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同步探究学案
课题 数学活动：用矩形“画”双曲线与用简易密度计测量密度 单元 第二十七章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.通过矩形画图活动，从几何角度理解反比例函数的几何意义． 2.借助密度计探究活动，感受物理情境中的反比例关系，体会跨学科建模．
重点 理解面积不变矩形邻边长满足，识别密度计实验中的反比例关系.
难点 理解矩形对角顶点连成的曲线就是反比例函数图象一支，实现几何图形和代数解析式互化.
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说反比例函数变形后得到的的含义？ 答案：若两个变量x、y成反比例关系，那么对应一组x值与y值相乘，乘积永远等于常数k（k≠0）.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助两个数学活动，探究反比例函数。 活动1：用矩形“画”双曲线 下表是10个面积相等的矩形的两邻边长，请补全表格. 一边长/cm12345678910邻边长/cm10521
设为这10个矩形的公共角，画出这10个矩形，然后取的10个对角的顶点，并把这10个点用平滑的曲线连接起来. 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？ 预设：这条曲线是双曲线的一支. 因为在平面直角坐标系中，各矩形的面积为10，所以以矩形两邻边长为坐标的点都满足xy=10. 活动2：用简易密度计测量密度 如图1，物理兴趣小组的同学们做了一个圆柱形简易密度计，其质量为，底面积为，能悬浮在液体中. 经过实验，小组同学记录了当简易密度计悬浮在不同液体中时，其浸入液体的深度，得到如下数据： 液体汽油深油植物油水饱和盐水蜂蜜0.700.800.901.001.151.4010.29987.26.265.14
(1)简易密度计浸入液体的深度(单位：)与液体的密度(单位：)之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. 预设：在物理中，当物体悬浮在液体中时，根据二力平衡，物体所受的浮力与重力相等，即F浮=G，所以pV排g=mg.所以pShg=mg，化简得ph=.当m，S确定时，p是h的反比例函数，即p=. 将 m=7.2，S=1代入上式，可得p=. (2)当简易密度计悬浮在牛奶中时，它浸入牛奶的深度为，则牛奶的密度为多少(结果保留小数点后两位)？ 解：将h=6.99代入p=得， p=≈1.03 答：牛奶的密度约为1.03g/cm3. 归纳： （1）建立模型：根据物理等量关系，列出变量关系式，识别反比例函数模型. （2）确定常数：找到不变总量k，写出xy=k这类乘积为定值的解析式. （3）代入求值：已知一个变量，代入解析式求出另一个变量. （4）实际检验：结合实际情境，变量取值为正数，结果要符合现实意义.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某实践小组进行溶液反应实验，向一定量的甲溶液中逐滴加入乙溶液，反应生成白色沉淀．实验发现：生成沉淀的质量（）与反应后剩余甲溶液的质量（）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 剩余甲溶液的质量2451020沉淀的质量105421
A． B． C． D． 答案：A 2．某同学组装了一个电路，通过实验测得电流与电阻值的一组数据如下表所示： …2346……5m…
已知实验数据中的与的值符合一定的函数关系，则m的值为__________． 答案： 3．综合与实践： 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量毫克百毫升与时间时的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 解：（1）设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）某人晚上喝完毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行， 理由：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 选做题： 4．如图，物理实验课上小明设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根质地均匀的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下：
观察表中的数据，当弹簧测力计与点的距离为时，弹簧测力计的示数的值是（ ） A．5 B． C．10 D．120 答案：B 【综合拓展类练习】 5．不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，，，记录部分实验数据如下： 020406080100120…52.031.070.530.270.090.06…32.031.441.050.760.540.38…10.940.880.820.760.700.64…
(1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，请画出函数，的图象； (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为________，丙香料的香气强度约为________；（结果均保留两位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”）； ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为________． 答案：(1)如图所示，即为函数，的图象 (2) (3)①丙；②乙，60
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（ ） A．当时，是的一次函数 B．当时，是的反比例函数 C． D．该冰箱每天耗电至少超过1度 答案：D 2．为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．下表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（）的函数关系是_________． 动力F（N）241286……动力臂x（cm）1234……
答案： 3．在一定的电压下，电流和可变电阻之间成反比例关系．小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路，如图①所示，通过实验，得到电流值随着电阻值的变化而变化的几组数据如下表所示． …234612……24161284…
请解答下列问题： (1)这个蓄电池的电压值是__________V； (2)请在图②所示的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式； (3)如果要使此电路长期正常工作，需保持电流不得低于且不得超过，则可变电阻的阻值应控制在什么范围内． 解：（1）∵在一定的电压下，电流和可变电阻之间成反比例关系， ∴， 代入，可得． （2）画图如图所示． 设， 将点代入得：， 解得， ． （3）当时，；当时，． 故可变电阻的阻值应控制在不低于且不高于范围内． 选做题： 4．化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：A 【综合拓展类作业】 5．学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 解：（1）将，，代入，得到 ． 用第二个方程减去第一个方程消去： 解得或（舍去，因为 ）． 把代入，可得，， 解得． ∴拟合函数表达式为． （2）令，可得． 解得秒， 分钟． ∴跳绳运动分钟后就应该休息一下 （3）①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，变为，图象向左平移了个单位；整体加，图象向上平移了个单位． 故答案为：75，230； ②设与直线平行的直线方程为． ∵该直线与曲线相切时，该切点到的距离最大， ∴联立方程， 得到． ∴． ， ． ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程的判别式． ∴． ∴． ∴的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒．
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同步探究学案
课题 数学活动：用矩形“画”双曲线与用简易密度计测量密度 单元 第二十七章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.通过矩形画图活动，从几何角度理解反比例函数的几何意义． 2.借助密度计探究活动，感受物理情境中的反比例关系，体会跨学科建模．
重点 理解面积不变矩形邻边长满足，识别密度计实验中的反比例关系.
难点 理解矩形对角顶点连成的曲线就是反比例函数图象一支，实现几何图形和代数解析式互化.
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说反比例函数变形后得到的的含义？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助两个数学活动，探究反比例函数。 活动1：用矩形“画”双曲线 下表是10个面积相等的矩形的两邻边长，请补全表格. 一边长/cm12345邻边长/cm21
设为这10个矩形的公共角，画出这10个矩形，然后取的10个对角的顶点，并把这10个点用平滑的曲线连接起来. 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？ 活动2：用简易密度计测量密度 如图1，物理兴趣小组的同学们做了一个圆柱形简易密度计，其质量为，底面积为，能悬浮在液体中. 经过实验，小组同学记录了当简易密度计悬浮在不同液体中时，其浸入液体的深度，得到如下数据： 液体汽油深油植物油水饱和盐水蜂蜜0.700.800.901.001.151.4010.29987.26.265.14
(1)简易密度计浸入液体的深度(单位：)与液体的密度(单位：)之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. (2)当简易密度计悬浮在牛奶中时，它浸入牛奶的深度为，则牛奶的密度为多少(结果保留小数点后两位)？ 归纳： （1）建立模型：根据物理等量关系，列出变量关系式，识别反比例函数模型. （2）确定常数：找到不变总量k，写出xy=k这类乘积为定值的解析式. （3）代入求值：已知一个变量，代入解析式求出另一个变量. （4）实际检验：结合实际情境，变量取值为正数，结果要符合现实意义.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某实践小组进行溶液反应实验，向一定量的甲溶液中逐滴加入乙溶液，反应生成白色沉淀．实验发现：生成沉淀的质量（）与反应后剩余甲溶液的质量（）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 剩余甲溶液的质量2451020沉淀的质量105421
A． B． C． D． 2．某同学组装了一个电路，通过实验测得电流与电阻值的一组数据如下表所示： …2346……5m…
已知实验数据中的与的值符合一定的函数关系，则m的值为__________． 3．综合与实践： 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量毫克百毫升与时间时的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 选做题： 4．如图，物理实验课上小明设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根质地均匀的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下：
观察表中的数据，当弹簧测力计与点的距离为时，弹簧测力计的示数的值是（ ） A．5 B． C．10 D．120 【综合拓展类练习】 5．不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，，，记录部分实验数据如下： 020406080100120…52.031.070.530.270.090.06…32.031.441.050.760.540.38…10.940.880.820.760.700.64…
(1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，请画出函数，的图象； (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为________，丙香料的香气强度约为________；（结果均保留两位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”）； ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为________．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（ ） A．当时，是的一次函数 B．当时，是的反比例函数 C． D．该冰箱每天耗电至少超过1度 2．为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．下表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（）的函数关系是_________． 动力F（N）241286……动力臂x（cm）1234……
3．在一定的电压下，电流和可变电阻之间成反比例关系．小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路，如图①所示，通过实验，得到电流值随着电阻值的变化而变化的几组数据如下表所示． …234612……24161284…
请解答下列问题： (1)这个蓄电池的电压值是__________V； (2)请在图②所示的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式； (3)如果要使此电路长期正常工作，需保持电流不得低于且不得超过，则可变电阻的阻值应控制在什么范围内． 选做题： 4．化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【综合拓展类作业】 5．学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间．
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