资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 第27章 反比例函数 章末复习 单元 第二十七章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.系统梳理反比例函数的概念、图象与性质，构建本章知识框架． 2.综合运用反比例函数知识解决概念辨析、图象分析、实际应用综合习题．
重点 梳理本章知识框架，巩固反比例函数概念、图象性质、建模应用，解决综合问题.
难点 数形结合解决含参数综合题，区分精确模型与实验拟合模型，规避各类易错点.
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1.举例说明什么是反比例函数，反比例函数描述了怎样的变化规律？ 2.反比例函数的图象是怎样的 反比例函数有什么性质 3.你能举出几个现实生活中运用反比例函数性质的实例吗 4.回顾应用反比例函数解决实际问题的过程，总结建立函数模型解决实际问题的步骤. 5.结合本章的学习，你能总结研究一类函数模型的思路和方法吗？ 考点梳理： 考点一：反比例函数的概念 例1：若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A． B．3 C．2 D． 归纳：解决反比例函数概念类问题的技巧： （1）方程思想：根据反比例函数的概念或相关条件列方程，从而求出参数得到答案． （2）待定系数法：反比例函数中只含有一个参数，只要求出其图象上一个点的坐标，代入即可得到参数的值，进而求出反比例函数的解析式，解决问题． 考点二：反比例函数的图象和性质 例2：若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 归纳：反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象与性质的识记，一般离不开分类讨论和数形结合． （1）分类讨论：识记反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象和性质，往往要分k＞0和k＜0两种情况． （2）数形结合：画出反比例函数 (k为常数，k≠0)图象的草图，函数的增减性往往一目了然． 考点三：与反比例函数k有关的问题 例3：反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 归纳：在与图形面积有关的反比例函数问题中，注意将图形适当地组合或割补，尤其注意从图象上的点向坐标轴作垂线段，以便充分运用反比例函数的比例系数的几何意义解题． 考点四：反比例函数的实际应用 例4：某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（ ） A．气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B．浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C．当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D．使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 归纳：用反比例函数解决实际问题应注意： （1）理清题目中的常量与变量及其基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，建立反比例函数模型； （2）要分清自变量和函数，以便写出正确的函数解析式，结合问题的实际意义，确定自变量的取值范围； （3）熟练掌握反比例函数的定义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题． 考点五：反比例函数的综合应用 例5：如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 归纳：反比例函数与一次函数的综合问题往往遵循以下解题思路： （1）根据已知点的坐标（或两个函数图象的交点坐标）求出两个函数的解析式； （2）根据二者的相应性质（如增减性等），结合其他数学知识解决问题．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 选做题： 4．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 3．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)y与x有怎样的函数关系？ (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【综合拓展类作业】 5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 第27章 反比例函数 章末复习 单元 第二十七章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.系统梳理反比例函数的概念、图象与性质，构建本章知识框架． 2.综合运用反比例函数知识解决概念辨析、图象分析、实际应用综合习题．
重点 梳理本章知识框架，巩固反比例函数概念、图象性质、建模应用，解决综合问题.
难点 数形结合解决含参数综合题，区分精确模型与实验拟合模型，规避各类易错点.
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1.举例说明什么是反比例函数，反比例函数描述了怎样的变化规律？ 预设：一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数. 举例：京沪高铁路程1318km，列车平均速度就是反比例函数. 变化规律：两个变量的乘积（定值，）；一个变量增大，另一个变量随之减小. 自变量取值是不等于0的一切实数. 2.反比例函数的图象是怎样的 反比例函数有什么性质 预设：图象：反比例函数的图象叫作双曲线，由两支不相连的曲线组成. 性质： ①当时，双曲线两支位于第一、第三象限，在每一个象限内，随的增大而减小； ②当时，双曲线两支位于第二、第四象限，在每一个象限内，随的增大而增大.注意：不能去掉“在每一个象限内”跨象限不满足增减规律. 3.你能举出几个现实生活中运用反比例函数性质的实例吗 预设： ①杠杆问题：阻力、阻力臂固定，动力与动力臂成反比例，动力臂越长越省力； ②卸货问题：货物总量固定，卸货速度和卸货时间成反比例，要求时间越短，需要卸货速度越大； ③压强问题：压力一定时，压强与受力面积成反比例，受力面积越大，压强越小； ④做功不变时，力与物体移动的位移成反比例. 4.回顾应用反比例函数解决实际问题的过程，总结建立函数模型解决实际问题的步骤. 预设：（1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式给出），并理清常量与变量之间的关系． （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示． （3）列：由题目中的已知条件列出方程（组），求出待定系数． （4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围． （5）解：运用函数的解析式和相关性质解决实际问题． 5.结合本章的学习，你能总结研究一类函数模型的思路和方法吗？ 预设：（1）抽象概念：从现实实例中，分析变量对应关系，抽象得到函数的定义与解析式； （2）研究图象与性质：用描点法画出函数图象，结合图象、解析式归纳函数性质； （3）模型应用：运用函数图象、性质去分析、解决现实实际问题； （4）反思检验：结合实际检验结果，体会模型观念，数形结合贯穿全过程. 考点梳理： 考点一：反比例函数的概念 例1：若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（ ） A． B．3 C．2 D． 答案：B 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 归纳：解决反比例函数概念类问题的技巧： （1）方程思想：根据反比例函数的概念或相关条件列方程，从而求出参数得到答案． （2）待定系数法：反比例函数中只含有一个参数，只要求出其图象上一个点的坐标，代入即可得到参数的值，进而求出反比例函数的解析式，解决问题． 考点二：反比例函数的图象和性质 例2：若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 答案：B 解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 归纳：反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象与性质的识记，一般离不开分类讨论和数形结合． （1）分类讨论：识记反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象和性质，往往要分k＞0和k＜0两种情况． （2）数形结合：画出反比例函数 (k为常数，k≠0)图象的草图，函数的增减性往往一目了然． 考点三：与反比例函数k有关的问题 例3：反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 答案：B 解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 归纳：在与图形面积有关的反比例函数问题中，注意将图形适当地组合或割补，尤其注意从图象上的点向坐标轴作垂线段，以便充分运用反比例函数的比例系数的几何意义解题． 考点四：反比例函数的实际应用 例4：某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（ ） A．气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B．浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C．当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D．使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 答案：C 解：A、由图3，可知气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小，A选项说法正确； B、由图3，可知浓度越大，阻值越小，由，可知阻值越小，I越大，由图2，可知随I的增大而增大，即浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大，B选项说法正确； C、由图2，可知当时，，代入，即，解得．由图3，可知当时，浓度为，C选项说法错误； D、闸刀开关被拉开时，通过控制电路中的电流I不变，根据，可知当电源电压U减小，偏小，即偏小，由图3，可知此时浓度偏大，D选项说法正确． 归纳：用反比例函数解决实际问题应注意： （1）理清题目中的常量与变量及其基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，建立反比例函数模型； （2）要分清自变量和函数，以便写出正确的函数解析式，结合问题的实际意义，确定自变量的取值范围； （3）熟练掌握反比例函数的定义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题． 考点五：反比例函数的综合应用 例5：如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 解：（1）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 归纳：反比例函数与一次函数的综合问题往往遵循以下解题思路： （1）根据已知点的坐标（或两个函数图象的交点坐标）求出两个函数的解析式； （2）根据二者的相应性质（如增减性等），结合其他数学知识解决问题．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，反比例函数上两点，的横坐标分别为m，，则的面积是______． 答案：6 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 解：（1）点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数， 令，则，解得， 故， 把，代入一次函数， 联立得， 解得， 所以一次函数； （2）一次函数的图象向上平移3个单位长度得， ， 解得或， 则平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，． 选做题： 4．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类练习】 5．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 解：（1）根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 答案：9 3．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)y与x有怎样的函数关系？ (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 解：（1）根据题意，需要结清的余款为万元， 则， 整理得，根据题干要求36个月内结清余款，因此自变量的取值范围是，且为正整数， 故与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数）. （2）把代入函数，可得， 即每月还款万元； （3）5000元万元， 令，整理得，解得：， 根据题意， ∴，因此至少需要24个月结清余款． 选做题： 4．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 答案：A 【综合拓展类作业】 5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 解：（1）∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑