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一元二次不等式
知识梳理
1. 一元二次不等式与「三个二次」的关系
1.1 定义
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式.其一般形式是
其中 均为常数，.使不等式成立的 的值叫作它的解，所有解组成的集合叫作解集.
1.2三个二次之间的关系
是二次三项式，把 看作自变量、 看作常数；
是二次函数；令 得一元二次方程 ；令 （或 ）得一元二次不等式.三者由此绑定：
方程的根 函数图像与 轴交点的横坐标 不等式解集的分界点；
不等式的解集 函数图像落在 轴上方（）或下方（）的那一段所对应的 的集合.
题型一　解不含参的一元二次不等式
1、求下列不等式的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）由 ，得 ，即 ．所以 或 ，故不等式的解集为．
（2）由 ，得 ，所以 ，故不等式的解集为．
（3）由 ，得 ，所以 ，
故不等式的解集为．
（4）因为 ，
所以无解，即不等式的解集为 ．
题型二　解分式不等式、一元高次不等式
1．普通的分式不等式
（1） （2）
（3） （4）
若遇到这种题目，两边直接同乘是最常见的错误解法，当然也可以根据的正负，分两种情况来讨论，但是这是初中的解题方法；高中的解法是移项，通分将转化为，之后解题方法同上.
2．一元高次不等式
若不等式已化成（ 均为正整数，即各因式的次数），则把 从小到大标在数轴上，从最右边一个根的右上方起笔画一条曲线，自右向左依次经过每个根：次数为奇数的根穿过数轴，次数为偶数的根不穿过数轴（即“奇穿偶不穿”）.曲线在数轴上方的区间是 的解，下方是 的解；再按原不等号决定根的取舍（实心 / 空心）.
注意：使用该方法时，要求不等式右边为0，左边为各项乘积的形式，且的系数要化为正数.
例1、解不等式 ，并把解集写成集合的形式.
解：令各因式为零，得三个根 、、，把它们按从小到大的顺序标在数轴上.
从最右边的根 的右上方起笔：曲线在 （对应，次数为1，奇数）处穿过 轴，在 （对应，次数为偶数）处折回、并不穿过，再在 （对应，次数为1，奇数）处穿过 轴离开.
通过图像即可发现，原不等式的解集为 .
1、不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【详解】将不等式移项通分：，
两边同乘 ，不等号方向改变：，等价于 ，且 ，
解得 或 ．
所以原不等式的解集为 或 ．
2、不等式 的解集为__________．
【答案】
【详解】由不等式 移项得，，化简得 ．
要求不等式 的解集，等价于求不等式组
解得 ，因此该不等式的解集为．
3、解下列不等式（结果写成集合）：
（1）； （2）．
【答案】（1） 或 ；（2）
【详解】（1）由 ，得 ，
即 ，解得 或 ．
所以不等式解集为 或 ．
（2）原不等式等价于
由数轴穿根法可知原不等式解集为 ．
4、解不等式：
（1）； （2）．
【答案】（1） 或 ；（2）
【详解】（1）因为 ，即 ，
等价于 或 ，解得 或 ，
所以原不等式的解集为 或 ．
（2）因为 ，可得 ，即 ，
等价于 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
题型三　解绝对值不等式
绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
(1)含绝对值的不等式与的解集
不等式
R
(2)和型不等式的解法
①；
② 或 .
(3)
(4)或；
；
(5)和型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
1、“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】不等式 可化为 ，即 ．
若 成立，一定满足 ，因此充分性成立；
若 满足 ，不一定满足 ，因此，必要性不成立．
故“”是“”的充分不必要条件．
2、解下列不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）由 ，得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ；
（2）由 ，得 或 ，解得 或 ，所以不等式 的解集为 ；
（3）当 ，即 时，，
所以原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；
当 ，即 时，，
所以原不等式可化为 ，解得 ，所以 ．
综上可得，不等式 的解集为 ．
（4）当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，即 ，不成立；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
综上可得，不等式 的解集为 ．
题型四　由不等式的解集求参数
题干给出"某二次不等式的解集是 ，求另一个不等式（如 ）的解集".
解题方法：先由解集形态定二次项系数的符号；再由解集端点等价于对应方程的两根，由韦达定理列方程组，把系数都用同一个字母表示；最后代入待求的另一个不等式，注意该字母的符号会不会使不等号翻转，解完还要回代检验开口方向与 是否与原解集吻合.若题干未说明"一元二次"，须先讨论二次项系数为零的退化情形.
例：已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集.
解：1. 分析条件
不等式解集是，说明（开口向下）
方程两根为
由韦达定理：得
2. 处理目标不等式
两边同时除以，注意，不等号方向改变
代入得，解得，所以解集为.
感兴趣可记的一些技巧，结论:
已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
1、关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】B
【详解】因为 的解集为 ，所以 ，
且 的根为 ．
所以 ，可得 ，
，即 ，
所以 ，即 ，解得 ．
所以不等式 的解集为 ．
2、（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则（　　）
A． B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
【答案】AB
【详解】对于 A，因为不等式 的解集为 ，
所以方程 的两根为 和 ，且 ，故 A 正确；
对于 B，由韦达定理得 ，解得 ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C，由 ，得 ，因为 ，所以 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，得 ，因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ．故 D 错误．
3、（多选）不等式 解集为 ，下列结论正确的有（　　）
A． B．
C．不等式 的解集是
D．不等式 的解集是
【答案】ABD
【详解】因为 解集为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，故选项 A、B 正确；
选项 C：不等式 可化为 ，
即 ，解得 ，不等式解集是 ，选项 C 错误；
选项 D：不等式 可化为 ，
即 ，解得 或 ，
不等式的解集为 ，选项 D 正确．
故选：ABD．
4、若关于 的不等式 的非空解集为 ，则 __________．
【答案】2
【详解】由不等式 的非空解集为 ，
则二次函数 开口向上，且 和 是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
即 ，且 ，整理得 ，
解得 ，或 ，
当 时，，不符合题意，所以 ．
5、甲、乙两人解关于 的一元二次不等式 ，甲写错了常数 ，正确计算后得到的解集为 ；乙写错了常数 ，正确计算后得到的解集为 ．那么原不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】，甲写错了常数 ，正确计算后得到的解集为 ，即 ，
乙写错了常数 ，正确计算后得到的解集为 ，即 ，解得 ，
因此关于 的一元二次不等式为 ，即 ，解得 ．所以原不等式的解集为 ．
题型五　解含参的一元二次不等式
不等式的系数里含字母参数（如 、），题干只说"解关于 的不等式"而不给参数范围；也有以参数为主元的，如"解关于 的不等式".
系数含参时，二次项系数 、判别式 、两根大小都会随参数变化，每一层变化都改写解集，所以不能直接写答案，必须分类.做题时，原则上"能分解就先分解"，写成 的形式，之后讨论一下开口方向，比较一下两根大小即可，比讨论 轻松得多.分界点要找准：使 、、 的参数值.
做题时，先看二次项系数是否含参，含参就先单独讨论它为零的情形（退化为一次或常数不等式）；再按开口方向分 、；对每个方向分解出两根，以"两根相等"为分界比较两根大小，分三种情形写出解集；分解不出或不易分解时才改用判别式讨论 、、，其中 仍要比较两根.最后按参数区间从小到大"综上所述"列全.
例：解关于 的不等式 （）.
解：注意二次项系数是 ，它可能为零，所以先按"是不是二次"分层讨论.
①当 时，原不等式退化为一次不等式 ，两边同乘 并改变不等号方向得 ，即 ，此时解集为 .
当 时，左边是二次三项式且能分解.用十字相乘因式分解可得 ，两根为 与 .
②当 时，抛物线开口向下.此时 ，即 ，解集为.
③当 时，抛物线开口向上，两根的大小由 与 比较决定，分界点是 ，即 .
i．若 ，则 ，由"小于取中间"得解集为 ；
ii．若 ，则 ，不等式化为 ，而平方非负，只能取等，解集为 ；
iii．若 ，则 ，解集为 .
综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为；当 时，解集为；当 时，解集为 ；当 时，解集为 .
1、已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时，解不等式 ．
【答案】（1）；（2）当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 .
【详解】（1）当 时，不等式为 ，
即 ，所以 ，
所以不等式的解集为；
（2）方程 的两个实数根是 ，
当① ，即 时，不等式的解为 或 ；
② ，即 时，不等式恒成立；
③ ，即 时，不等式的解为 或 ．
综上所述：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
2、（1）求关于 的不等式 的解集，其中 为常数；
（2）求关于 的不等式 的解集，其中 为常数．
【答案】（1）当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 且 ；当 时，解集为 或 ．
（2）当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ．
【详解】（1）由题：，二次函数 开口向上，方程 的根为 ．
当 时，开口向上，不等式 的解集为： 或 ；
当 时，不等式变为 ，解集为： 且 ；
当 时，开口向上，不等式 的解集为 或 ；
综上所述，当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 且 ；
当 时，解集为 或 ．
（2）由题：，即 ．
当 时（即 ），；
当 时（即 ），；
当 时（即 ），；
综上所述，当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
3、解关于 的不等式 ．
【答案】当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
【详解】①当 时，原不等式即为 ，解得 ；
②当 时，原不等式化为 ，解得 或 ；
③当 时，原不等式化为 ．
若 ，即 ，不等式无解；
若 ，即 时，解得 ；
若 ，即 时，解得 ．
综上可知，当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
4、解关于 的不等式 ，．
【答案】当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为全体实数；
当 时，不等式的解集为 ．
【详解】由已知，得 ，；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式等价于 ．
若 ，解得 ，或 ；
若 ，解得 ；
若 ，解得 ，或 ．
当 时，不等式等价于 ，解得 ．
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为全体实数；
当 时，不等式的解集为 ．
5、解下列关于 的不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ．
（2）当 时，不等式的解集为 ；当 或 时，不等式的解集为 ．
【详解】（1）对于一元二次方程 ，判别式 ．
当 时，， 的解集为 ；
当 时，， 的解集为 ；
当 时 ，方程 的两根分别为 且 ，
则 的解集为 ．
综上，当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为 ．
（2）对于一元二次方程 ，，
当 时，，， 的解集为 ；
当 时，， 的解集为 ；
当 或 时，，方程 的两根分别为
，且 ，
所以不等式 的解集为 ．
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 或 时，不等式的解集为 ．
题型六　实际应用问题
1、某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为 15 元，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏，若售价每提高 1 元，则日销售量将减少 2 盏，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的销售收入，则这批台灯的销售价格 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，销售收入 且 ，
为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的销售收入，则 ，
所以 ，可得 ，
综上，．
故选：C
2、（多选）在一个限速 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 ，乙车的刹车距离略超过 ，又知甲、乙两种车型的刹车距离 与车速 之间分别有如下关系：
，，则可判断甲、乙两车的超速现象是（　　）
A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速
【答案】BC
【详解】由题意，对于甲车，有 ，即 ，解得 或 （舍去），这表明甲车的车速超过 ，但根据题意刹车距离略超过 ，由此估计甲车不会超过限速 ；对于乙车，有 ，即
，解得 或 （舍去），这表明乙车的车速超过 ，超过规定限速，即乙车超速．
3、为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为 10 升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 ，则每次至少倒出_____升溶液．
【答案】2
【详解】设每次倒出 升溶液，
第一次稀释后，药液浓度为 ，
第二次稀释后，药液浓度为 ，
依题意有 ，即 ，解得 ，
又 ，即 ，所以每次至少倒出 2 升溶液；
故答案为：2．
4、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为 （单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 5 升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出 4 升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的 ，则 的取值范围为__________．
【答案】
【详解】第一次将桶中药液倒出 5 升后，桶中药液还有 升，
则加满水后药液含量占容积比例为 ．第二次倒出的 4 升液体中
药液有 升，则加满水后药液含量占容积比例为 ，
由题有 ，解得 ，
又因为第一次将桶中药液倒出 5 升，所以 ，
故答案为：．
5、如图，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求点 在 上，点 在 上，且对角线 过点 ，已知 ，，那么要使矩形花坛 的面积大于 27，则 的取值范围为__________．
【答案】
【详解】设 ，根据矩形的性质，易知 ，可得 ，
代入可得 ，解得 ，
则矩形花坛 的面积为 ，
令 ，则 ，解得 或 ．
综上， 或 ．
故答案为．
6、为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件 20 元，出厂价为每件 24 元，每月的销售量 （单位：件）与销售单价 （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）设袁阳每月获得的利润为 （单位：元），写出每月获得的利润 与销售单价 的函数关系；
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 40 元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于 3000 元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）依题意可知每件的销售利润为 元，每月的销售量为 件，
所以每月获得的利润 与销售单价 的函数关系为 ；
（2）由每月获得的利润不小于 3000 元，即 ，
即 ，即 ，解得 ．
又因为这种节能灯的销售单价不得高于 40 元，所以 ，
设政府每个月为他承担的总差价为 元，
则 ，由 ，
得 ，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为 元．
课后作业
1、 的一个必要不充分条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，解得 ，即为集合 ，
则选项 C 是 充要条件，故 C 错误；
和 均无交集，故 A，B 错误；
集合 是 的真子集，
则 成立，一定满足 ，但 成立，不一定满足 ，
故 D 是 的一个必要不充分条件，故 D 正确．
2、已知集合 ，，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，所以 ，所以 ，，所以 ．
3、（多选）下列选项中，正确的是（　　）
A．不等式 的解集为 或
B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为 或
【答案】AB
【详解】不等式 ，即 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 或 ，A 正确；
不等式 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故不等式 的解集为 ，B 正确；
不等式 ，即 或 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 或 ，C 错误；
因为不等式 ，
所以 ，即 ，D 选项的解集中包含了 ，所以 D 错误．
4、（多选）下列选项中，正确的是（　　）
A．不等式 的解集为 或
B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为
D．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的解集是
【答案】ABD
【详解】不等式 即 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 或 ，A 正确；
不等式 即 ，即 ，即 ，
解得 ，故不等式 的解集为 ，B 正确；
不等式 即 或 ，解得 或 ．
即不等式 的解集为 或 ，C 错误；
由关于 的不等式 的解集为知，
方程 有两个实数根为 和 ，且 ，
由韦达定理得 ，可得 ，
故 ，即 ，即 ，，
即 的解集是 ．D 正确．
5、已知 的解集为 ，则 的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】由 的解集为 ，
得 和 是方程 的两个实数根，
所以 ，
所以 等价于 ，即 ，
其充要条件为 或 ．
所以 和 均是 的既不充分也不必要条件；
或 是 的必要不充分条件；
或 是 的一个充分不必要条件．
6、（多选）已知 ，，关于 的不等式 的解集为 ，则（　　）
A． B． 的最小值为
C． 的最小值为 4 D． 的最小值为
【答案】ACD
【详解】选项 A， 的解集为 ，
，，，
故选项 A 正确；
选项 B，，，当且仅当 ，即 时取等号，，故选项 B 错误；
选项 C，，，，当且仅当 ，即 时，取等号，
的最小值为 4，故选项 C 正确；
选项 D，，，
，
当且仅当 ，即当 时取等号，
解方程组 得 ，
的最小值为 ，故选项 D 正确．
7、已知集合 ，．
（1）若 ，求 ；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：因为 ，所以 ．
因为 ．
所以 ．
（2）解：由（1）知 ．
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以集合 是集合 的真子集，
当 时，，此时集合 不是集合 的真子集，不符合题意；
当 时，，此时集合 不是集合 的真子集，不符合题意；
当 时，，
又集合 是集合 的真子集，所以 ．
综上，实数 的取值范围为．
8、（多选）已知 ，若关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若 ，则 的最小值为 4
C．关于 的不等式 的解集为
D． 是关于 的不等式 的一个解
【答案】ACD
【详解】选项 A，因为方程有两不等实根，所以
，
解得 或 ．
因为 ，所以 ，即取 ．A 正确；
选项 B，由韦达定理 ，，则
，由 A 选项可知 ，且 ，所以 ，
，当 时， 单调递增，因此 ，即 ，
无法取到最小值 4，B 错误；
C 选项，令 ，代入原方程得 ，即若 为原方程两根，则 是 的两根，又因为
，，
所以 ，已知 ，所以不等式解集为 ．C 正确；
D 选项，将 代入得 ，因为
，因此 ，
即 是不等式的一个解，D 正确．
9、解答下列各题．
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若正数 满足 ，求 的最小值；
（3）解关于 的不等式 ．
【答案】（1）7；（2）36；（3）当 时，解集为 ；当 时，无解；当 时，解集为
【详解】（1）因为 ，由题 ，
当且仅当 ，即 时取等号；
所以 的最小值为 7．
（2）由 结合基本不等式可得：
，
又 为正数，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 36．
（3）由 ，可得 ，令 ，解得 或 ，
当 时，有 ， 的解集为两根之间，即 ；
当 时，原不等式变为 ，无解；
当 时，有 ， 的解集为两根之间：．
综上：当 时，解集为 ；当 时，无解；当 时，解集为 .
10、2026 年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站．经市场调研，该站每日配送单量 （单位：单）与每单配送费 （单位：元）满足关系式 （其中 ）．已知配送站每日的固定成本为 19200 元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为 4 元．
（1）若要保证配送站每日利润 （单位：元）不为负数，求每单配送费 的取值范围；（每日利润＝每日配送总收入－每日可变总成本－每日固定成本）
（2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为 32 万元．投入使用后，这批无人机使用 年的累计维保总费用为 万元．请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用．（年平均总费用＝（购机费用＋维保总费用）÷使用年数）
【答案】（1）；（2）这批无人机使用 4 年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为 24 万元．
【详解】（1）由题意，
，，
令 ，得 ，即 ．
则 ，解得 ．
因此，要保证配送站每日利润 不为负数，每单配送费 的取值范围为 ．
（2）由题意，年平均总费用为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则这批无人机使用 4 年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为 24 万元．
1一元二次不等式
知识梳理
1. 一元二次不等式与「三个二次」的关系
1.1 定义
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式.其一般形式是
其中 均为常数，.使不等式成立的 的值叫作它的解，所有解组成的集合叫作解集.
1.2三个二次之间的关系
是二次三项式，把 看作自变量、 看作常数；
是二次函数；令 得一元二次方程 ；令 （或 ）得一元二次不等式.三者由此绑定：
方程的根 函数图像与 轴交点的横坐标 不等式解集的分界点；
不等式的解集 函数图像落在 轴上方（）或下方（）的那一段所对应的 的集合.
题型一　解不含参的一元二次不等式
1、求下列不等式的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
题型二　解分式不等式、一元高次不等式
1．普通的分式不等式
（1） （2）
（3） （4）
若遇到这种题目，两边直接同乘是最常见的错误解法，当然也可以根据的正负，分两种情况来讨论，但是这是初中的解题方法；高中的解法是移项，通分将转化为，之后解题方法同上.
2．一元高次不等式
若不等式已化成（ 均为正整数，即各因式的次数），则把 从小到大标在数轴上，从最右边一个根的右上方起笔画一条曲线，自右向左依次经过每个根：次数为奇数的根穿过数轴，次数为偶数的根不穿过数轴（即“奇穿偶不穿”）.曲线在数轴上方的区间是 的解，下方是 的解；再按原不等号决定根的取舍（实心 / 空心）.
注意：使用该方法时，要求不等式右边为0，左边为各项乘积的形式，且的系数要化为正数.
例1、解不等式 ，并把解集写成集合的形式.
解：令各因式为零，得三个根 、、，把它们按从小到大的顺序标在数轴上.
从最右边的根 的右上方起笔：曲线在 （对应，次数为1，奇数）处穿过 轴，在 （对应，次数为偶数）处折回、并不穿过，再在 （对应，次数为1，奇数）处穿过 轴离开.
通过图像即可发现，原不等式的解集为 .
1、不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D． 或
2、不等式 的解集为__________．
3、解下列不等式（结果写成集合）：
（1）； （2）．
4、解不等式：
（1）； （2）．
题型三　解绝对值不等式
绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
(1)含绝对值的不等式与的解集
不等式
R
(2)和型不等式的解法
①；
② 或 .
(3)
(4)或；
；
(5)和型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
1、“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2、解下列不等式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
题型四　由不等式的解集求参数
题干给出"某二次不等式的解集是 ，求另一个不等式（如 ）的解集".
解题方法：先由解集形态定二次项系数的符号；再由解集端点等价于对应方程的两根，由韦达定理列方程组，把系数都用同一个字母表示；最后代入待求的另一个不等式，注意该字母的符号会不会使不等号翻转，解完还要回代检验开口方向与 是否与原解集吻合.若题干未说明"一元二次"，须先讨论二次项系数为零的退化情形.
例：已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集.
解：1. 分析条件：不等式解集是，说明（开口向下）
方程两根为
由韦达定理：得
2. 处理目标不等式
两边同时除以，注意，不等号方向改变
代入得，解得，所以解集为.
感兴趣可记的一些技巧，结论:
已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
1、关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　）
A． 或 B．
C． 或 D．
2、（多选）已知关于 的不等式 的解集为 ，则（　　）
A． B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
3、（多选）不等式 解集为 ，下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．不等式 的解集是
D．不等式 的解集是
4、若关于 的不等式 的非空解集为 ，则 __________．
5、甲、乙两人解关于 的一元二次不等式 ，甲写错了常数 ，正确计算后得到的解集为 ；乙写错了常数 ，正确计算后得到的解集为 ．那么原不等式的解集为__________．
题型五　解含参的一元二次不等式
不等式的系数里含字母参数（如 、），题干只说"解关于 的不等式"而不给参数范围；也有以参数为主元的，如"解关于 的不等式".
系数含参时，二次项系数 、判别式 、两根大小都会随参数变化，每一层变化都改写解集，所以不能直接写答案，必须分类.做题时，原则上"能分解就先分解"，写成 的形式，之后讨论一下开口方向，比较一下两根大小即可，比讨论 轻松得多.分界点要找准：使 、、 的参数值.
做题时，先看二次项系数是否含参，含参就先单独讨论它为零的情形（退化为一次或常数不等式）；再按开口方向分 、；对每个方向分解出两根，以"两根相等"为分界比较两根大小，分三种情形写出解集；分解不出或不易分解时才改用判别式讨论 、、，其中 仍要比较两根.最后按参数区间从小到大"综上所述"列全.
例：解关于 的不等式 （）.
解：注意二次项系数是 ，它可能为零，所以先按"是不是二次"分层讨论.
①当 时，原不等式退化为一次不等式 ，两边同乘 并改变不等号方向得 ，即 ，此时解集为 .
当 时，左边是二次三项式且能分解.用十字相乘因式分解可得 ，两根为 与 .
②当 时，抛物线开口向下.此时 ，即 ，解集为.
③当 时，抛物线开口向上，两根的大小由 与 比较决定，分界点是 ，即 .
i．若 ，则 ，由"小于取中间"得解集为 ；
ii．若 ，则 ，不等式化为 ，而平方非负，只能取等，解集为 ；
iii．若 ，则 ，解集为 .
综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为；当 时，解集为；当 时，解集为 ；当 时，解集为 .
1、已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时，解不等式 ．
2、（1）求关于 的不等式 的解集，其中 为常数；
（2）求关于 的不等式 的解集，其中 为常数．
3、解关于 的不等式 ．
4、解关于 的不等式 ，．
5、解下列关于 的不等式：
（1）； （2）．
题型六　实际应用问题
1、某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为 15 元，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏，若售价每提高 1 元，则日销售量将减少 2 盏，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的销售收入，则这批台灯的销售价格 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2、（多选）在一个限速 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 ，乙车的刹车距离略超过 ，又知甲、乙两种车型的刹车距离 与车速 之间分别有如下关系：
，，则可判断甲、乙两车的超速现象是（　　）
A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速
3、为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为 10 升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 ，则每次至少倒出_____升溶液．
4、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为 （单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 5 升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出 4 升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的 ，则 的取值范围为__________．
5、如图，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求点 在 上，点 在 上，且对角线 过点 ，已知 ，，那么要使矩形花坛 的面积大于 27，则 的取值范围为__________．
6、为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件 20 元，出厂价为每件 24 元，每月的销售量 （单位：件）与销售单价 （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）设袁阳每月获得的利润为 （单位：元），写出每月获得的利润 与销售单价 的函数关系；
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 40 元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于 3000 元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？
课后作业
1、 的一个必要不充分条件是（　　）
A． B． C． D．
2、已知集合 ，，则 （　　）
A． B． C． D．
3、下列选项中，正确的是（　　）
A．不等式 的解集为 或
B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为 或
4、（多选）下列选项中，正确的是（　　）
A．不等式 的解集为 或
B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为
D．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的解集是
5、已知 的解集为 ，则 的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． 或 D． 或
6、（多选）已知 ，，关于 的不等式 的解集为 ，则（　　）
A． B． 的最小值为
C． 的最小值为 4 D． 的最小值为
7、已知集合 ，．
（1）若 ，求 ；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
8、（多选）已知 ，若关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若 ，则 的最小值为 4
C．关于 的不等式 的解集为
D． 是关于 的不等式 的一个解
9、解答下列各题．
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若正数 满足 ，求 的最小值；
（3）解关于 的不等式 ．
10、2026 年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站．经市场调研，该站每日配送单量 （单位：单）与每单配送费 （单位：元）满足关系式 （其中 ）．已知配送站每日的固定成本为 19200 元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为 4 元．
（1）若要保证配送站每日利润 （单位：元）不为负数，求每单配送费 的取值范围；（每日利润＝每日配送总收入－每日可变总成本－每日固定成本）
（2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为 32 万元．投入使用后，这批无人机使用 年的累计维保总费用为 万元．请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用．（年平均总费用＝（购机费用＋维保总费用）÷使用年数）
1

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