线，所以 D 为真命题.
2、（多选）已知直线 ，直线 ，则( )
A．直线 过定点
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则直线 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为
【答案】ABC
【详解】可将直线 化为 ，令 、解得
，所以直线 过定点 ，故 A 正确
若 ，则 ，解得 ，当 时，直线 ，直线 . 符合题意；
当 时，直线 ，直线 ，符合题意：故 B正确，
若 ，则 ,解得 ，当 时，直线 ，直线 ， 符合题意；故 C 正确，
令直线 中 ，则 ，令 ， .
与坐标轴围成的三角形面积为
，当且仅当 ，即 时等号成立，
此时 ，故 D 错误.
3、下列说法正确的是( )
A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点 关于直线 的对称点为
C．直线 关于直线 的对称直线的方程为
D．直线 关于点 的对称直线的方程为
【答案】 D
【详解】对于 A ，直线 与两坐标轴交于 ，则所求三角形面积为 , A 错误;
对于 B ，点 和 的中点 不在直线 上，则点 关于直线 的对称点不是 , B 错误；
对于 C ，在直线 上取点 ，设其关于直线 的对称点为 , 则 ，解得 .而点 不在直线 上， C 错误；
对于 D ，在所求方程的直线上任取点 ，则该点关于点 的对称点为 在直线 上,
于是 ，即 ，因此所求的直线方程为 ，D正确.
4、已知点 ，若直线 与线段 相交(包含端点的情况)，则实数 的取值范围是( )
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【详解】整理直线 的方程 ，可知直线 恒过定点 .
所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
直线 与线段 相交（包含端点)，则直线 的斜率需 或
当 时，直线 的方程为 ，即 轴，与线段 交于点 ，符合条件：
当 时，直线 的斜截式方程为 ，斜率为
若 ，解得 ；若 ，解得 或 .
综上， 的取值范围是 或 .
5、求直线 关于直线 对称的直线方程为 .
【答案】
【详解】解方程组 得 ，即直线 和直线 的交点坐标为 ,
又 是直线 上一点，设它关于直线 的对称点坐标为 .
则 ，解得
所以所求直线方程为 ，即 .
故答案为： .
6、直线 与 轴、 轴分别交于 两点，求 面积的最小值和周长的最小值.
【答案】 ，
【详解】已知 .
令 ，解得 ，则
令 ，解得 ，则 ，则：
由于 ，令 ，则 ，则
根据基本不等式： ，当且仅当 时等号成立，
即 .
其中 .
. 当且仅当 ， 时等号成立，即 ， .
7、已知直线 经过点 .
(1)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程；
(2)若直线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 为坐标原点， 的面积为 ，求 的最小值及此时直线 的方程.
【答案】(1) 或
(2)12,
【详解】（1） 当截距都为 也即直线过原点时，设直线方程为 ，因为直线过点 , 所以 ，解得 ，此时直线方程为 ，即 :
当截距不为 时，设两者截距为 ，直线方程为 ，即 ，因为直线过点 ，所以 ，解得 ，此时直线方程为 ;
综上，直线 的方程为 或 .
（2）由题意知，直线在 轴的截距都不为零，
设直线 的方程为 ，且根据题干可得 .
因为直线过点 ，所以 ,
所以 的面积 .
由 ，其中 .
所以 ，化简可得 .
所以 ，当且仅当 时取等号，
解得此时 ，
直线 的截距式方程为 ，整理得 .
8、已知直线 的方程为 .
（1）若直线 和直线 关于点 对称，求直线 的方程
(2）若直线 和直线 关于直线 对称，求直线 的方程
【答案】(1) ；(2) .
【详解】因为直线 和直线 关于点 对称，
在直线 上任取一点 ，则 关于点 对称的点 在直线 上. 将点 代入直线 可得 .
所以直线 的方程为 ;
设直线 与直线 的交点为 .
所以 解得 ，则 .
在直线 上取点 ，设 关于直线 对称的点为 ,
则 ①
因为 与 的中点坐标为
所以 ②
由①②可得 ，所以 .
因为直线 和直线 关于直线 对称，
所以直线 经过点 和点 .
所以直线 的两点式方程为
整理得直线 的一般式方程为 .
故答案为： .
9、已知 的顶点 的坐标为 ， 边上的中线 所在的直线方程为 的平分线 所在的直线方程为 .
(1)求点 的坐标：
(2)求直线 的方程
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ，顶点 的坐标为 .
由 中点在 上，
可得 ，即 .
又由于点 在直线 上，得 .
联立解得 解得 .
（2）顶点 的坐标为 ,
设 点关于 的对称点为 ,
则有
解得 . .
显然点 在 边所在的直线上，且 .
得直线 的方程为： .
所以直线 的方程为： .
1直线方程
知识梳理
一、倾斜角和斜率
1、倾斜角的定义
当直线 与 轴相交时，以 轴为基准， 轴正方向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角；当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .因此倾斜角的取值范围是
在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一的倾斜角：方向相同的直线倾斜程度相同、倾斜角相等，方向不同的直线倾斜角不等.所以倾斜角是从“形”的角度刻画直线方向的量，任何直线都不缺.
2、斜率的定义与存在条件
把直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，记作
由定义立刻得到适用范围：倾斜角为 的直线没有斜率（ 无意义），倾斜角不是 的直线都有斜率.也就是说，“是否竖直”正是“斜率是否存在”的分界.
若知道直线上两点的坐标，则过两点 、 且 的直线，
当 时该直线竖直，斜率不存在.
3、斜率随倾斜角的变化：分段单调
由这张图直接读出结论： 时 随 增大而增大且 ；
时 也随 增大而增大但 .两段上都是增函数，却分别在 的两侧趋向 与 ，中间间断.所以“倾斜角越大，斜率越大”这句话是错的，跨过 直接比较斜率的正负号会得出完全相反的结论.
二、直线方程的五种形式
1、五种形式的定义
平面直角坐标系中，一条直线由"一个点和一个方向"或"两个点"唯一确定.把这些确定条件翻译成关于 的方程，就得到直线的各类方程形式；条件不同、写法不同，于是有下面五种形式.
（1）点斜式：已知直线上一点 和斜率 ，方程为 .
（2）斜截式：已知斜率 和直线在 轴上的截距 ，方程为 .
（3）两点式：已知直线上两点 、，方程为 .
（4）截距式：已知直线在 轴、 轴上的截距分别为 ，方程为 .
（5）一般式：关于 的二元一次方程 （其中 不同时为 ）.
2、各形式的成立条件与表示不了的直线
每一种形式都自带限制：它在写出方程的那一刻用到了某些分母或某些假设，条件一旦被破坏，对应的一类直线就无法用它表示.把五种形式逐条对照如下.
形式（方程） 成立条件 条件不满足时表示不了的直线
点斜式 斜率 存在，且已知直线上一点 斜率不存在的直线（垂直于 轴）
斜截式 斜率 存在 斜率不存在的直线（垂直于 轴）
两点式 且 垂直于 轴的直线、垂直于 轴的直线
截距式 且 （两截距都非零） 过原点的直线、与坐标轴平行或重合的直线
一般式 不同时为 无，可表示平面内任意一条直线
3、特殊位置的直线
（1）水平直线：斜率 ，方程为 ；在一般式中对应 、.
（2）竖直直线：斜率不存在，方程为 ；在一般式中对应 、.
（3）过原点的直线：两个截距都是 ，可写成 或 ；其中 只覆盖斜率存在的情形，竖直的过原点直线（ 轴）要单独写出.
题型一　概念辨析
1、下列说法中正确的有( )
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
2、下列叙述正确的是( )
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或
D．若直线 与 轴相交，其向上的方向与 轴正方向所成的角为 ，则其倾斜角为
3、（多选）下列结论错误的是( )
A．若直线 ， 的斜率相等，则
B．若直线 ， 的斜率分别为 , ，且 ，则
C．若直线 ， 的斜率都不存在，则
D．若直线 ， 的斜率不相等，则 与 不平行
4、（多选）下列说法中不正确的有( )
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率之积等于 ，则两直线垂直
C．过点 且斜率为1的直线方程可表示为：
D．直线倾斜角 的范围是： ，且当倾斜角增大时，斜率也增大
5、（多选）下列说法正确的有( )
A．直线 的倾斜角为
B．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
C．过 、 两点的所有直线的方程为
D．设直线 的方程为 ，则直线 倾斜角的取值范围是
6、（多选）下列结论正确的是( )
A．方程 与方程 可表示同一直线
B．直线 过点 ，倾斜角为45°，则其方程是
C．直线 过点 ，斜率不存在，则其方程是
D．所有的直线都有点斜式和截距式方程
题型二　由平行、垂直关系求参数
1、两直线平行的判定
设两条不重合的直线 ，倾斜角分别为 ，斜率分别为 .
斜率式：对于斜率分别为 的两条直线 ，有 .这个充要条件依赖两个前提，缺一不可：两条直线的斜率都存在，且 与 不重合.
一般式判定：设 ，（每个式子里 不同时为 ）.（1）当 时， 且 ；
（2）当 时，.
由平行关系求参数的操作口径：用 只能算出“平行或重合”，因此解出参数后必须代回原方程检验，重合的舍去.一般式的这套判法避开了对斜率是否存在的讨论，能少掉一半漏解的可能.
2、两直线垂直的判定
斜率式：若 的斜率都存在，则 .
一般式判定：设 ，，则无条件地有 .
1、“ "是“直线 与直线 互相平行"的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、已知 :直线 与直线 平行， ，则 是 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、（多选）已知直线 ，则下列说法正确的是( )
A． 可能垂直于 轴 B． 可能垂直于 轴
C．若 ，则 D．若 ，则
4、已知 ，两直线 ，若 ，则 的最小值为( )
A．3 B．2 C． D．
题型三　求直线方程
结论一：在两坐标轴上的截距相等或互为相反数
先把“截距”说清：直线与 轴的交点 的横坐标 叫做直线在 轴上的截距，与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线在 轴上的截距.截距是数，可正、可负、可为零，它不是距离.
结论：截距相等：①过原点；②；
截距互为相反数：①过原点；②；
结论二：过定点 且到两定点 距离相等的直线
结论：过点 的直线 到定点 的距离相等 ；② 过线段 的中点.
结论三：过定点 （）的直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小
设直线 与 轴正半轴交于 、与 轴正半轴交于 ，其中 .因为两个截距都非零、且直线不与坐标轴平行，截距式适用，可设
三角形 的面积 .
点 在 上，所以
由基本不等式得
两边平方，化去根号得
所以 ，当且仅当 时取到，即
取等条件是本题最容易被忽略的一步，它本身也在几何上说明了一件事：此时 、，而
即 恰好是线段 的中点.也就是说，“面积最小”等价于“定点 平分这条截距线段”：此时两条截距分别是 与 ，.
适用范围与推广：这里要求 ，也就是直线必须落在 所在象限的这两条正半轴上；若 但都在负半轴，把 取成同号（如 自然为负），推导一字不改，面积改用 ，结论变成 .
1、过点 且在 轴、 轴上截距相等的直线方程为 .
2、过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 .
3、已知直线 过点（1,3)，若 与 轴， 轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可能是( )
A．3 B． C． 5 D．
4、直线 经过点 ，且点 到它的距离相等，则 的方程为( )
A． B．
C． 或 D． 或
5、已知直线 经过点 ，且 . 两点到直线 的距离相等，则 的方程为 .
6、已知点 、 .
(1)若点 是直线 上的动点，且 ，求直线 的方程；
(2) 若点 、 到直线 的距离相等，求实数 的值.
题型四　斜率和倾斜角取值范围问题
1、两直线的夹角
定义：两条直线相交时，所成的角有四个，其中不超过 的那个角叫做它们的夹角，所以两条直线相交时夹角 .两条直线平行或重合时，规定它们的夹角为 ；两条直线垂直时，夹角为 .综合起来，两直线的夹角 .
公式：设两条直线的斜率分别为 （两个斜率都存在，且 ），则
用法要点：在夹角题里，若已知一条直线的斜率 与两条直线的夹角 ，求另一条直线的斜率 ，通常用 建立带绝对值的方程 .去绝对值时方程分成两支，得到两个解，它们对应两条关于已知直线对称的直线，不要漏掉其中一条.
2、过某点的直线和线段有交点
方法： 一条含参直线恒过定点 ，且要与线段 有公共点时，先求出 、，再利用几何直观读出直线绕 旋转扫过的角区间.
例 ．已知点 ，，直线 经过点 且与线段 有公共点，求直线 的斜率 的取值范围，以及它的倾斜角 的取值范围.
解：由过两点的斜率公式得 ，，
即 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ；线段 上的点相对于 的方向，恰好铺满由 逆时针转到 的一段，其中跨过了竖直方向 .
当 时 ； 时 .故 或 .竖直直线 也过 且与线段有交点，但它没有斜率，故 只属于倾斜角范围，不进 的范围.故
1、设点 ，若过点 的直线 与线段 有公共点.则直线 的斜率 取值范围是( )
A． B． C． D．
2、已知点 ，若直线 与线段 相交，则直线 的倾斜角的取值范围是( )
A． B． C． D．
3、已知 ，直线 上存在点 ，满足 . 则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
4、直线 与直线 的夹角的正切值为 .
5、直线 和 的夹角的余弦值为 .
题型五　直线过定点问题
原理：关于参数的多项式恒等于零，等价于各项系数同时为零
例 1．已知直线 （ 为任意实数）恒过定点 ，求点 的坐标.
解： 的方程里含 的项分散在两处，先把它们按 重新分组： 是定点，意思是存在一组 使上式对任意 都成立；把左边看成 的一次式，则 的系数 与不含 的常数项 必须同时为 ，否则只能解出唯一一个 使等式成立，谈不上恒成立.于是有 ，解得 ， ，故 .
1、无论 取何值，直线 总经过点( )
A． B． C． D．
2、已知直线 与直线 关于点 对称，则 恒过的定点为( )
A． B． C． D．
3、若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点( )
A． B． C． D．
题型六　与直线有关的对称问题
1、点关于点对称
定义： 两点关于点 对称，等价于 是线段 的中点.
公式：点 关于点 的对称点为
2、点关于直线对称
定义与条件： 关于直线 对称，等价于 是线段 的垂直平分线.这句话里含两个条件“垂直、平分”：连线 与 垂直；线段 的中点在 上.
方程组：设 、 关于直线 （）对称，则
第一式是“中点在 上”（把中点坐标代入 的方程）；第二式是“连线与 垂直”，即两斜率之积为 ，其中 就是 的斜率（由 得 ）.联立这两式即可解出 ，
3、直线关于点对称
关键性质：点关于点对称在几何上就是绕该点旋转 .一条直线绕某点旋转 后方向不变，所以对称直线与原直线平行，即 ，斜率不变（或两条都竖直）.同时，对称中心到两条直线的距离相等.这两条就是解这类题的全部抓手.
两种做法（根据个人喜好选择）：
（1）相关点代入法（轨迹法）：设所求直线 上任一点 ，它关于 的对称点为 ；这个点在已知直线 上，所以把 代入 的方程，整理得到的就是 的方程.这一步之所以成立，是因为两直线上的点关于 一一对应， 上任意点的对称点必在 上， 上任意点的对称点也必在 上.
（2）取点法：在 上取两个点，分别求出它们关于 的对称点，由两点式写出 .取点时优先取 与坐标轴的交点，算起来最省.
4、直线关于直线对称
这一类分两种情形，必须先判断已知直线 与对称轴 是相交还是平行，两种情形的做法不同.
（1）相交（ 与 有交点 ）：因为交点在对称轴上，它关于 的对称点是自身，所以 一定也过 .
做法是：先联立 与 的方程求出交点 ；再在 上取一个不在 上的点 ，按点关于直线对称的方程组求出 关于 的对称点 ；最后由 两点用两点式写出 .取 时优先取 与坐标轴的交点.
（2）平行（）：此时 ，三条直线斜率相同.
做法是：设 与 的 系数相同、只差常数项；再在 上任取一点 ，求它关于 的对称点 ，把 代入所设方程定出常数.
1、与直线 关于 轴对称的直线方程为( )
A． B． C． D．
2、与直线 关于坐标原点对称的直线的方程为( )
A． B． C． D．
3、点 关于直线 的对称点为( )
A． B． C． D．
4、点 关于直线 的对称点 的坐标是( )
A． B． C． D．
5、直线 关于直线 对称的直线方程是( )
A． B． C． D．
6、已知直线 与直线 关于点 对称，则实数 的值为( )
A． 2 B． C． D．
题型七　三角形三线综合问题
方法： 题中给出某边上的高线时，说明高线与该边垂直，利用 求出该边的斜率，再由该边过已知顶点用点斜式写出方程，故高线的斜率就是边斜率的负倒数.
方法： 题中给出某边上的中线时，说明中线端点就是该边的中点，设未知顶点坐标后利用中点坐标公式表示中点，把中点坐标代入中线方程即得一个方程，故再与另一条已知条件联立就能解出该顶点.
方法： 题中给出角平分线时，把它看作对称轴：这个角的两边关于它对称，故一个顶点关于角平分线的对称点必落在对边上，利用点关于直线对称的方程组求出该对称点，再与已知顶点连成直线即可.
1、已知 的顶点 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ，边 上的高 所在直线方程为 ，求：
(1)顶点 的坐标： (2)直线 的方程.
2、已知 的顶点 ，边 上的高线 所在的方程为 ，角 的角平分线交 边于点 所在的直线方程为 .
(1)求点 的坐标； (2)求直线 的方程.
3、已知 的顶点 ，顶点 在 轴上， 边上的高所在的直线方程为
(1)求直线 的方程；
(2)若 边上的中线所在的直线方程为 ，求 的值.
课后作业
1、（多选）下列四个命题为真命题的是( )
A．经过定点 且方向向量为 的直线都可以用方程 表示
B．经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程
表示
C．不经过原点的直线都可以用方程 来表示
D．方程 （ 不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线
2、（多选）已知直线 ，直线 ，则( )
A．直线 过定点
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则直线 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为
3、下列说法正确的是( )
A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点 关于直线 的对称点为
C．直线 关于直线 的对称直线的方程为
D．直线 关于点 的对称直线的方程为
4、已知点 ，若直线 与线段 相交(包含端点的情况)，则实数 的取值范围是( )
A． B． 或 C． D． 或
5、求直线 关于直线 对称的直线方程为 .
6、直线 与 轴、 轴分别交于 两点，求 面积的最小值和周长的最小值.
7、已知直线 经过点 .
(1)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程；
(2)若直线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 为坐标原点， 的面积为 ，求 的最小值及此时直线 的方程.
8、已知直线 的方程为 .
（1）若直线 和直线 关于点 对称，求直线 的方程
(2）若直线 和直线 关于直线 对称，求直线 的方程
9、已知 的顶点 的坐标为 ， 边上的中线 所在的直线方程为 的平分线 所在的直线方程为 .
(1)求点 的坐标：
(2)求直线 的方程
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