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同步探究学案
课题 第25章 一元二次方程 章末复习 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．梳理本章知识框架：一元二次方程概念、四种解法、判别式、韦达定理、实际应用． 2．能根据题型灵活选择解方程方法，熟练处理含参数、几何、增长、场次综合应用题． 3．查漏补缺，纠正配方、公式计算、实际问题舍根等常见易错点，完善知识体系．
重点 构建一元二次方程知识框架，灵活选用方法解一元二次方程，掌握一元二次方程实际应用．
难点 综合运用判别式、韦达定理解决含参数问题，从复杂实际情境中建立一元二次方程模型，检验并舍去不符合实际意义的根．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．比较你学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出这些方程的一般形式吗？ 预设：一元一次方程：含有1个未知数，未知数最高次数是1； 一般形式：． 二元一次方程：含有2个未知数，未知数最高次数是1； 一般形式：． 一元二次方程：含有1个未知数，未知数最高次数是2； 一般形式：． 共同点：都属于整式方程，方程两边都是整式． 2．一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说说 “降次”在解一元二次方程中的作用吗？ 预设：一元二次方程解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 直接开平方法：适合方程可以化成形式的方程． 配方法：适用于所有一元二次方程；二次项系数为1，一次项系数为偶数时计算更简便，也是推导求根公式的工具． 公式法：适用于全部一元二次方程，先化为一般形式，代入求根公式直接计算根． 因式分解法：只适合能够把方程左边分解成两个一次因式乘积、右边为0的特殊方程，计算简便． “降次”的作用：解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次方程通过开平方、配方、因式分解，转化为两个一元一次方程，把不熟悉的二次方程，转化为我们已经会解的一元一次方程，实现化未知为已知． 3．求根公式与配方法有什么关系？如何判断一元二次方程根的情况？ 预设：关系：求根公式是通过对一元二次方程一般形式进行配方法推导得到的．先移项、二次项系数化为1，配方得到，再开平方整理，得到求根公式． 根的判别：用根的判别式判断： 当，方程有两个不相等的实数根； 当，方程有两个相等的实数根； 当，方程没有实数根． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？我们是如何得到这种关系的？ 预设：(1)根与系数关系（韦达定理，前提）： (2)两种推导途径： ①利用求根公式推导：把与直接相加、相乘，消去根号，得到根与系数的和、积关系； ②因式分解角度：若方程两根为，方程可以写成，展开之后对比等式两边多项式对应项系数，得到，． 5．你能举例说明运用一元二次方程解决实际问题的过程吗？ 预设：列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列出一元二次方程． （4）解：正确地解一元二次方程． （5）验：检验解是不是原方程的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 考点梳理： 考点一：一元二次方程及其相关概念 例1：已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 解：（1）∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 归纳：一元二次方程满足的三个条件 （1）整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2． 一元二次方程的二次项系数不为0是易考点，同时也是易错点． 考点二：一元二次方程的解法 例2：解下列方程： (1)；(2)； (3)；(4)． 解：（1）因式分解得， 则或， 解得，． （2）整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． （3）变形得， 移项得， 提取公因式得， 则或， 解得，． （4）移项得， 由平方差公式得， 整理得， 则或， 解得，． 归纳：一元二次方程解法的选择 （1）若方程符合a(x－n)2＝m(am≥0，a≠0)的形式，用直接开平方法解方程比较简单；对于一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)而言，当b＝0时，用直接开平方法求解较好． （2）对于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当c＝0时，用因式分解法比较简单． （3）对于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当a，b，c均不为0，且不易因式分解时，一般采用公式法． （4）配方法也是一种重要的解法，当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，应用此方法比较简单． 对于复杂的一元二次方程，一般不急于化为方程的一般形式，应观察其特点，看能否用直接开平方法或因式分解法；若不能，优先选取的算法依次为直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法． 考点三：一元二次方程根的判别式 例3：已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的位置如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 解：， 由数轴得，， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 归纳：一元二次方程根的判别式是判断方程的根的情况的重要工具，主要从两个方面考查： 一是利用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 二是已知一元二次方程根的情况，利用根的判别式求方程中未知系数的取值范围． 考点四：一元二次方程根与系数的关系 例4：小唯与小夏在解方程时，小唯写错了常数项，得到方程的两个根是2和，小夏写错了一次项系数，得到方程的两个根是和3，则b与c的值分别是（ ） A．2， B．2， C．，8 D．2，3 【答案】B 解：∵小唯写错常数项，一次项系数正确，方程两根为和， ∴， ∴． ∵小夏写错一次项系数，常数项正确，方程两根为和， ∴， ∴． 归纳：在实数范围内，一元二次方程根与系数的关系的四个主要应用： 一是已知方程的两个根，可写出一元二次方程； 二是已知方程的一个根，可求方程的另一个根及方程中的字母参数； 三是不解方程，直接利用两根之积与两根之和求与一元二次方程两个实数根有关的代数式的值； 四是已知与方程两个实数根有关的代数式的值，确定方程中的字母参数． 考点五：一元二次方程的实际应用 例5：某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 归纳：一元二次方程是有效刻画实际问题的一类数学模型． 在实际问题中，读懂题意、分析数量关系、建立方程模型是关键，需要注意以下三点： 一是整体地、系统地审清题意； 二是准确把握问题中的等量关系，并列方程； 三是正确求解方程，并检验解的合理性．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2．把方程化成的形式，则的值为______． 【答案】15 3．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 解：（1） ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 即：，． （2） 方程整理，得． 配方，得，即． 由此可得， ，． 选做题： 4．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 【综合拓展类练习】 5．课间同学们在教室外做游戏，他们手拉手围成一个周长为的圆，然后保持周长不变围成一个矩形． (1)他们可不可以围成一个面积为的矩形？如果不可以，请说明理由；如果可以，求出矩形的长、宽； (2)他们可不可以围成一个面积为的矩形？如果不可以，请说明理由；如果可以，求出矩形的长、宽． 解：（1）设矩形的宽为，则长为． 由题意，得， 解得，， 当时，， 当时，，宽大于长，不合题意舍去， ∴能围成一个面积为的矩形，矩形的宽为，长为． （2）不可以围成一个面积为的矩形．理由如下： 假设可以围成一个面积为的矩形，设矩形的宽为，则长为． 由题意，得， ， ， ∴原方程没有实数根， ∴不能围成一个面积为的矩形．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 2．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 【答案】 3．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 解：（1）， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． （2）， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． （3）， 因式分解，得， 即， ∴或， ∴，． 选做题： 4．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 【综合拓展类作业】 5．如图，在边长为的菱形中，，点P从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，点Q从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动．若P，Q分别从B，A同时出发，其中任意一点到达终点后，两点同时停止运动． (1)经过后， ， ； (2)经过几秒，是直角三角形 (3)经过几秒，的面积等于菱形面积的． 解：（1）设运动时间为秒， 由题意：点速度为， 因此； 菱形边长为，点从向运动、速度为， 因此，． 当时，，． 同时可确定运动总时长：到达终点仅需， 因此答案为3，6． （2）， 是直角三角形有两种情况，设运动时间为， 则，，． 分情况讨论： ①当时，， ， ， ； ②当时，， ， ， ． 综上所述，经过或时，是直角三角形． （3）如答图，过点A作于点H． ， ， ， ， ． 过点Q作于点M，连接， 设运动时间为， 则，，． ， ， ． 当的面积等于菱形面积的时，， ， ，， ∴经过或时，的面积等于菱形面积的．
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同步探究学案
课题 第25章 一元二次方程 章末复习 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．梳理本章知识框架：一元二次方程概念、四种解法、判别式、韦达定理、实际应用． 2．能根据题型灵活选择解方程方法，熟练处理含参数、几何、增长、场次综合应用题． 3．查漏补缺，纠正配方、公式计算、实际问题舍根等常见易错点，完善知识体系．
重点 构建一元二次方程知识框架，灵活选用方法解一元二次方程，掌握一元二次方程实际应用．
难点 综合运用判别式、韦达定理解决含参数问题，从复杂实际情境中建立一元二次方程模型，检验并舍去不符合实际意义的根．
探究过程
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新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．比较你学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出这些方程的一般形式吗？ 2．一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你能说说 “降次”在解一元二次方程中的作用吗？ 3．求根公式与配方法有什么关系？如何判断一元二次方程根的情况？ 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？我们是如何得到这种关系的？ 5．你能举例说明运用一元二次方程解决实际问题的过程吗？ 考点梳理： 考点一：一元二次方程及其相关概念 例1：已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 归纳：一元二次方程满足的三个条件 （1）整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2． 一元二次方程的二次项系数不为0是易考点，同时也是易错点． 考点二：一元二次方程的解法 例2：解下列方程： (1)；(2)； (3)；(4)． 归纳：一元二次方程解法的选择 （1）若方程符合a(x－n)2＝m(am≥0，a≠0)的形式，用直接开平方法解方程比较简单；对于一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)而言，当b＝0时，用直接开平方法求解较好． （2）对于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当c＝0时，用因式分解法比较简单． （3）对于一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当a，b，c均不为0，且不易因式分解时，一般采用公式法． （4）配方法也是一种重要的解法，当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，应用此方法比较简单． 对于复杂的一元二次方程，一般不急于化为方程的一般形式，应观察其特点，看能否用直接开平方法或因式分解法；若不能，优先选取的算法依次为直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法． 考点三：一元二次方程根的判别式 例3：已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的位置如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 归纳：一元二次方程根的判别式是判断方程的根的情况的重要工具，主要从两个方面考查： 一是利用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 二是已知一元二次方程根的情况，利用根的判别式求方程中未知系数的取值范围． 考点四：一元二次方程根与系数的关系 例4：小唯与小夏在解方程时，小唯写错了常数项，得到方程的两个根是2和，小夏写错了一次项系数，得到方程的两个根是和3，则b与c的值分别是（ ） A．2， B．2， C．，8 D．2，3 归纳：在实数范围内，一元二次方程根与系数的关系的四个主要应用： 一是已知方程的两个根，可写出一元二次方程； 二是已知方程的一个根，可求方程的另一个根及方程中的字母参数； 三是不解方程，直接利用两根之积与两根之和求与一元二次方程两个实数根有关的代数式的值； 四是已知与方程两个实数根有关的代数式的值，确定方程中的字母参数． 考点五：一元二次方程的实际应用 例5：某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 归纳：一元二次方程是有效刻画实际问题的一类数学模型． 在实际问题中，读懂题意、分析数量关系、建立方程模型是关键，需要注意以下三点： 一是整体地、系统地审清题意； 二是准确把握问题中的等量关系，并列方程； 三是正确求解方程，并检验解的合理性．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．把方程化成的形式，则的值为______． 3．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 选做题： 4．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【综合拓展类练习】 5．课间同学们在教室外做游戏，他们手拉手围成一个周长为的圆，然后保持周长不变围成一个矩形． (1)他们可不可以围成一个面积为的矩形？如果不可以，请说明理由；如果可以，求出矩形的长、宽； (2)他们可不可以围成一个面积为的矩形？如果不可以，请说明理由；如果可以，求出矩形的长、宽．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A．2 B．1或 C．1 D． 2．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 3．用适当的方法解下列方程： (1)；(2)；(3)． 选做题： 4．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【综合拓展类作业】 5．如图，在边长为的菱形中，，点P从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，点Q从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动．若P，Q分别从B，A同时出发，其中任意一点到达终点后，两点同时停止运动． (1)经过后， ， ； (2)经过几秒，是直角三角形 (3)经过几秒，的面积等于菱形面积的．
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