资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 第26章 二次函数 章末复习 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.梳理二次函数概念、图象、性质，巩固解析式三种形式之间的互化. 2.回顾二次函数与一元二次方程的联系，梳理实际应用模型. 3.查漏补缺，综合运用知识解决综合性问题.
重点 梳理本章知识框架；掌握三种解析式互化，综合解决二次函数综合问题.
难点 综合运用数形结合思想，解决函数、方程、实际应用的综合题.
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，列出函数解析式并画出图象． 2．结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点等，说明二次函数在什么情况下取得最大值或最小值． 3．结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的情况，说明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各种情况． 4．在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题． 5．回顾一次函数和二次函数，体会函数这种数学模型在描述现实世界运动变化中的作用． 考点梳理： 考点一：二次函数的增减性 例1：已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 归纳：根据二次函数的增减性求字母的取值范围的步骤： 第1步：根据二次函数的顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴． 第2步：明确函数在对称轴两侧的增减情况． 第3步：借助图象或性质确定字母的取值范围． 考点二：二次函数的图象 例2：在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 归纳：假设验证法判断图象的位置： 判断具有某种联系的两种函数图象在同一平面直角坐标系中的位置，常用的办法是假设其中一种图象位置正确，用另一种图象的位置进行验证，从而得出正确的结论． 考点三：二次函数图象与系数的关系 例3：如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 归纳：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，推断与a，b，c有关的式子的值的问题，通常会用到下面的思路： （1）由口诀“上正下负”“左同右异”推断a，b，c的符号． ①图象开口向上，则a＞0；开口向下，则a＜0．可简记为“上正下负”． ②抛物线与y轴交点位置可确定c的符号：抛物线与y轴交于原点时，c＝0；抛物线与y轴交于x轴上方时，c＞0；交于x轴下方时，c＜0．可简记为“上正下负”． ③由a的符号及对称轴直线x＝的位置可确定b的符号：对称轴为y轴时，b＝0；对称轴在y轴左侧，a，b同号；对称轴在y轴右侧，a，b异号．可简记为“左同右异”． （2）抛物线与x轴交点的多少确定b2－4ac的值的大小，抛物线与x轴有两个交点时，b2－4ac＞0；抛物线与x轴有唯一的交点时，b2－4ac＝0；抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac＜0． （3）结合图象，通过给x赋值，判断出函数值的正负．如分别令x＝1，－1，2，－2时相应的函数值的大小可判断形如“a＋b＋c”“a－b＋c”“4a＋2b＋c”“4a－2b＋c”等式子的正负． 考点四：二次函数图象的平移 例4：有3个二次函数，甲：；乙：；丙．嘉嘉说：甲的图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到乙的图象；淇淇说：乙的图象向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到丙的图象．下列说法正确的是（ ）． A．嘉嘉说的对，淇淇说的不对 B．嘉嘉说的不对，淇淇说的对 C．两人说的都不对 D．两人说的都对 归纳：抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”： （1）上下平移：抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h)2＋k＋m；抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h)2＋k－m． （2）左右平移：抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h＋n)2＋k；抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h－n)2＋k． 考点五：确定二次函数的解析式 例5：已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 归纳：求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数的解析式： （1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式． （2）当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k． （3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式． 考点六：二次函数与一元二次方程 例6：下列对二次函数y＝ax2－2ax＋1(a＞1)的图象与x轴交点的判断正确的是（　　）． A．没有交点 B．只有一个交点，且它位于y轴右侧 C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧 归纳：判断二次函数的图象与x轴交点个数的关键是计算b2－4ac的值，然后与0进行比较．如果二次函数的图象与x轴有两个交点，要判断这两个交点在y轴的同侧还是异侧，应通过相应一元二次方程根与系数的关系计算这两个点的横坐标的和与积，然后进行判断． 考点七：二次函数的实际应用 例7：如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 归纳：运用二次函数解决实际生活中的最值问题： （1）利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出二次函数的解析式． （2）把函数解析式转化为二次函数的顶点式． （3）根据二次函数自变量的取值范围求二次函数的最大值或最小值．若自变量的取值范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最值；若自变量的取值范围不含顶点的横坐标，则应根据函数的增减性确定最值．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B．3 C．2 D．2或 2．如图，抛物线（、为常数，）经过菱形的三个顶点、、，点是坐标原点，点在轴正半轴上，点在第二象限，若＝120°，BC=2，则的值为__________． 3．已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 选做题： 4．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x…01234…y…m32…
下列各选项中，正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D． 【综合拓展类练习】 5．潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ ） A． B． C． D． 2．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 3．已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 选做题： 4．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【综合拓展类作业】 5．小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 第26章 二次函数 章末复习 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.梳理二次函数概念、图象、性质，巩固解析式三种形式之间的互化. 2.回顾二次函数与一元二次方程的联系，梳理实际应用模型. 3.查漏补缺，综合运用知识解决综合性问题.
重点 梳理本章知识框架；掌握三种解析式互化，综合解决二次函数综合问题.
难点 综合运用数形结合思想，解决函数、方程、实际应用的综合题.
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，列出函数解析式并画出图象． 预设：如：用长为的细绳围成矩形. 解：设矩形的一边长为，矩形面积为. 矩形另一边长为，面积解析式： 这是二次函数. 图象说明： 函数图象是抛物线的一部分，自变量，只取第一象限内的一段抛物线；开口向下，对称轴直线，顶点. 当时，面积取得最大值. 2．结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点等，说明二次函数在什么情况下取得最大值或最小值． 预设：二次函数一般形式，配方得顶点式； 对称轴：，顶点坐标：. 当，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点. 当时，函数取得最小值； 在对称轴左侧（），随增大而减小； 在对称轴右侧（），随增大而增大. 当，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 当时，函数取得最大值； 在对称轴左侧（），随增大而增大； 在对称轴右侧（），随增大而减小. 注意：实际问题中，若顶点横坐标不在自变量取值范围内，则最值出现在自变量区间的端点处. 3．结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的情况，说明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各种情况． 预设：抛物线与轴交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根，用判别式判断： 抛物线与轴有两个不同公共点，方程有两个不相等的实数根； 抛物线与轴只有一个公共点（顶点在x轴上），方程有两个相等的实数根； 抛物线与轴没有公共点，方程没有实数根. 反过来也成立：由一元二次方程根的情况，也能判断抛物线与轴的交点情况. 4．在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题． 预设：(1)分析实际问题，设定自变量； (2)根据题意列出二次函数解析式，确定自变量的实际取值范围； (3)结合的正负，计算顶点，判断顶点横坐标是否在自变量取值范围内，求出最大值或者最小值； (4)回归实际问题，写出对应条件与答案. 5．回顾一次函数和二次函数，体会函数这种数学模型在描述现实世界运动变化中的作用． 预设：一次函数描述均匀变化的变量关系，随匀速增大或者减小； 二次函数描述非均匀变化的变量关系，随的变化快慢会发生改变，存在最大值或者最小值. 函数是重要数学模型：把现实世界两个变量之间的对应关系抽象成解析式，结合图象直观观察变化趋势；通过计算，可以预测变化结果，解决现实中的最优、求值问题. 研究函数遵循：现实情境抽象得到函数研究图象与性质利用函数解决实际问题，体现数形结合、数学建模的思想，帮助我们用数学眼光分析现实世界的变化规律. 考点梳理： 考点一：二次函数的增减性 例1：已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 解：二次函数的对称轴为直线， 又当时，随的增大而增大, 抛物线开口向上，即， 解得． 归纳：根据二次函数的增减性求字母的取值范围的步骤： 第1步：根据二次函数的顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴． 第2步：明确函数在对称轴两侧的增减情况． 第3步：借助图象或性质确定字母的取值范围． 考点二：二次函数的图象 例2：在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 答案：A 解：A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、三、四象限可知，， ∴． ∴b矛盾． 故A错误． B．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧可知，得； 由直线过一、二、四象限可知，， ∴． 故B正确． C．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过二、三、四象限可知，， ∴． 故C正确． D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、二、三象限可知， ， ∴． 故D正确． 归纳：假设验证法判断图象的位置： 判断具有某种联系的两种函数图象在同一平面直角坐标系中的位置，常用的办法是假设其中一种图象位置正确，用另一种图象的位置进行验证，从而得出正确的结论． 考点三：二次函数图象与系数的关系 例3：如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，①正确，②正确； ∵当时，， ∴，③正确； 当时，最大值在顶点处取得，为，最小值在离对称轴更远的端点处取得，为， ∴最大值与最小值的差，④正确； 综上4个结论全部正确，正确个数为4． 归纳：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，推断与a，b，c有关的式子的值的问题，通常会用到下面的思路： （1）由口诀“上正下负”“左同右异”推断a，b，c的符号． ①图象开口向上，则a＞0；开口向下，则a＜0．可简记为“上正下负”． ②抛物线与y轴交点位置可确定c的符号：抛物线与y轴交于原点时，c＝0；抛物线与y轴交于x轴上方时，c＞0；交于x轴下方时，c＜0．可简记为“上正下负”． ③由a的符号及对称轴直线x＝的位置可确定b的符号：对称轴为y轴时，b＝0；对称轴在y轴左侧，a，b同号；对称轴在y轴右侧，a，b异号．可简记为“左同右异”． （2）抛物线与x轴交点的多少确定b2－4ac的值的大小，抛物线与x轴有两个交点时，b2－4ac＞0；抛物线与x轴有唯一的交点时，b2－4ac＝0；抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac＜0． （3）结合图象，通过给x赋值，判断出函数值的正负．如分别令x＝1，－1，2，－2时相应的函数值的大小可判断形如“a＋b＋c”“a－b＋c”“4a＋2b＋c”“4a－2b＋c”等式子的正负． 考点四：二次函数图象的平移 例4：有3个二次函数，甲：；乙：；丙．嘉嘉说：甲的图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到乙的图象；淇淇说：乙的图象向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到丙的图象．下列说法正确的是（ ）． A．嘉嘉说的对，淇淇说的不对 B．嘉嘉说的不对，淇淇说的对 C．两人说的都不对 D．两人说的都对 答案：C 解：甲向左平移3个单位、向上平移5个单位后的函数解析式为，与乙：不符， ∴嘉嘉的说法错误； 乙向右平移6个单位、向上平移5个单位后的函数解析式为，与丙：不符， ∴淇淇的说法错误， ∴两人说的都不对， 故选：C． 归纳：抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”： （1）上下平移：抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h)2＋k＋m；抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h)2＋k－m． （2）左右平移：抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h＋n)2＋k；抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n＞0)个单位长度，得抛物线y＝a(x－h－n)2＋k． 考点五：确定二次函数的解析式 例5：已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 解：（1）把点，代入抛物线， 得， 解得， 该抛物线的解析式为． （2）由得，该抛物线的对称轴为， ， 当时，随的增大而减小， ∴x的取值范围为． 归纳：求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数的解析式： （1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式． （2）当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k． （3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式． 考点六：二次函数与一元二次方程 例6：下列对二次函数y＝ax2－2ax＋1(a＞1)的图象与x轴交点的判断正确的是（　　）． A．没有交点 B．只有一个交点，且它位于y轴右侧 C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧 答案：D 解：令y＝0，得ax2－2ax＋1＝0，∴Δ＝(－2a)2－4a＝4a(a－1)． ∵a＞1，∴4a(a－1)＞0，∴抛物线与x轴有两个交点． 设两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2＞0，x1x2＝＞0． ∴x1＞0，x2＞0． ∴二次函数的图象与x轴有两个交点且均位于y轴右侧． 归纳：判断二次函数的图象与x轴交点个数的关键是计算b2－4ac的值，然后与0进行比较．如果二次函数的图象与x轴有两个交点，要判断这两个交点在y轴的同侧还是异侧，应通过相应一元二次方程根与系数的关系计算这两个点的横坐标的和与积，然后进行判断． 考点七：二次函数的实际应用 例7：如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 解：（1）如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）对于， 当时，， 解得：， 此时水面的宽度是米； （3）∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 归纳：运用二次函数解决实际生活中的最值问题： （1）利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出二次函数的解析式． （2）把函数解析式转化为二次函数的顶点式． （3）根据二次函数自变量的取值范围求二次函数的最大值或最小值．若自变量的取值范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最值；若自变量的取值范围不含顶点的横坐标，则应根据函数的增减性确定最值．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B．3 C．2 D．2或 答案：C 2．如图，抛物线（、为常数，）经过菱形的三个顶点、、，点是坐标原点，点在轴正半轴上，点在第二象限，若＝120°，BC=2，则的值为__________． 答案： 3．已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 解：（1）∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； （2）点不在抛物线上，理由如下： 将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 选做题： 4．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值： x…01234…y…m32…
下列各选项中，正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）降价后每盒的利润为元，每天的销售量为盒． 由题意，． 又且， ∴． （2） ． ∵， ∴抛物线开口向下，当时y有最大值576． 答：当每盒降价4元时，每天的销售利润最大，最大利润为576元．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 答案： 3．已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 解：（1）∵抛物线经过点及轴正半轴一点，且． ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把，，代入， 得， 解得， ∴； （2）， ∴抛物线顶点坐标为， （3）由（1）得， 依题意，设直线解析式为， 把，代入， 得， ∴， ∴直线解析式为． 选做题： 4．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 【综合拓展类作业】 5．小明和小陈两人周末去打羽毛球，羽毛球的飞行路线可视为抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，小明在点正上方的处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网． 解：（1）由题意知，抛物线的顶点为，且经过点， 设抛物线表达式为， 将代入得， 即， 解得， 抛物线表达式为． （2）当时， ， ， ， ， 此球能过网．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑