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与圆有关的最值与取值范围问题
知识梳理
1、极化恒等式与中线长定理
极化恒等式：在 中， 为 的中点，则
证明：
所以
故
这就是极化恒等式：两条边的数量积，等于中线长的平方减去半底边长的平方.
中线长定理：
两式相加，含 的项一正一负相消：
即两边长的平方和，等于中线长平方的 倍加上底边平方的一半.
2、切线长公式与切点弦
设 在圆外（），、 为过 的两条切线，、 为切点， 为圆心.
切线长公式：
切点弦方程：圆 ， 在圆外，则切点 、 所在直线的方程为
题型一　圆上的点到定点的距离最值
求圆上动点到定点的距离 → 先算圆心到该定点的距离 d，最大值 d+r、最小值 |d r| → 由三角不等式，P、圆心与该定点共线时取到等号.
条件是垂直、定比、距离平方和这类轨迹条件 → 先把动点轨迹求成圆（直径圆、阿波罗尼斯圆等），再套上一条的距离结论 → 由直径所对圆周角、两点距离公式整理保证轨迹是圆.
例 、已知两定点 A( 2,0)，B(1,0)，动点 P 满足 ，点 Q 是圆 上的动点，则 的最大值为( )
A．　 B．　 C．　 D．
解：设 P(x,y)，把 两边平方，得 ，
展开整理为 ，配方得 ，
即 P 在以 为圆心、2 为半径的圆上运动（定比不为 1 时轨迹为阿波罗尼斯圆，由两点距离公式平方整理即得）.
点 Q 在圆 上，圆心 ，半径 ，故两圆圆心距 .由两圆上各取一个动点的距离结论，，等号当 P、、、Q 依次共线且各取外侧点时取到，所以 ，选 B.
1、已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2、已知,点M满足，则的可能取值是( )
A．4 B． C．1 D．
3、在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为( )
A．34 B．40 C．44 D．48
4、已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是( )
A． B． C． D．
5、已知直线过定点，直线过定点，直线与直线的交点为，则的最大值为( )
A． B． C． D．
题型二　圆上的点到直线的距离最值
目标是圆上的点到定直线的距离 → 求圆心到直线的距离 d，相交时取 、相离时取 .
直线方程含参数、可整理成「参数×式 ＋式 」 → 先求定点，圆心到直线的距离不超过圆心到定点的距离 → 由垂线段最短，直线与连线垂直时取到等号.
例 、已知圆 C：，直线 ，则圆心 C 到直线 l 的最大距离为______，圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为______．
解：圆的方程配方得 ，圆心 ，半径 .
把直线整理为 ，可见 l 恒过定点 .
圆心 C 到 l 的距离 ，当且仅当 （即直线 ）时取到 ，故圆心 C 到直线 l 的最大距离为 1.
圆 C 上的点到 l 的距离，最大者出现在过圆心垂直于 l 的直径远离 l 的一端，其值为 （圆心另一侧端点给出 ），故所求最大值为 ；此时 l 与圆相交，最小值为 0.
1、点在圆上运动，则的取值范围( )
A． B． C． D．
2、已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______.
3、对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为______.
4、已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____.
题型三　圆的切线长与切点弦的最值
目标是切线长或切点弦长 → 两者都只由 |PC| 决定，且随 |PC| 增大而增大（切线长公式、切点弦长公式）→ 化为求 |PC| 的最值，P 在定直线上时即圆心到直线的距离.
例 、从直线 上任意一点 P 作圆 的两条切线，切点为 A、B，求弦 AB 长度的最小值．
解：直线 l 化为 ，圆心 O 到 l 的距离 （半径），故 l 与圆相离，P 恒在圆外，两条切线总存在.设 AB 交 OP 于 H，由切点弦的相似关系得 ，则 ；r 定值，|OP| 越小则 越大、|AB| 越小，故 |OP| 最小时弦最短.
此时 等于圆心到直线的距离 （P 为垂足 ），故 ，，即弦 AB 长度的最小值为 .
1、已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为( )
A． B． C．1 D．
2、已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
3、若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为_____.
题型四　过圆内定点的弦长最值
直线过圆内定点 M → 最长弦是过 M 的直径，最短弦与 CM 垂直、长
例 、已知点 在圆 内，求过点 M 的最长弦与最短弦所在的直线方程，并求最短弦长．
解：圆配方得 ，圆心 ，半径 ，，M 在圆内.
由弦长公式 ，弦长随圆心到弦的距离 d 增大而减小：最长弦取 ，即过 M 的直径所在直线 CM.，由点斜式得 ，即 ，弦长 .
最短弦对应 d 最大， 且等号当且仅当 弦，故最短弦过 M 且垂直于 CM，斜率 ，由点斜式得 ，弦长 .
1、已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为( )
A．2 B． C．4 D．
2、已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为( )
A．4 B．2 C．6 D．
3、已知圆，直线，当圆截直线所得的弦最短时，的值为( )
A．2 B． C． D．-2
题型五　代数式的几何意义最值
目标是 型分式 → 看作圆上点与 连线的斜率，设 ，由圆心距不大于半径解 k → 分界为两条切线.
目标是 型 → 看作平行直线族 的参数，相切取最值 → 由圆心距不超过 r 得 .
目标是 或其平方 → 看作圆上点到定点的距离 →最小 、最大 ，平方型端点直接平方.
例 、已知实数 x，y 满足 ，求 的最大值与 的取值范围．
解：配方得 ，圆心 ，半径 .
先求斜率型 ：即圆上点与原点连线的斜率，原点在圆外（）.
设直线 ，与圆有公共点，即圆心到直线距离不大于半径：，平方整理为 ，解得 ；竖直直线 到圆心距离 2>1，与圆无交，故 的最大值为 .
再求距离型 ：即圆上点到直线 的距离.圆心到直线距离 ，相离，距离范围为 .
1、已知实数满足方程，求的最大值和最小值( )
A． B． C． D．
2、实数x，y满足，则的最大值为( )
A． B． C． D．0
3、已知是圆上任意一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
4、已知点在曲线上，则的最大值是( )
A．6 B．25 C．26 D．36
5、已知实数x，y满足方程，则的最小值是________．
6、实数x，y满足，则的最大值是__________．
题型六　半圆上的最值
曲线配方后带 y≤0 或 x≥0 的范围限制，是半圆 → 先在整圆上求候选（斜率型化作切线、|ax+by+c| 型化作点到直线的距离），再检验候选点是否落在弧上 → 由弧是圆的子集，最值只能取自整圆候选点或弧端点.
例 、设点 是曲线 上的任意一点，则 的最小值为( )
A．2　B．　C．　D．0
解：曲线平方配方得 且 ，是圆心 、半径 2 的下半圆，含端点 、
表示半圆上的点与 连线的斜率，，Q 在圆外.
再对整圆求候选：设过 Q 的切线 ，由圆心到切线距离等于半径得 ，平方整理为 ，解得 或 ，即整圆上斜率范围是
的切点 纵坐标为负，在弧上，为弧上最大斜率； 的切点 不在弧上，故最小值只能在端点产生.两端点斜率 与 ，故最小值为 ，选 B.
1、已知点为半圆上一动点，则的最大值为( )
A． B． C． D．
2、若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
3、已知点在曲线上，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4、点在曲线上，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
题型七　面积型最值
三角形一边固定、第三顶点在圆上 → 面积＝×定底×高，转化为圆上点到定直线的距离 → 由距离范围 （相交时下端为 0）乘定底的一半得面积范围.
目标是两切线围成的四边形面积 → 由切线长公式得 ，随 |PC| 增大而增大 → P 在定直线上时，取圆心到直线的距离作 ，此时该四边形面积最小.
例 、已知圆 C：，直线 ，M 为 l 上的动点，过 M 作圆 C 的两条切线 MA、MB（A、B 为切点）．当四边形 MACB 的面积最小时，求直线 AB 的方程．
解：圆配方得 ，圆心 ，半径 .圆心到 l 的距离为 ，l 与圆相离，M 恒在圆外，两条切线存在.
四边形 MACB 由两个全等直角三角形拼成， 随 减小而减小（r 定值），故 取圆心到直线的距离 时面积最小，M 为垂足.过 C 垂直于 l 的直线 代入 l 得 ，，垂足 .
把 代入切点弦方程 ，得 ，整理为 ，即所求直线 AB 的方程.
1、已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为( )
A． B． C． D．
2、直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
3、直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
题型八　数量积型最值
两向量同起点、起点在圆上的 → 用极化恒等式化为中点距离平方减半弦平方 → 由圆上点到定点的距离范围取两端.
例 、已知圆 ，直线 与圆 交于 、 两点，点 是圆 上的动点，则 的最小值为( )
A．　 B．　 C．　 D．
解：圆 的圆心为 ，半径 ；圆心 到直线 的距离 ，故 与圆 相交.设 、 的中点为 ，则 是圆心 在 上的垂足，，.
由极化恒等式，，即数量积的最小值转化为「圆上点到定点 的距离平方的最小值」.
点 在圆 上， 在圆内，故 的最小值为 ，当且仅当 、、 依次共线时取到，等号可取.
故 的最小值为 ，选 B.
1、直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为( )
A． B． C． D．
2、已知圆C：，圆心为O，直线与C交于A，B两点，则的最小值为( )
A． B． C．11 D．9
3、已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
4、已知直线与圆相交于两点，则的最小值为( )
A． B．2 C．4 D．
题型九　角度型最值
两切线夹角或圆外一点对圆的张角 → 用 化为求 最值 → 越小张角越大，P 在定直线上时最小值为圆心到直线距离.
题设「圆上存在点使某角为定值」→ 转化为两圆有公共点或距离不等式 → 由 列不等式解参数.
例 、已知点 是直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、，则 的最大值为( )
A．　 B．　 C．　 D．
解：由切线的性质，，在 中 ，且由轴对称 ，故 最大等价于 最小.
圆心 到直线 的距离 ，故 与圆 相离， 恒在圆外，两条切线总存在； 的最小值即圆心到直线 的距离 ，在 为 在 上的垂足时取到.
此时 ，且 为锐角，故 ，从而 ，选 C.
1、已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为( )
A． B． C． D．
2、已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
3、已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得 ，则m的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4、设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是( )
A．1 B． C．2 D．4
5、已知点是圆上的动点，点，则的最大值是( )
A． B． C． D．
6、已知圆：与直线：（），过上任意一点向圆引切线，切点为，，若的最小值为，则实数的值为( )
A． B． C． D．
7、在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，______.
8、若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____．
题型十　利用对称性求最值
求 的最小值、A 与 B 在定直线同侧 → 作对称点化为异侧再连直线 → 由两点之间线段最短，交点处取到；动点在圆上时先化到圆心再减半径.
求 的最大值 → 先用对称把两点移到同侧，再连直线取与定直线的交点 → 由三角形两边之差小于第三边，三点共线时取到.
例 、设圆 与圆 ，点 A、B 分别是 、 上的动点，M 为直线 上的动点，则 的最小值为( )
A．　B．　C．　D．
解：配方得 、，圆心 、，半径 2、5.
两圆心到 的距离 、（点线距离），故 M 在两圆外：，，相加得 ，等号当 A、B 为 、 与圆的靠近交点.
两圆心在 同侧（ 为 7、8），作 关于 的对称点 ，则 ， 与 异侧.由两点之间线段最短，，等号当 M 为线段 与 的交点；前证 M 在两圆外，等号可取.故最小值 ，选 B.
1、若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为( ).
A．12 B．9 C．6 D．
2、已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
3、已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是( )
A． B． C． D．
4、已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为__________.
课后作业
1、若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
2、已知实数满足方程，则( )
A．的最小值为 B．的范围是
C．的最小值为-20 D．的最大值为
3、（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则( )
A．可以是等边三角形 B．直线过定点
C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为
4、（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是( )
A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为
C．直线过定点 D．的最小值为
5、（多选）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则( )
A．存在以为直径的圆与相切 B．
C． D．
6、（多选）已知两条直线和交于点，则( )
A．直线必过点
B．点在圆上
C．点到直线距离最小值为
D．点的轨迹与圆有三条公切线
7、（多选）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则( )
A．圆上的点到直线的最大距离为
B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为8
D．当点坐标为时，直线的方程为
8、（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是( )
A．点到曲线C上任意点距离最大为7 B．的最大值是 3
C．的最小值是 D．的取值范围是
9、（多选）已知实数，满足方程，则下列说法正确的是( )
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
10、过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
11、已知圆，点为直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为( )
A． B． C． D．
12、已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，________．
13、已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为( )
A． B． C． D．
14、已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
15、已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
1与圆有关的最值与取值范围问题
知识梳理
1、极化恒等式与中线长定理
→ → → 2 1
极化恒等式：在 △ 中， 为 的中点，则 = | | | |2.
4
→ → → → → → → →
证明： = + , = + = .
→ → → → → → → 2 → → → → → 2
所以 = ( + ) ( ) = | | + | | ,
→ → → 2 → 2 → 2 1
故 = | | | | = | | | |2.
4
这就是极化恒等式：两条边的数量积，等于中线长的平方减去半底边长的平方.
→ 2 → 2 → 2 1
中线长定理：| |2 + | |2 = 2 | | + 2 | | = 2 | | + | |2,
2
→ 2 → → → 2 → 2 → → → 2
| |2 = | | + 2 + | | , | |2 = | | 2 + | | .
→ →
两式相加，含 的项一正一负相消：
即两边长的平方和，等于中线长平方的 2 倍加上底边平方的一半.
2、切线长公式与切点弦
设 在圆外（| | > ）， 、 为过 的两条切线， 、 为切点， 为圆心.
切线长公式：| | = √| |2 2.
切点弦方程：圆 ( )2 + ( )2 = 2， ( 0, 0) 在圆外，则切点 、 所在直线的
方程为( 0 )( ) + ( 0 )( ) =
2.
1
题型一 圆上的点到定点的距离最值
求圆上动点到定点的距离 → 先算圆心到该定点的距离 d，最大值 d+r、最小值 |d r| → 由
三角不等式，P、圆心与该定点共线时取到等号.
条件是垂直、定比、距离平方和这类轨迹条件 → 先把动点轨迹求成圆（直径圆、阿波罗
尼斯圆等），再套上一条的距离结论 → 由直径所对圆周角、两点距离公式整理保证轨迹是圆.
例 、已知两定点 A( 2,0)，B(1,0)，动点 P 满足 | | = 2| |，点 Q 是圆 ( 2)2 + (
3)2 = 3 上的动点，则 | | 的最大值为( )
A．5 √3 B．5 + √3 C．3 + 2√3 D．3 2√3
解：设 P(x,y)，把 | | = 2| | 两边平方，得 ( + 2)2 + 2 = 4[( 1)2 + 2]，
展开整理为 3 2 12 + 3 2 = 0，配方得 ( 2)2 + 2 = 4，
即 P 在以 1(2,0) 为圆心、2 为半径的圆上运动（定比不为 1 时轨迹为阿波罗尼斯圆，由
两点距离公式平方整理即得）.
点 Q 在圆 ( 2)2 + ( 3)2 = 3 上，圆心 2(2,3)，半径 √3，故两圆圆心距 | 1 2| = 3.
由两圆上各取一个动点的距离结论，| | ≤ | 1| + | 1 2| + | 2 |，等号当 P、 1、 2、Q 依
次共线且各取外侧点时取到，所以 | | = 3 + 2 + √3 = 5 + √3，选 B.
2
1、已知点 (2,4), (4,4),动点 满足 ⊥ ,则| |( 为坐标原点)的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
→ →
2、已知 (1,0), (0,1), (0,3),点 M满足 = 0，则| |的可能取值是( )
1
A．4 B．√2 C．1 D．
2
3、在平面直角坐标系 中，已知 ( 3,0), (1,0), 为圆 : ( 3)2 + ( 3)2 = 1上动点，
则| |2 + | |2的最小值为( )
A．34 B．40 C．44 D．48
4、已知点 是直线 1: 5 + 1 = 0和 2: + 5 1 = 0的交点，点 是圆
: ( + 1)2 + 2 = 1上的动点，则| |的最大值是( )
A．8 + 2√2 B．7 + 2√3 C．6 + 2√3 D．6 + 2√2
5、已知直线 1: + 3 4 = 0过定点 ，直线 2: + 8 6 = 0过定点 ，直线
1与直线 2的交点为 ，则| | + | |的最大值为( )
A．4√2 B．4√3 C．5√2 D．8
3
题型二 圆上的点到直线的距离最值
目标是圆上的点到定直线的距离 → 求圆心到直线的距离 d，相交时取 [0, + ]、相离
时取 [ , + ] .
直线方程含参数、可整理成「参数×式 ＋式 」 → 先求定点，圆心到直线的距离不超过
圆心到定点的距离 → 由垂线段最短，直线与连线垂直时取到等号.
例 、已知圆 C： 2 + 2 4 = 0，直线 : + 1 2 = 0 ( ∈ )，则圆心 C 到直
线 l 的最大距离为______，圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为______．
解：圆的方程配方得 ( 2)2 + 2 = 4，圆心 (2,0)，半径 = 2.
把直线整理为 ( 2) ( 1) = 0，可见 l 恒过定点 (2,1).
| (2 2) (0 1)| 1
圆心 C 到 l 的距离 = = ≤ 1，当且仅当 = 0（即直线 = 1）时取
√ 2+1 √ 2+1
到 = 1，故圆心 C 到直线 l 的最大距离为 1.
圆 C 上的点到 l 的距离，最大者出现在过圆心垂直于 l 的直径远离 l 的一端，其值为 +
（圆心另一侧端点给出 ），故所求最大值为 1 + 2 = 3；此时 l 与圆相交，最小值为 0.
1、点 ( , )在圆 2 + 2 = 2上运动，则| +3|的取值范围( )
A．[0, 1] B．[0, 4] C．[1, 5] D．[1, 4]
2、已知直线 : (2 1) ( + 1) + + 4 = 0，点 P是圆 2 + 2 + 2 8 + 16 = 0上一
点，则点 P到直线 l的距离的取值范围为______.
3、对任意的实数 ， 圆 : 2 + 2 = 1上一点到直线(2 + ) (1 + ) 2(3 + 2 ) = 0的距
离 的取值范围为______.
4
4、已知圆 : ( 2)2 + ( + 1)2 = 9，直线 : + 3 2 = 0.设 为圆 上的一动点，则
到直线 的最大距离为____.
题型三 圆的切线长与切点弦的最值
目标是切线长或切点弦长 → 两者都只由 |PC| 决定，且随 |PC| 增大而增大（切线长公式、
切点弦长公式）→ 化为求 |PC| 的最值，P 在定直线上时即圆心到直线的距离.

例 、从直线 : + = 1 上任意一点 P 作圆 : 2 + 2 = 8 的两条切线，切点为 A、B，
8 4
求弦 AB 长度的最小值．
8
解：直线 l 化为 + 2 8 = 0，圆心 O 到 l 的距离 > 2√2（半径），故 l 与圆相离，
√5
2
P 恒在圆外，两条切线总存在.设 AB 交 OP 于 H，由切点弦的相似关系得 | | = ，则
| |
| | = 2√ 2 | |2；r 定值，|OP| 越小则 | | 越大、|AB| 越小，故 |OP| 最小时弦最短.
8√5 8 16 8
此时 | | 等于圆心到直线的距离 （P 为垂足 ( , )），故 | | = = √5，
5 5 5 8√5/5
| | = 2√8 5 = 2√3，即弦 AB 长度的最小值为 2√3.
1、已知点 为直线 : + + 4 = 0上的动点，过点 作⊙ : 2 + 2 = 4的切线，切点分别为
→ →
, ，则当| |最小时， , 的值为( )
√3 √6 √3
A． B． C．1 D．
2 3 2
2、已知圆 : ( 2)2 + ( 2)2 = 8，直线 : + = 10，过直线 上一动点 作圆 的两条切
线，切点记作 ， ，则| |的最小值为( )
2√3 4√3 2√10 4√10
A． B． C． D．
3 3 3 3
5
3、若圆 : 2 + 2 2 2 7 = 0关于直线 + + 3 = 0对称，由点 ( , )向圆 作切
线，切点为 ，则线段 的最小值为_____.
题型四 过圆内定点的弦长最值
直线过圆内定点 M → 最长弦是过 M 的直径，最短弦与 CM 垂直、长 2√ 2 | |2
例 、已知点 (3,0) 在圆 2 + 2 8 4 + 10 = 0 内，求过点 M 的最长弦与最短弦
所在的直线方程，并求最短弦长．
解：圆配方得 ( 4)2 + ( 2)2 = 10，圆心 (4,2)，半径 √10，| | =
√(4 3)2 + 22 = √5 < √10，M 在圆内.
由弦长公式 2√ 2 2，弦长随圆心到弦的距离 d 增大而减小：最长弦取 = 0，即过 M
2 0
的直径所在直线 CM. = = 2，由点斜式得 = 2( 3)，即 2 6 = 0，弦长 4 3
2√10.
最短弦对应 d 最大， ≤ | | 且等号当且仅当 弦，故最短弦过 M 且垂直于 CM，
1
斜率 ，由点斜式得 + 2 3 = 0，弦长 2√ 2 | |2 = 2√10 5 = 2√5.
2
1、已知直线 : + 2 + = 0与圆 : 2 + 2 2 7 = 0相交于 、 两点，则| |的
最小值为( )
A．2 B．2√2 C．4 D．4√2
2、已知圆 : 2 + 2 4 2 4 = 0，直线 : + 3 = 0，则直线与圆相交弦长
的最小值为( )
A．4 B．2 C．6 D．2√2
6
3、已知圆 : ( 4)2 + 2 = 9，直线 : = ( 5) + 2，当圆 截直线 所得的弦 最短时，
的值为( )
1 1
A．2 B． C． D．-2
2 2
题型五 代数式的几何意义最值

目标是 型分式 → 看作圆上点与 ( , ) 连线的斜率，设 = ( )，由圆心距

不大于半径解 k → 分界为两条切线.
目标是 + 型 → 看作平行直线族 + = 的参数，相切取最值 → 由圆心距不超
过 r 得 | ( 2 2 + )| ≤ √ + .
目标是 √( )2 + ( )2 或其平方 → 看作圆上点到定点的距离 →最小 || | |、
最大 | | + ，平方型端点直接平方.
|3 +4 +5|
例 、已知实数 x，y 满足 2 + 2 4 2 + 4 = 0，求 的最大值与 的取值
5
范围．
解：配方得 ( 2)2 + ( 1)2 = 1，圆心 (2,1)，半径 = 1.

先求斜率型 ：即圆上点与原点连线的斜率，原点在圆外（| | = √5 > 1）.

|2 1|
设直线 = 0，与圆有公共点，即圆心到直线距离不大于半径： ≤ 1，平方整
√ 2+1
4
理为 3 2 4 ≤ 0，解得 0 ≤ ≤ ；竖直直线 = 0 到圆心距离 2>1，与圆无交，故 的最
3
4
大值为 .
3
|3 +4 +5|
再求距离型 ：即圆上点到直线 3 + 4 + 5 = 0 的距离.圆心到直线距离 =
5
|6+4+5|
= 3 > ，相离，距离范围为 [ , + ] = [2,4].
5
7

1、已知实数 , 满足方程 2 + 2 4 + 1 = 0，求 的最大值和最小值( )

A．2,0 B．√3, 0 C．√3, √3 D．2, √3
+1
2、实数 x，y满足 2 + 2 6 4 + 4 = 0，则 的最大值为( )
+2
15 16+3√23
A． B．3 + 2√2 C． D．0
8 7
1
3、已知 ( 2 20, 0)是圆 : + 2 4 + 4 = 0上任意一点，则
0 的最小值为( )
0 4
4 3 3 4
A． B． C． D．
3 4 4 3
4、已知点( , )在曲线( 2)2 + 2 = 1上，则√( 5)2 + ( + 4)2的最大值是( )
A．6 B．25 C．26 D．36
5、已知实数 x，y满足方程 2 + 2 4 4 + 7 = 0，则 的最小值是________．
8
6、实数 x，y满足 2 + 2 2 + 4 = 0，则 2 的最大值是__________．
题型六 半圆上的最值
曲线配方后带 y≤0 或 x≥0 的范围限制，是半圆 → 先在整圆上求候选（斜率型化作切线、
|ax+by+c| 型化作点到直线的距离），再检验候选点是否落在弧上 → 由弧是圆的子集，最值
只能取自整圆候选点或弧端点.
2
例 、设点 ( , ) 是曲线 = √4 ( 1)2 上的任意一点，则 的最小值为( )
4
2 12
A．2 B． C． D．0
5 5
解：曲线平方配方得 ( 1)2 + 2 = 4 且 ≤ 0，是圆心 (1,0)、半径 2 的下半圆，含
端点 ( 1,0)、(3, 0).
2
表示半圆上的点与 (4,2) 连线的斜率，| | = √13 > 2，Q 在圆外.
4
9
再对整圆求候选：设过 Q 的切线 2 = ( 4)，由圆心到切线距离等于半径得
|2 3 | 12 12
= 2，平方整理为 5 2 12 = 0，解得 = 0 或 = ，即整圆上斜率范围是 [0, ].
√ 2+1 5 5
12 37 10
= 的切点 ( , ) 纵坐标为负，在弧上，为弧上最大斜率； = 0 的切点 (1, 2) 不
5 13 13
0 2 2 0 2 2
在弧上，故最小值只能在端点产生.两端点斜率 = 与 = 2，故最小值为 ，选 B.
1 4 5 3 4 5
+ 1
1、已知点 ( , )为半圆 : ( 2)2 + ( 1)2 = 1( ≥ 1)上一动点，则 的最大值为( )

1 √3
A．√3 + 1 B．√3 + C．√3 D． + 1
3 3
2、若直线 : = ( + 1) 4与曲线 = 1 √4 2有两个交点，则实数 的取值范围是( )
3 3
A．( , +∞) B．[ , 1] C．[3, +∞) D．(0,3]
4 4
3、已知点 ( , )在曲线 : = √4 2上，则|4 3 +10|的取值范围是( )
A．[10, 26] B．[8, 26] C．[10, 28] D．[8, 28]
4、点( , )在曲线 = √4 2 2上，则|4 3 +5|的取值范围为( )
1 19
A．[ , ] B． [1, 19] C． [3, 19] D． [1, 21]
5 5
10
题型七 面积型最值
1
三角形一边固定、第三顶点在圆上 → 面积＝ ×定底×高，转化为圆上点到定直线的距离
2
→ 由距离范围 [| |, + ]（相交时下端为 0）乘定底的一半得面积范围.
目标是两切线围成的四边形面积 → 由切线长公式得 = √| |2 2，随 |PC| 增大而增
大 → P 在定直线上时，取圆心到直线的距离作 | |，此时该四边形面积最小.
例 、已知圆 C： 2 + 2 2 2 2 = 0，直线 : + 2 + 2 = 0，M 为 l 上的动点，
过 M 作圆 C 的两条切线 MA、MB（A、B 为切点）．当四边形 MACB 的面积最小时，求直线
AB 的方程．
解：圆配方得 ( 1)2 + ( 1)2 = 4，圆心 (1,1)，半径 = 2.圆心到 l 的距离为
|1+2+2|
= √5 > 2，l 与圆相离，M 恒在圆外，两条切线存在.
√5
四边形 MACB 由两个全等直角三角形拼成， = √| |2 2 随 | | 减小而减小（r 定
值），故 | | 取圆心到直线的距离 √5 时面积最小，M 为垂足.过 C 垂直于 l 的直线 ( , ) =
(1 + , 1 + 2 ) 代入 l 得 5 + 5 = 0， = 1，垂足 (0, 1).
把 (0, 1) 代入切点弦方程 ( 0 1)( 1) + ( 0 1)( 1) = 4，得 ( 1)
2( 1) = 4，整理为 + 2 + 1 = 0，即所求直线 AB 的方程.
1、已知点 P是直线 : 3 + 4 7 = 0上的动点，过点 P作圆 : ( + 1)2 + 2 = 3的两条切线，
切点分别为 M，N，则四边形 的面积的最小值为( )
√3
A．√3 B． C．2 D．1
2
2、直线 + + 4 = 0分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 2 + ( 2)2 = 2上，则△
面积的取值范围是( )
A．[2, 6] B．[4, 8] C．[8, 16] D．[4√2, 8√2]
11
3、直线 + 2 = 0分别与 轴， 轴交于 A，B两点，点 在圆( + 4)2 + 2 = 2上，则△
面积的取值范围是( )
A．[2, 6] B．[4, 8] C．[√2, 3√2] D．[2√2, 3√2]
题型八 数量积型最值
→ →
两向量同起点、起点在圆上的 → 用极化恒等式化为中点距离平方减半弦平方 →
由圆上点到定点的距离范围取两端.
例 、已知圆 : 2 + 2 = 16，直线 : 3 + 4 15 = 0 与圆 交于 、 两点，点 是
→ →
圆 上的动点，则 的最小值为( )
A． 27 B． 6 C．1 D．42
|3×0+4×0 15|
解：圆 的圆心为 (0,0)，半径 = 4；圆心 到直线 的距离 = = 3 <
√32+42
4，故 与圆 相交.设 、 的中点为 ，则 是圆心 在 上的垂足，| | = 3，| | =
2√ 2 2 = 2√7.
→ → 1
由极化恒等式， = | |2 | |2 = | |2 7，即数量积的最小值转化为「圆
4
上点到定点 的距离平方的最小值」.
点 在圆 上， 在圆内，故 | | 的最小值为 | | = 4 3 = 1，当且仅当 、 、
依次共线时取到，等号可取.
→ →
故 的最小值为 12 7 = 6，选 B.
12
1、直线 与圆 : 2 + 2 6 2 + 6 = 0交于 ， 两点，且△ 的面积为 2，已知 是圆
→ →
上的动点，则 的最大值为( )
A．2 + 2√2 B．2 + 4√2 C．4 + 2√2 D．4 + 4√2
2、已知圆 C： 2 + 2 = 4，圆心为 O，直线2 + = 0与 C交于 A，B两点，则
→ →
的最小值为( )
11 9
A． B． C．11 D．9
2 2
3、已知 , 为圆 : 2 + 2 2 4 = 0上的两个动点，且| | = 4，点 为直线 : + +
→ →
1 = 0上的动点，则 的最小值为( )
A．2√2 √5 B．2√2 + √5 C．5 4√2 D．5 + 4√2
→
4、已知直线 + 2 + 1 = 0与圆 : ( + 1)2 + ( 2)2 = 4相交于 , 两点，则
→
的最小值为( )
A．√2 B．2 C．4 D．2√2
13
题型九 角度型最值

两切线夹角或圆外一点对圆的张角 → 用 sin∠ = 化为求 | | 最值 → 越小张角越
| |
大，P 在定直线上时最小值为圆心到直线距离.
题设「圆上存在点使某角为定值」→ 转化为两圆有公共点或距离不等式 → 由 | 1 2| ≤
≤ 1 + 2 列不等式解参数.
例 、已知点 是直线 : 4 3 11 = 0 上一点，过点 作圆 : ( 1)2 + ( 1)2 =
1 的两条切线，切点分别为 、 ，则 ∠ 的最大值为( )

A． B． C． D．
6 4 3 2
| | 1
解：由切线的性质， ，在 △ 中 sin∠ = = ，且由轴对称
| | | |
∠ = 2∠ ，故 ∠ 最大等价于 | | 最小.
|4×1 3×1 11| 10
圆心 (1,1) 到直线 的距离 = = = 2 > 1，故 与圆 相离， 恒在圆
√42+( 3)2 5
外，两条切线总存在；| | 的最小值即圆心到直线 的距离 2，在 为 在 上的垂足时取
到.
1
此时 sin∠ = ，且 ∠ 为锐角，故 ∠ = ，从而 ∠ = 2 × = ，选 C.
2 6 6 3
1、已知点 P是直线 : + + 1 = 0上一点，过点 P作圆 : ( 5)2 + 2 = 1的两条切线，切
点分别为 A，B，则 ∠ 的最小值为( )
√2 2√2 7 8
A． B． C． D．
6 3 8 9
2、已知圆 : 2 + 2 + 2 = 0，点 为直线2 + 2 = 0上的一点，过 作圆 的切线，切点
分别为 , ，则 ∠ 的最小值为( )
4√5 3 4√5 3
A． B． C． D．
5 8 5 8
14
3、已知圆 : ( 4)2 + ( 3)2 = 1和两点 ( , 0)， ( , 0)（ > 0）.若圆 C上存点 P，
使得∠ = 90°，则 m的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4、设点 ( 0, 1)，若在圆 : ( 1)
2 + 2 = 1上存在点 ，使得∠ = 45°，则 0的最大值
是( )
A．1 B．√2 C．2 D．4
5、已知点 是圆 : 2 + 2 = 2上的动点，点 (1,0)，则∠ 的最大值是( )

A． B． C． D．
6 4 3 2
6、已知圆 ： 2 + 2 4 + 2 + 4 = 0与直线 ： + + 1 = 0（ ≠ 0），过 上任
2
意一点 向圆 引切线，切点为 ， ，若∠ 的最小值为 ，则实数 的值为( )
3
12 7 7 12
A． B． C． D．
5 5 5 5
7、在平面直角坐标系中， 为坐标原点， (1,0)， (4,0)，动点 满足| | = 2| |.当∠
取最大值时，| | =______.
15
8、若点 是圆 : 2 + 2 4 = 0 上的任一点，直线 : = 2 与 轴， 轴分别相交于
, 两点，则∠ 最小值为_____．
题型十 利用对称性求最值
求 | | + | | 的最小值、A 与 B 在定直线同侧 → 作对称点化为异侧再连直线 → 由两
点之间线段最短，交点处取到；动点在圆上时先化到圆心再减半径.
求 || | | || 的最大值 → 先用对称把两点移到同侧，再连直线取与定直线的交点 →
由三角形两边之差小于第三边，三点共线时取到.
例 、设圆 : 2 + 21 10 + 4 + 25 = 0 与圆
2 2
2: + 14 + 2 + 25 = 0，点 A、
B 分别是 1、 2 上的动点，M 为直线 = 上的动点，则 | | + | | 的最小值为( )
A．3√15 7 B．3√13 7 C．5√2 4 D．5√3 4
解：配方得 ( 5)2 + ( + 2)2 = 4、( 7)2 + ( + 1)2 = 25，圆心 1(5, 2)、
2(7, 1)，半径 2、5.
7 8
两圆心到 = 的距离 > 2、 > 5（点线距离），故 M 在两圆外：| | ≥ |
√2 √2 1
|
2，| | ≥ | 2| 5，相加得 | | + | | ≥ | 1| + | 2| 7，等号当 A、B 为 1、
2 与圆的靠近交点.
16
两圆心在 = 同侧（ 为 7、8），作 1 关于 = 的对称点
′
1( 2,5)，则
| 1| = |
′
1|，
′
1 与 2 异侧.由两点之间线段最短，|
′ ′ 2
1| + | 2| ≥ | 1 2| = √9 + 6
2 =
3√13，等号当 M 为线段 ′1 2 与 = 的交点；前证 M 在两圆外，等号可取.故最小值
3√13 7，选 B.
1、若 ， 分别为圆 1：
2 + 2 4 2 + 4 = 0与圆 2：( + 6)
2 + ( 5)2 = 4上的动点，
为直线 + + 5 = 0上的动点，则| | + | |的最小值为( ).
A．12 B．9 C．6 D．4√5 3
2、已知圆 : ( + 2)2 + ( 1)2 = 8，直线 : 4 8 = 0，M为直线 l上一动点，N为圆
C上一动点，定点 (2,3)，则| | + | |的最小值为( )
A．√2 B．√3 C．2√2 D．2√3
3、已知圆 1: ( 1)
2 + ( 2)2 = 1，圆 2 22: ( 3) + ( + 4) = 4， , 分别是圆 1, 2上
两个动点， 是 轴上动点，则| | | |的最大值是( )
A．2√2 + 3 B．2√2 + 5 C．2√10 + 3 D．2√10 + 5
4、已知圆 : ( 1)2 + ( + 1)21 = 1，圆 2: ( 4)
2 + ( 5)2 = 1，点 , 分别是圆 1，
圆 2上的动点， 为 轴上的动点，则| | | |的最大值为__________.
17
课后作业
1、若曲线 : = √9 2上存在两点到直线 : √3 = 0( > 0)的距离为 6，则 的取值
范围为( )
A．[8,11) B．(8,11] C．[15,18) D．(15,18]
2、已知实数 ， 满足方程 = √9 2，则( )
+4 √7 √7
A． + 的最小值为 3√2 B． 的范围是[ ， ]
3 3
C． 2 + 2 6 8 + 1的最小值为-20 D．| +2 1|的最大值为3√5 + 1
3、（多选）过直线 + 4 = 0上任意一点 P作圆 : 2 + 2 = 4的两条切线，切点分别为
, ，则( )
A．△ 可以是等边三角形 B．直线 过定点(1, 1)
→ →
C．四边形 面积的最小值是2√6 D． 的取值范围为( 4,0]
4、（多选）已知直线 : + 1 = 0，过直线上任意一点 作圆 : ( 3)2 + 2 = 2的两条
切线，切点分别为 ， ，则下列选项正确的是( )
A．∠ 最大度数为60° B．四边形 面积的最小值为4√3
5 1
C．直线 过定点( , ) D．| |的最小值为√6
2 2
18
5、（多选）设动直线 与圆 2 + 2 = 1相切，且与圆 2 + 21 = 25相交于两点 、 ，点 为
直线 2: + 10 = 0上动点，则( )
→ →
A．存在以 为直径的圆与 2相切 B． ≤ 27 + 10√2
C．| |2 + | |2 ≥ 150 20√2 D．| | + | | ≥ 8√3
6、（多选）已知两条直线 + 2 = 0和 + 4 = 0( ∈ )交于点 ，则( )
A．直线 + 4 = 0必过点( 4, 0)
B．点 在圆( + 2)2 + ( 1)2 = 5上
C．点 到直线 = 3距离最小值为3√2
D．点 的轨迹与圆 2 + ( + 3)2 = 5有三条公切线
7、（多选）已知圆 : 2 + 2 = 4，过直线 : + 4 = 0上任意一点 作圆 的两条切线，
切点分别为 , ，则( )
A．圆 上的点到直线 的最大距离为2(1 + √2)
B．四边形 面积的最小值为 4
→ →
C． 的最小值为 8
D．当点 坐标为(1, 3)时，直线 的方程为 + 3 4 = 0
8、（多选）已知实数 , 满足曲线 的方程 2 + 2 2 3 = 0，则下列选项正确的是( )
A．点(4, 4)到曲线 C上任意点距离最大为 7 B． 2 + 2的最大值是 3
+2 4
C． + 的最小值是1 2√2 D． 的取值范围是( ∞, ] ∪ [0,+∞)
3
19
9、（多选）已知实数 ， 满足方程 2 + 2 4 + 1 = 0，则下列说法正确的是( )
A． 的最大值为√6 + 2 B． 2 + 2的最大值为2 + √3
C． 的最小值为√6 2 D． 2 + 2的最小值为7 4√3
10、过直线 + = 4上的动点 向圆 : 2 + 2 = 4引切线 ，切点为 ，则| |的最小值为
( )
A．4 B．2 C．√2 D．1
11、已知圆 : ( 2)2 + ( 6)2 = 4，点 为直线 : + 8 = 0上一个动点，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，则四边形 周长的最小值为( )
A．8 B．6√2 C．5√2 D．2 + 4√2
12、已知圆 : 2 + 2 2 2 = 0，点 在直线 + + 2 = 0上运动，过 作 的两条切线，
切点分别为 、 ，当四边形 的面积最小时，∠ =________．
13、已知 ( 2,0)， (1,0)，若圆( 5)2 + ( 4)2 = 2( > 0)上存在点 满足| | = 2| |，
则实数 的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
20
14、已知圆( 1)2 + 2 = 8上到直线 = + 的距离为√2的点有且仅有4个，则实数 的
取值范围为( )
A．( 3, 1) B．( 3, 0) C．(0, 1) D．( ∞, 3) ∪
(1,+∞)
15、已知圆 : ( + 2)2 + ( 1)2 = 9，直线 : + = 0，若圆 上至多有3个点到直线
的距离为2，则 的取值范围是( )
A．( ∞, √2 1] ∪ [√2 1,+∞) B．( ∞, √2 1) ∪ (√2 1, +∞)
C．[ √2 1, √2 1] D．( √2 1, √2 1)
21与圆有关的最值与取值范围问题
知识梳理
1、极化恒等式与中线长定理
极化恒等式：在 中， 为 的中点，则
证明：
所以
故
这就是极化恒等式：两条边的数量积，等于中线长的平方减去半底边长的平方.
中线长定理：
两式相加，含 的项一正一负相消：
即两边长的平方和，等于中线长平方的 倍加上底边平方的一半.
2、切线长公式与切点弦
设 在圆外（），、 为过 的两条切线，、 为切点， 为圆心.
切线长公式：
切点弦方程：圆 ， 在圆外，则切点 、 所在直线的方程为
题型一　圆上的点到定点的距离最值
求圆上动点到定点的距离 → 先算圆心到该定点的距离 d，最大值 d+r、最小值 |d r| → 由三角不等式，P、圆心与该定点共线时取到等号.
条件是垂直、定比、距离平方和这类轨迹条件 → 先把动点轨迹求成圆（直径圆、阿波罗尼斯圆等），再套上一条的距离结论 → 由直径所对圆周角、两点距离公式整理保证轨迹是圆.
例 、已知两定点 A( 2,0)，B(1,0)，动点 P 满足 ，点 Q 是圆 上的动点，则 的最大值为( )
A．　 B．　 C．　 D．
解：设 P(x,y)，把 两边平方，得 ，
展开整理为 ，配方得 ，
即 P 在以 为圆心、2 为半径的圆上运动（定比不为 1 时轨迹为阿波罗尼斯圆，由两点距离公式平方整理即得）.
点 Q 在圆 上，圆心 ，半径 ，故两圆圆心距 .由两圆上各取一个动点的距离结论，，等号当 P、、、Q 依次共线且各取外侧点时取到，所以 ，选 B.
1、已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B【详解】因为所以点在以为直径的圆上，圆的方程为，所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即.故选：B.
2、已知,点M满足，则的可能取值是( )
A．4 B． C．1 D．
【答案】B【详解】设点，由，整理得：，即点的轨迹为圆心在，半径为的圆，因，即点在圆外，则表示圆外的点到圆上的点的距离，如图，有.故选：B.
3、在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为( )
A．34 B．40 C．44 D．48
【答案】B【详解】设，则，即等价于点到点的距离的平方的两倍加八，又，即.故选：B.
4、已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】D【详解】直线可变形为，直线过定点，同理，则直线过定点， 时，直线，，此时；当时，，直线，直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆，又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示， 的最大值是．故选：D．
5、已知直线过定点，直线过定点，直线与直线的交点为，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】直线的方程可整理为，令，解得，所以，直线的方程可整理为，令，解得，所以，又对于直线与直线，因为，所以，所以两直线的交点为以为直径的圆上的点，而，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以.故选：C.
题型二　圆上的点到直线的距离最值
目标是圆上的点到定直线的距离 → 求圆心到直线的距离 d，相交时取 、相离时取 .
直线方程含参数、可整理成「参数×式 ＋式 」 → 先求定点，圆心到直线的距离不超过圆心到定点的距离 → 由垂线段最短，直线与连线垂直时取到等号.
例 、已知圆 C：，直线 ，则圆心 C 到直线 l 的最大距离为______，圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为______．
解：圆的方程配方得 ，圆心 ，半径 .
把直线整理为 ，可见 l 恒过定点 .
圆心 C 到 l 的距离 ，当且仅当 （即直线 ）时取到 ，故圆心 C 到直线 l 的最大距离为 1.
圆 C 上的点到 l 的距离，最大者出现在过圆心垂直于 l 的直径远离 l 的一端，其值为 （圆心另一侧端点给出 ），故所求最大值为 ；此时 l 与圆相交，最小值为 0.
1、点在圆上运动，则的取值范围( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】圆的圆心为，半径，因为点在圆上运动，又，其中表示圆上的点到直线的距离，所以，又圆心到直线的距离，所以，即，所以.故选：C
2、已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______.
【答案】【详解】直线：可化为，令，解得：，所以直线恒过定点.圆方程：，配方.圆心，半径，所以圆心到定点距离：，又因为，且，所以直线与不垂直，所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：.当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为.因此点P到直线的距离的取值范围为.
3、对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为______.
【答案】【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，直线方程可化为，令解得，所以直线过定点，显然当直线与圆相切或相交时，取最小值且，不妨令直线过原点，将代入，此时，设圆心到直线的距离为，当直线与垂直时，取得最大值，下面证明：当与直线垂直时，记为直线，当不与直线垂直且直线不经过时，记为直线，过作交于点，如下图所示，由图可知为直角三角形，且为斜边，所以，所以取最大值时，与直线垂直时，故，，但此时的方程为，即为，此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，所以，故答案为：
4、已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____.
【答案】【详解】圆心，半径为，直线过定点，圆心到直线的最大距离，所以到直线的最大距离为.
题型三　圆的切线长与切点弦的最值
目标是切线长或切点弦长 → 两者都只由 |PC| 决定，且随 |PC| 增大而增大（切线长公式、切点弦长公式）→ 化为求 |PC| 的最值，P 在定直线上时即圆心到直线的距离.
例 、从直线 上任意一点 P 作圆 的两条切线，切点为 A、B，求弦 AB 长度的最小值．
解：直线 l 化为 ，圆心 O 到 l 的距离 （半径），故 l 与圆相离，P 恒在圆外，两条切线总存在.设 AB 交 OP 于 H，由切点弦的相似关系得 ，则 ；r 定值，|OP| 越小则 越大、|AB| 越小，故 |OP| 最小时弦最短.
此时 等于圆心到直线的距离 （P 为垂足 ），故 ，，即弦 AB 长度的最小值为 .
1、已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为( )
A． B． C．1 D．
【答案】C【详解】的半径是2，圆心是，切线长，根据四边形的面积为，可知，所以当取得最小值时，最小，因为，所以，此时，又，则，则，所以．故选：C．
2、已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【详解】如图所示，可知，根据对称性易得，所以，所以，圆心到直线的距离，且易知，，所以，所以．
3、若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为_____.
【答案】【详解】将圆配方得，圆心，半径．因为圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，即，故点在直线上运动．由切线长公式得，半径为定值，因此最小时最小．点在直线上，的最小值即圆心到该直线的距离．此时，点在圆外，切线存在．所以．
题型四　过圆内定点的弦长最值
直线过圆内定点 M → 最长弦是过 M 的直径，最短弦与 CM 垂直、长
例 、已知点 在圆 内，求过点 M 的最长弦与最短弦所在的直线方程，并求最短弦长．
解：圆配方得 ，圆心 ，半径 ，，M 在圆内.
由弦长公式 ，弦长随圆心到弦的距离 d 增大而减小：最长弦取 ，即过 M 的直径所在直线 CM.，由点斜式得 ，即 ，弦长 .
最短弦对应 d 最大， 且等号当且仅当 弦，故最短弦过 M 且垂直于 CM，斜率 ，由点斜式得 ，弦长 .
1、已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C【详解】直线，可化为，则直线过定点，圆配方得，可得圆心，半径，所以，即点在圆内，则当点到直线的距离的最大值为时，，故选：C．
2、已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为( )
A．4 B．2 C．6 D．
【答案】A【详解】圆，则直线过定点，因定点在圆内，定点到圆心的距离为，所以直线与圆相交弦长的最小值为.故选：A.
3、已知圆，直线，当圆截直线所得的弦最短时，的值为( )
A．2 B． C． D．-2
【答案】C【详解】由圆，可得圆心为，半径为，直线过定点，且点在圆内．当直线时，圆心到直线的距离最大，弦最短．因为直线的斜率，所以．故选：C．
题型五　代数式的几何意义最值
目标是 型分式 → 看作圆上点与 连线的斜率，设 ，由圆心距不大于半径解 k → 分界为两条切线.
目标是 型 → 看作平行直线族 的参数，相切取最值 → 由圆心距不超过 r 得 .
目标是 或其平方 → 看作圆上点到定点的距离 →最小 、最大 ，平方型端点直接平方.
例 、已知实数 x，y 满足 ，求 的最大值与 的取值范围．
解：配方得 ，圆心 ，半径 .
先求斜率型 ：即圆上点与原点连线的斜率，原点在圆外（）.
设直线 ，与圆有公共点，即圆心到直线距离不大于半径：，平方整理为 ，解得 ；竖直直线 到圆心距离 2>1，与圆无交，故 的最大值为 .
再求距离型 ：即圆上点到直线 的距离.圆心到直线距离 ，相离，距离范围为 .
1、已知实数满足方程，求的最大值和最小值( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由方程，可化为，表示以为圆心坐标 为半径的圆，由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即，如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，此时，解得，所以的最大值为，最小值为.
2、实数x，y满足，则的最大值为( )
A． B． C． D．0
【答案】A【详解】可化为，表示圆心为，半径为的圆.表示圆上的点与点连线的斜率.设过且与圆相切的直线为，即，所以，化简可得，解得或，由图可得的最大值为.故选:A.
3、已知是圆上任意一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B【详解】设，变形可得，则的几何意义为为圆上的点与点确定直线的斜率，方程化为，圆心坐标为，半径，因为是圆上任意一点，则直线与圆相交或相切，故，解得，所以的最小值为.故选：B
4、已知点在曲线上，则的最大值是( )
A．6 B．25 C．26 D．36
【答案】A【详解】解:表示圆上的点到的距离，所以的最大值为圆心到点的距离加上半径1，故．故选：A
5、已知实数x，y满足方程，则的最小值是________．
【答案】【详解】由，得，它表示以为圆心，1为半径的圆．设，即，当与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值．由，得.故的最小值为.故答案为：
6、实数x，y满足，则的最大值是__________．
【答案】10【详解】试题分析：化为，设，最大值为点评：本题还可以设，转化为直线与有交点时求的最值
题型六　半圆上的最值
曲线配方后带 y≤0 或 x≥0 的范围限制，是半圆 → 先在整圆上求候选（斜率型化作切线、|ax+by+c| 型化作点到直线的距离），再检验候选点是否落在弧上 → 由弧是圆的子集，最值只能取自整圆候选点或弧端点.
例 、设点 是曲线 上的任意一点，则 的最小值为( )
A．2　B．　C．　D．0
解：曲线平方配方得 且 ，是圆心 、半径 2 的下半圆，含端点 、
表示半圆上的点与 连线的斜率，，Q 在圆外.
再对整圆求候选：设过 Q 的切线 ，由圆心到切线距离等于半径得 ，平方整理为 ，解得 或 ，即整圆上斜率范围是
的切点 纵坐标为负，在弧上，为弧上最大斜率； 的切点 不在弧上，故最小值只能在端点产生.两端点斜率 与 ，故最小值为 ，选 B.
1、已知点为半圆上一动点，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因，其中可看成半圆上的动点与点连线的斜率．过点作QB与半圆相切，B为切点，此时连线斜率最大，因,则在中，，，则，故的最大值为.故选：D.
2、若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由已知直线过定点，曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，，作出它们的图形，如图，直线的斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，，故选：C．
3、已知点在曲线上，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分.到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍.又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为；过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点，所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为，故的取值范围为.
4、点在曲线上，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由，曲线的图象如下图所示，它表示圆的一部分，因为，所以表示半圆上的点到直线距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值为，点到直线的距离为，所以的最大值为，所以的取值范围为，故选：B
题型七　面积型最值
三角形一边固定、第三顶点在圆上 → 面积＝×定底×高，转化为圆上点到定直线的距离 → 由距离范围 （相交时下端为 0）乘定底的一半得面积范围.
目标是两切线围成的四边形面积 → 由切线长公式得 ，随 |PC| 增大而增大 → P 在定直线上时取圆心到直线的距离作 .
例 、已知圆 C：，直线 ，M 为 l 上的动点，过 M 作圆 C 的两条切线 MA、MB（A、B 为切点）．当四边形 MACB 的面积最小时，求直线 AB 的方程．
解：圆配方得 ，圆心 ，半径 .圆心到 l 的距离为 ，l 与圆相离，M 恒在圆外，两条切线存在.
四边形 MACB 由两个全等直角三角形拼成， 随 减小而减小（r 定值），故 取圆心到直线的距离 时面积最小，M 为垂足.过 C 垂直于 l 的直线 代入 l 得 ，，垂足 .
把 代入切点弦方程 ，得 ，整理为 ，即所求直线 AB 的方程.
1、已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由圆，得圆心，半径，由题意，四边形的面积为，在中，因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可，此时，即，所以，，则四边形的面积的最小值为
2、直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】依题意，直线交轴于，交轴于，则，圆的圆心到直线的距离，而圆的半径为，于是圆上的点到直线的距离的范围为，所以的面积.故选：C
3、直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B【详解】直线分别与轴，轴交于，两点,则，点P在圆上圆心为，半径为：，则圆心到直线距离，故点P到直线的距离的范围为，则，故选：B.
题型八　数量积型最值
两向量同起点、起点在圆上的 → 用极化恒等式化为中点距离平方减半弦平方 → 由圆上点到定点的距离范围取两端.
例 、已知圆 ，直线 与圆 交于 、 两点，点 是圆 上的动点，则 的最小值为( )
A．　B．　C．　D．
解：圆 的圆心为 ，半径 ；圆心 到直线 的距离 ，故 与圆 相交.设 、 的中点为 ，则 是圆心 在 上的垂足，，.
由极化恒等式，，即数量积的最小值转化为「圆上点到定点 的距离平方的最小值」.
点 在圆 上， 在圆内，故 的最小值为 ，当且仅当 、、 依次共线时取到，等号可取.
故 的最小值为 ，选 B.
1、直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由圆，即得圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图：因为的面积为2，所以，解得，所以，所以为等腰直角三角形，所以，所以 ，所以当取得最大值时，取得最大值，，所以的最大值为.
2、已知圆C：，圆心为O，直线与C交于A，B两点，则的最小值为( )
A． B． C．11 D．9
【答案】A【详解】即，令可得，故直线过定点.又，故只需求的最小值，此时.则.故选：A
3、已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】取的中点，则，
，
要求的最小值，就是求的最小值，
圆的圆心为，半径为，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
点为直线上的动点，
的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
，
，故选项C正确.
4、已知直线与圆相交于两点，则的最小值为( )
A． B．2 C．4 D．
【答案】C【详解】圆的圆心为，半径，直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又，所以当时，弦的长度取得最小值，即，设的中点为，则，所以.故选：C
题型九　角度型最值
两切线夹角或圆外一点对圆的张角 → 用 化为求 最值 → 越小张角越大，P 在定直线上时最小值为圆心到直线距离.
题设「圆上存在点使某角为定值」→ 转化为两圆有公共点或距离不等式 → 由 列不等式解参数.
例 、已知点 是直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、，则 的最大值为( )
A．　B．　C．　D．
解：由切线的性质，，在 中 ，且由轴对称 ，故 最大等价于 最小.
圆心 到直线 的距离 ，故 与圆 相离， 恒在圆外，两条切线总存在； 的最小值即圆心到直线 的距离 ，在 为 在 上的垂足时取到.
此时 ，且 为锐角，故 ，从而 ，选 C.
1、已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1．因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，所以，，，，所以，．当时，取最小值，，此时取最大值，又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值，又，所以．
2、已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B【详解】圆的圆心，半径，依题意，，显然当取得最小值时，取得最小值，的最小值即为点到直线的距离，即，所以.故选：B
3、已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得 ，则m的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C【详解】以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆的圆心为，半径为.要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点，所以，即，所以，解得，所以的最大值为6.故选：C
4、设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C【详解】以MP为一边作正方形MPSQ.若对角线PQ与圆有交点,则满足条件的N存在,此时正方形的中心在圆上或内,即MH≤1,所以，所以,所以，则其最大值为2.故选：C
5、已知点是圆上的动点，点，则的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】B【详解】法一：如图，设过，，三点的圆的半径为，则，又，所以，则是锐角，可得，故取最大，最大，则时，取得最小值，此时，而是锐角，此时，法二：如图，结合圆的性质设，则由余弦定理得，由基本不等式得，当且仅当，即时取等，故， 则的最大值是；法三：设，由正弦定理得，即，则，因为，所以，故为锐角，得到的最大值为．故选：B．
6、已知圆：与直线：（），过上任意一点向圆引切线，切点为，，若的最小值为，则实数的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【详解】圆：，圆心，半径，由的最小值为，可得．又，，所以的最小值为2，而圆心到直线：（）的距离等于2，即，解得，故选：D．
7、在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，______.
【答案】【详解】设.因为，所以，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.则当取最大值时，与圆相切，则.在中，，所以.
8、若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____．
【答案】【详解】如图，当过的直线和圆相切于如图所示的情形时，最小，由题知，圆心，，则，连接，由切线的性质，是直角三角形，于是，则，由于斜率为，结合图形可知，，则
题型十　利用对称性求最值
求 的最小值、A 与 B 在定直线同侧 → 作对称点化为异侧再连直线 → 由两点之间线段最短，交点处取到；动点在圆上时先化到圆心再减半径.
求 的最大值 → 先用对称把两点移到同侧，再连直线取与定直线的交点 → 由三角形两边之差小于第三边，三点共线时取到.
例 、设圆 与圆 ，点 A、B 分别是 、 上的动点，M 为直线 上的动点，则 的最小值为( )
A．　B．　C．　D．
解：配方得 、，圆心 、，半径 2、5.
两圆心到 的距离 、（点线距离），故 M 在两圆外：，，相加得 ，等号当 A、B 为 、 与圆的靠近交点.
两圆心在 同侧（ 为 7、8），作 关于 的对称点 ，则 ， 与 异侧.由两点之间线段最短，，等号当 M 为线段 与 的交点；前证 M 在两圆外，等号可取.故最小值 ，选 B.
1、若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为( ).
A．12 B．9 C．6 D．
【答案】B【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，设点关于直线的对称点为，连接，如图：则，解得，即，，则，当且仅当是与直线的交点，且分别是线段与圆的交点时取等号，所以的最小值为9.故选：B.
2、已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为圆的圆心为，半径，因为，当且仅当点在线段上时，等号成立，设点C关于l的对称点为，则，解得，即，则，所以的最小值为．故选：C.
3、已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，作关于x轴的对称点，如图所示，
，当共线时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
4、已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为__________.
【答案】【详解】,点分别是圆，圆上的动点，可知：所以，，设关于轴的对称点为，则，当三点共线时，取最大，最大值为，所以，故答案为：7
课后作业
1、若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径，点到直线的距离公式为，曲线上存在两点到直线的距离为6，即，故，即所在直线为：，，其中到圆心距离为，故与圆无交点，故与右半圆有两个交点，到圆心距离，解得，联立到圆的方程得：，整理得，由韦达定理得曲线是右半圆，即，则，解得，（1）且或，（2）故，综上可得．
2、已知实数满足方程，则( )
A．的最小值为 B．的范围是
C．的最小值为-20 D．的最大值为
【答案】C【详解】由，得对于A，令，则.因为，所以当时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为.所以选项A不正确；对于B，如图所示，表示以为圆心，3为半径的半圆，可看作是半圆上的点与点连线的斜率.因为，所以的范围是.所以选项B错误；对于C，.可看作是半圆上的点到点 的距离，如图所示，其最小值为.所以的最小值为.所以选项C正确；对于D，可看作半圆上的点到直线的距离.设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为.由，得.此时，切点到直线的距离为；点到直线的距离为.所以，的最大值为.所以的最大值为所以选项D不正确.故选：C.
3、（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则( )
A．可以是等边三角形 B．直线过定点
C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为
【答案】ABD【详解】由题知圆O的圆心为，半径．不妨取点，则，故，从而，所以可以是等边三角形，故A正确；设点，则，以为直径的圆的方程为，又圆，两式作差可得直线的方程为，又，代入可得，令解得故直线过定点，故B正确；四边形的面积为，故当最小时，四边形的面积最小，又的最小值为圆心到直线的距离，且，因此四边形面积的最小值为，故C错误；，在四边形中，，所以，又，所以，则，故的取值范围为，故D正确．
4、（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是( )
A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为
C．直线过定点 D．的最小值为
【答案】ACD【详解】由圆可知，圆心，半径，圆心到直线的距离，因为，所以直线与圆相离，如图所示，因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为，设，则，在中，，要使最大，即最大，则取得最小值，即，所以，因为为锐角，所以，所以，即最大度数为，故A选项正确；根据题意，，所以，在中，由勾股定理可得，所以当最小时，即取最小值，即取最小值，所以，所以，所以四边形的面积的最小值为，故B选项错误；设点，因为点在直线上动，所以，即，圆展开为根据切点弦方程公式，直线的方程为，又，所以，即，所以，解得，，即直线过定点，所以C选项正确；根据直线与圆相切的性质，可得，又，所以，垂足为，且为中点，在中，利用等面积法可得，所以，所以，当取得最小值时，取得最小值，即时，，故D选项正确.综上所述，选项ACD正确.
5、（多选）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则( )
A．存在以为直径的圆与相切 B．
C． D．
【答案】BCD【详解】如图，设直线与圆的切点为，依题意，对A，以为直径的圆的半径为，点到直线的距离为.到直线的距离，又，故以为直径的圆与直线相离.故A错误；对B，因为 .又，所以.所以.故B正确；对C，因为，所以，因为 ，所以 ，又，所以.故C正确；对D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离为，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，使最小.设，，，点关于直线的对称点为.易得直线：，联立，消去整理得，整理得，因.则.所以，，同理，.所以
，.
故当时，取得最小值，
所以.故D正确.
6、（多选）已知两条直线和交于点，则( )
A．直线必过点
B．点在圆上
C．点到直线距离最小值为
D．点的轨迹与圆有三条公切线
【答案】ABD【详解】对A：将代入，可得，故直线必过点，故A正确；对B：对，令，则，故过点，又，故与垂直，结合直线过点，可得点在以为直径的圆上，圆心为，半径，故点在圆上，故B正确；对C：由B知，点在圆上，由斜率存在，故的轨迹不过点，故点的轨迹方程为，且不过点，的轨迹所在圆的圆心为，半径，到直线距离，则点到直线距离最小值为，由图可得，此时点不为，故C错误；对D：圆的圆心为，半径，则，，故圆与圆相外切，即有三条公切线，故D正确.
7、（多选）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则( )
A．圆上的点到直线的最大距离为
B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为8
D．当点坐标为时，直线的方程为
【答案】ABD【详解】由题意得，，半径，因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离为，故A正确；因为，所以四边形面积为，当时，四边形面积的最小值，故B正确；因为，所以因为在上单调递增，且，所以当，即时取得最小值，最小值为，故C错误；因为，所以以为直径的圆的方程为，即，则直线的方程为，故D正确.
8、（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是( )
A．点到曲线C上任意点距离最大为7 B．的最大值是 3
C．的最小值是 D．的取值范围是
【答案】ACD【详解】易知曲线的方程，如图所示，设，圆心，半径，连接AC延长交圆C于B点，此时长为点到曲线C上任意点距离最大值，易得，故A正确；，即为圆上一点到原点距离的平方，延长OC交圆C于D点，则，故B错误；令，则的值为过圆上一点的直线在纵轴上的截距，显然该直线与圆在相切时取得最值，即到直线的距离为半径时，，故C正确；，即为圆C上一点与点的斜率，易知与圆C相切时斜率取得端点值，可设该切线方程为，则有或，由图象可知，故D正确.故选：ACD.
9、（多选）已知实数，满足方程，则下列说法正确的是( )
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】AD【详解】方程，即表示以点为圆心，半径的圆，令，由，得，则的最大值为，的最小值为，A正确，C错误；由，得，解得，因此，的最大值为，的最小值为，B错误，D正确.故选：AD
10、过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B【详解】连接，则，圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，所以当取最小值时，取最小值，故当与直线垂直时，取最小值，即，所以.
11、已知圆，点为直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为过点作圆的两条切线，切点分别为，，所以有，，，因此有，要使四边形周长最小，只需最小，即当时，，此时，四边形周长的最小值为.
12、已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，________．
【答案】【详解】由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，又因为，，所以，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，当与直线垂直时，取最小值，且，所以，所以，此时，因此，故答案为.
13、已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A【详解】设，由，得，化简整理，得，由题意得，圆与有公共点，故，其中，所以，解得，所以实数的最小值是.
14、已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A【详解】圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，则，若圆上到直线距离为的点有且仅有个，需满足，即，即，解得，所以实数的取值范围为.
15、已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则，圆上有个点到直线的距离为时，两条平行直线与圆各有两个交点，需，即，所以「至多有个点」等价于，即，化简得，解不等式得或，所以的取值范围是.
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