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圆的方程
一、知识梳理
1.圆的定义与标准方程
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆心，定长叫作半径.设圆心为
A(a,b)、半径为r,圆就是集合P={MI MA=r}.
由两点间距离公式，IMA=V(x一a)严+y-b)严，令它等于r再两边平方，就得到圆的标准方
程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
这个方程直接给出圆的两个几何要素一圆心位置（α，b)与半径r.
要注意右端必须是正数：若等于0，方程只表示一个点（α，b):若小于0，不表示任何图形
圆的位置特殊时方程可以简化：圆心在原点时为x2+y2=2:
圆过原点时为(x-a)2+y-b)2=a2+b2;
圆与x轴相切时，半径恰为b1,方程为(x-a)2+y-b)2=b2:
圆与两坐标轴都相切时1a=Ibl,方程为(x-a)2+y-b)2=a2
2.圆的一般方程
把x2+y2+Dx+y+F=0配方，得x+32+0+2=2+2-
4
左端是两个平方之和，恒非负，所以图形形态由右端的符号决定：当D2+E2一4F>0时它表示
圆，圆心为(-？，-、半径为D2+E2-4F,这时的方程叫作圆的一般方程：当D2+E2-4F=
0时只表示一个点：当D2+E2-4F<0时不表示任何图形
因此，一个二元二次方程表示圆，要同时满足三条：x2与y2的系数相同且不为0、不含xy项、
D2+E2一4F>0.一般方程与标准方程可以互化：标准方程展开就是一般方程，一般方程配方就回到
标准方程；求圆心与半径时既可以先配方，也可以直接用D、E、F的公式.含参数的方程"表示圆"问
题，本质就是列出并求解不等式D2+E2-4F>0.
3.点与圆的位置关系
设点M(xo,yo)、圆心A(a,b)、半径r,记d=IMA.从几何上看，d>r、d=r、d应点在圆外、圆上、圆内.代数上不必真的算出距离：把点代入方程左端，对标准方程就与r2比，对
一般方程就与0比，大于、等于、小于同样对应圆外、圆上、圆内.这样做的道理在于，方程左端恰
好等于"点到圆心距离的平方减去半径的平方"，它的正负正好刻画点的位置.两种判据等价，代数法
可以直接用原方程，用起来更方便.要注意的是，代数法必须先确认方程确实表示圆，即D2+E2一
4F>0:只由"点在圆外"列不等式就下结论，会漏掉这条约束.
题型一圆的方程
题面是给出二元二次方程，求圆心与半径，或判断含参方程何时表示圆.核心是配方：x2+y2+
Dx+y+F=0配方为c+2+0+52=D2+-,当且仅当D2+E2-4F>0时表示圆，圆
4
心为（一？，-、半径为VD2+E2-4F,含参时先定出D、E、F(注意符号）再解不等式.注意D、
E是一次项系数的相反数，别把符号弄反
1、己知圆x2+y2-4x+6y=0,则该圆的半径为()
A.V13
B.6
C.9
D.13
2、已知方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的值不可能为()
A.-1
B.0
c哈
D.-2
3、(多选)已知x2+y2-4x+6y+k=0表示圆，则下列结论正确的是()
A.k的取值范围为(-∞，13)
B.圆心坐标为(-2,3)
C.当k=0时，半径r=v13
D.当k=4时，圆面积为16π
题型二圆过定点
把方程按参数整理成"参数×式一+式二=O"的形状，要对任意参数都成立，当且仅当式一=
式二=0，联立解出的点就是与参数无关的定点.
2圆的方程
一、知识梳理
1. 圆的定义与标准方程
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆心，定长叫作半径. 设圆心为 、半径为 ，圆就是集合 .
由两点间距离公式，，令它等于 再两边平方，就得到圆的标准方程
这个方程直接给出圆的两个几何要素——圆心位置 与半径 .
要注意右端必须是正数：若等于 ，方程只表示一个点 ；若小于 ，不表示任何图形.
圆的位置特殊时方程可以简化：圆心在原点时为 ；
圆过原点时为 ；
圆与 轴相切时，半径恰为 ，方程为 ；
圆与两坐标轴都相切时 ，方程为
2. 圆的一般方程
把 配方，得
左端是两个平方之和，恒非负，所以图形形态由右端的符号决定：当 时它表示圆，圆心为 、半径为 ，这时的方程叫作圆的一般方程；当 时只表示一个点；当 时不表示任何图形.
因此，一个二元二次方程表示圆，要同时满足三条： 与 的系数相同且不为 、不含 项、. 一般方程与标准方程可以互化：标准方程展开就是一般方程，一般方程配方就回到标准方程；求圆心与半径时既可以先配方，也可以直接用 、、 的公式. 含参数的方程"表示圆"问题，本质就是列出并求解不等式 .
3. 点与圆的位置关系
设点 、圆心 、半径 ，记 . 从几何上看，、、 分别对应点在圆外、圆上、圆内. 代数上不必真的算出距离：把点代入方程左端，对标准方程就与 比，对一般方程就与 比，大于、等于、小于同样对应圆外、圆上、圆内. 这样做的道理在于，方程左端恰好等于"点到圆心距离的平方减去半径的平方"，它的正负正好刻画点的位置. 两种判据等价，代数法可以直接用原方程，用起来更方便. 要注意的是，代数法必须先确认方程确实表示圆，即 ；只由"点在圆外"列不等式就下结论，会漏掉这条约束.
题型一　圆的方程
题面是给出二元二次方程，求圆心与半径，或判断含参方程何时表示圆. 核心是配方： 配方为 ，当且仅当 时表示圆，圆心为 、半径为 ；含参时先定出 、、（注意符号）再解不等式. 注意 、 是一次项系数的相反数，别把符号弄反.
已知圆 ，则该圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
已知方程 表示圆，则 的值不可能为（ ）
A. B. C. D.
（多选）已知 表示圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为 B.圆心坐标为
C.当 时，半径 D.当 时，圆面积为
题型二　圆过定点
把方程按参数整理成"参数 式一 式二 "的形状，要对任意参数都成立，当且仅当式一 式二 ，联立解出的点就是与参数无关的定点.
对任意实数 ，动圆 恒过两个定点，请写出一个定点坐标______.
若圆 恒过两个不同的定点 ，，则 ______.
题型三　点和圆的位置关系
把点坐标代入方程左端，一般方程令其大于 （点在圆外），标准方程则与 比较，几何上即 （用平方避免开根号）. 步骤：先由方程表示圆列出 ，再代入点坐标列出第二个不等式，两个条件取交集. 易漏掉"表示圆"这条约束，使答案多出一段区间；端点开闭也要留意（点在圆外是严格大于，等号不取）.
若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
若点 在圆 ： 的外部，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
若点 在圆 外，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
题型四　轨迹方程
（一）相关点法（代入法）
题面特征是所求动点 与另一动点 有明确的坐标关系（最常见的是 为线段 的中点， 为定点），而 的轨迹已知（在某圆上运动）.
步骤：设 、；按位置关系写出两组坐标等式；反解出 、（方向不能反，必须用 、 表示 、）；代回已知方程化简，并指出轨迹的形状与范围. 适用于中点、定比分点、对称、平移等"动点随已知轨迹的动点一起动"的问题.
易错：反解方向搞反，代回后得到的仍是已知曲线本身；代入后忘记化简（如 要两边同除以 ）；动点只在圆的一部分上运动时，轨迹也要限制范围.
例1、已知圆 ，定点 ，点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解：设中点 ，动点 . 因为 在圆 上，所以 . 又 是线段 的中点且 ，由中点坐标公式得 ，，反解出 ，. 把它们代回圆 的方程：，即 ，两边同除以 得 . 所以点 的轨迹方程为 ，它表示以 为圆心、 为半径的圆.
已知圆 ：，又点 在圆 上运动，点 ，则线段 中点 的轨迹方程为______.
已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程.
（二）定义法与阿氏圆
题面特征有两种：一是动点满足圆的定义（到定点距离为定值），或两动直线互相垂直（，此时 的轨迹是以 为直径的圆）；二是动点到两定点的距离之比为常数 ，即阿氏圆.
依据：把距离等式两边平方，用两点距离公式展开后 、 系数相同且不含 项，配方即得圆.
步骤：设 ，把距离关系写成等式（有根号先平方）；展开化简，阿氏圆配方成标准形式，直角定圆则直接由 的中点与 写出方程；若题目还求面积、向量数量积、距离平方等最值，就转化为圆上点到定点（或定直线）的距离来处理. 适用于由距离条件直接定轨迹、以及在此轨迹上求最值的问题.
例2、已知两个定点 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
解：设 . 由两点距离公式，，. 条件 即 ，两边平方得 . 展开：，移项合并得 ，两边同除以 得 ，配方得 . 所以点 的轨迹方程为 ，它表示以 为圆心、 为半径的圆.
已知直线 ，直线 相交于点 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
阿波罗尼斯（约公元前 ～公元前 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 ， 间的距离为 ，动点 满足 ，当 ，， 不共线时， 面积的最大值是______.
在平面直角坐标系中，点 ，，，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
题型五　曲线面积等相关计算
题面特征是给出含绝对值或根式的二元方程（如 ），求曲线围成的面积、长度或最值，也有在复平面内由模的范围求圆环面积的题. 依据有三条：对称性——换 、换 或同时替换后方程不变，则曲线关于对应轴或原点对称，可只算一部分再乘倍数；去绝对值（或平方去根号）后配方识别出圆，注意原方程的范围限制会把整圆截成半圆或弧段；扇形弧长 、面积 与圆环面积公式.
步骤：先查对称性，确定只算第几象限、结果乘几倍；再在该象限内去绝对值、配方识别图形，由图形与坐标轴的交点定出弧的端点与圆心角；按公式算一段弧长或面积（常用"扇形面积 三角形面积"），乘对称倍数得总量；求两点距离最大值时取相对的两段弧，最大值等于两圆圆心距加两条半径.
易错：去绝对值后忘掉原方程的范围限制，把半圆或弧段当整圆算；端点找错（与坐标轴的另一交点可能不在所考察象限，要舍去）；圆心角应由两端点对应半径的倾斜角之差确定，取弧实际经过的那段；"围成的面积"与"曲线的长度"勿混；求周长时漏乘对称倍数.
例3、已知曲线 .（1）说明曲线 由怎样的图形组成；（2）求曲线 围成的图形的面积与曲线 的长度.
解：（1）把 换成 ，方程不变，故曲线关于 轴对称.当 时，，方程为 ，配方得 ，这是以 为圆心、 为半径的圆；由 知取该圆上横坐标为正的部分，而该圆上各点的横坐标满足 ，其中 只有 一个点，故右半部分是这个完整的圆.由对称性，当 时方程为 ，即 ，是以 为圆心、 为半径的圆.所以曲线 由两个半径都为 、圆心分别为 与 的圆组成，两圆外切于原点.（2）围成的图形就是这两个圆，面积为 ；曲线的长度等于两个圆的周长之和，即 .
设 ，在复平面内对应的点为 ，则满足 的点 的集合形成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
（多选）已知曲线 ，则以下说法正确的是（ ）
A.点 在曲线内部 B.曲线关于原点对称
C.曲线与坐标轴围成的面积为 D.曲线的周长是
（多选）已知曲线的方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线关于直线 轴对称 B.曲线上的点到原点的最大距离为
C.该曲线围成的图形的周长为 D.该曲线围成的图形的面积为
方程 所表示的曲线的长度是______.
课后作业
若圆 关于直线 对称，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
（多选）已知圆 的半径为 ，则（ ）
A. B.点 在圆 的内部
C.圆 与圆 外切 D.当直线 平分圆 的周长时，
对任意实数 ，圆 恒过定点，则定点坐标为______.
若点 在圆 ： 的外部，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
已知圆 的直径 ，动点 与 的距离是它与 的距离的 倍，当 面积最大时，（ ）
A. B. C. D.
（多选）已知曲线 的方程是 ，则下列关于曲线 的说法正确的是（ ）
A.曲线 与 轴和 轴共有 个公共点
B.曲线 总长度为
C.点 、 在曲线 上，则 的最大值为
D.曲线 与坐标轴围成的图形面积为圆的方程
一、知识梳理
1. 圆的定义与标准方程
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆心，定长叫作半径. 设圆心为 、半径为 ，圆就是集合 .
由两点间距离公式，，令它等于 再两边平方，就得到圆的标准方程
这个方程直接给出圆的两个几何要素——圆心位置 与半径 .
要注意右端必须是正数：若等于 ，方程只表示一个点 ；若小于 ，不表示任何图形.
圆的位置特殊时方程可以简化：圆心在原点时为 ；
圆过原点时为 ；
圆与 轴相切时，半径恰为 ，方程为 ；
圆与两坐标轴都相切时 ，方程为
2. 圆的一般方程
把 配方，得
左端是两个平方之和，恒非负，所以图形形态由右端的符号决定：当 时它表示圆，圆心为 、半径为 ，这时的方程叫作圆的一般方程；当 时只表示一个点；当 时不表示任何图形.
因此，一个二元二次方程表示圆，要同时满足三条： 与 的系数相同且不为 、不含 项、. 一般方程与标准方程可以互化：标准方程展开就是一般方程，一般方程配方就回到标准方程；求圆心与半径时既可以先配方，也可以直接用 、、 的公式. 含参数的方程"表示圆"问题，本质就是列出并求解不等式 .
3. 点与圆的位置关系
设点 、圆心 、半径 ，记 . 从几何上看，、、 分别对应点在圆外、圆上、圆内. 代数上不必真的算出距离：把点代入方程左端，对标准方程就与 比，对一般方程就与 比，大于、等于、小于同样对应圆外、圆上、圆内. 这样做的道理在于，方程左端恰好等于"点到圆心距离的平方减去半径的平方"，它的正负正好刻画点的位置. 两种判据等价，代数法可以直接用原方程，用起来更方便. 要注意的是，代数法必须先确认方程确实表示圆，即 ；只由"点在圆外"列不等式就下结论，会漏掉这条约束.
题型一　圆的方程
题面是给出二元二次方程，求圆心与半径，或判断含参方程何时表示圆. 核心是配方： 配方为 ，当且仅当 时表示圆，圆心为 、半径为 ；含参时先定出 、、（注意符号）再解不等式. 注意 、 是一次项系数的相反数，别把符号弄反.
已知圆 ，则该圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】把一般方程配方：，两边同加 ，得 ，即 .对照标准方程 ，得圆心为 ，半径 .故选 A.
已知方程 表示圆，则 的值不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】方程 表示圆的充要条件是 .此处 ，，，故 ，即 ，整理得 ，即 ，解得 .检验各选项：、、 都落在区间 内，而 不在其中，故 不可能取 .故选 D.
（多选）已知 表示圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为 B.圆心坐标为
C.当 时，半径 D.当 时，圆面积为
【答案】AC
【详解】把方程配方：，即 .它表示圆需 ，即 ，故 A 正确；由标准方程读得圆心为 ，半径为 ，故 B 错误；当 时，，故 C 正确；当 时，，圆面积为 ，故 D 错误.故选 AC.
题型二　圆过定点
把方程按参数整理成"参数 式一 式二 "的形状，要对任意参数都成立，当且仅当式一 式二 ，联立解出的点就是与参数无关的定点.
对任意实数 ，动圆 恒过两个定点，请写出一个定点坐标______.
【答案】 或
【详解】把方程按参数 整理：.要使它对任意 都成立，点 必须同时满足 .由第一式得 ，代入第二式得 ，即 ；再代回第一式得 ，即 .故动圆恒过两个定点 与 ，写出其中任意一个即可.
若圆 恒过两个不同的定点 ，，则 ______.
【答案】
【详解】把方程按参数 整理为 .要使它对任意实数 都成立，需 .由 代入第一式得 ，即 ，解得 或 .故两个定点为 、，.
题型三　点和圆的位置关系
把点坐标代入方程左端，一般方程令其大于 （点在圆外），标准方程则与 比较，几何上即 （用平方避免开根号）. 步骤：先由方程表示圆列出 ，再代入点坐标列出第二个不等式，两个条件取交集. 易漏掉"表示圆"这条约束，使答案多出一段区间；端点开闭也要留意（点在圆外是严格大于，等号不取）.
若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】先把方程化成标准方程：，即 .它表示圆，需右端 ，解得 .又点 在圆的外部，把该点坐标代入一般方程左端应大于 ，即 ，解得 .两个条件同时成立，取交集得 .故选 C.
若点 在圆 ： 的外部，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】把方程配方得 ，圆心为 .它表示圆需 ，解得 .又点 在圆的外部，用几何法即 ：，即 ，解得 .综上 .故选 A.
若点 在圆 外，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】方程表示圆需 ，即 ，解得 .点 在圆外，代入左端得 ，即 ，解得 .两个条件取交集，得 .故选 C.
题型四　轨迹方程
（一）相关点法（代入法）
题面特征是所求动点 与另一动点 有明确的坐标关系（最常见的是 为线段 的中点， 为定点），而 的轨迹已知（在某圆上运动）.
步骤：设 、；按位置关系写出两组坐标等式；反解出 、（方向不能反，必须用 、 表示 、）；代回已知方程化简，并指出轨迹的形状与范围. 适用于中点、定比分点、对称、平移等"动点随已知轨迹的动点一起动"的问题.
易错：反解方向搞反，代回后得到的仍是已知曲线本身；代入后忘记化简（如 要两边同除以 ）；动点只在圆的一部分上运动时，轨迹也要限制范围.
例1、已知圆 ，定点 ，点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解：设中点 ，动点 . 因为 在圆 上，所以 . 又 是线段 的中点且 ，由中点坐标公式得 ，，反解出 ，. 把它们代回圆 的方程：，即 ，两边同除以 得 . 所以点 的轨迹方程为 ，它表示以 为圆心、 为半径的圆.
已知圆 ：，又点 在圆 上运动，点 ，则线段 中点 的轨迹方程为______.
【答案】
【详解】设 在圆 上，则 .设 的中点为 ，由中点坐标公式 ，，反解出 ，.把它们代入圆 的方程得 ，即 .两边同除以 ，得 ，这就是中点 的轨迹方程.
已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程.
【答案】
【详解】设中点 的坐标为 ，端点 的坐标为 .因为 是线段 的中点且 ，由中点坐标公式得 ，，反解出 ，.又点 在圆 上运动，故 .代入上式得 ，即 ，两边同除以 得 .所以点 的轨迹方程为 .
（二）定义法与阿氏圆
题面特征有两种：一是动点满足圆的定义（到定点距离为定值），或两动直线互相垂直（，此时 的轨迹是以 为直径的圆）；二是动点到两定点的距离之比为常数 ，即阿氏圆.
依据：把距离等式两边平方，用两点距离公式展开后 、 系数相同且不含 项，配方即得圆.
步骤：设 ，把距离关系写成等式（有根号先平方）；展开化简，阿氏圆配方成标准形式，直角定圆则直接由 的中点与 写出方程；若题目还求面积、向量数量积、距离平方等最值，就转化为圆上点到定点（或定直线）的距离来处理. 适用于由距离条件直接定轨迹、以及在此轨迹上求最值的问题.
例2、已知两个定点 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
解：设 . 由两点距离公式，，. 条件 即 ，两边平方得 . 展开：，移项合并得 ，两边同除以 得 ，配方得 . 所以点 的轨迹方程为 ，它表示以 为圆心、 为半径的圆.
已知直线 ，直线 相交于点 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为 ，所以 .把两条直线分别整理成 、，可见 恒过定点 ， 恒过定点 .又 且交于 ，故 ，由"直角所对的弦是直径"知点 的轨迹是以 的中点为圆心、 为半径的圆. 的中点为 ，，故半径 ，轨迹方程为 .而 是该圆上的点 到原点 的距离的平方，圆上点到原点的最大距离为 ，故 的最大值为 .故选 D.
阿波罗尼斯（约公元前 ～公元前 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 ， 间的距离为 ，动点 满足 ，当 ，， 不共线时， 面积的最大值是______.
【答案】
【详解】以直线 为 轴、线段 的中点为原点建立平面直角坐标系，可设 ，，.由 得 ，两边平方：，展开得 ，整理得 ，即 ，所以点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆.以 为底边， 的高就是点 到 轴的距离 ，而 ，当 时 取最大值 .故面积的最大值为 .
在平面直角坐标系中，点 ，，，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设 ，由 得 ，两边平方并化简：，即 ，所以 的轨迹是以原点为圆心、 为半径的圆.用参数表示圆上的点：设 ，.于是 ，，数量积为 .提出振幅：，故原式 .当 ，即 时取得最大值 .故选 C.
题型五　曲线面积等相关计算
题面特征是给出含绝对值或根式的二元方程（如 ），求曲线围成的面积、长度或最值，也有在复平面内由模的范围求圆环面积的题. 依据有三条：对称性——换 、换 或同时替换后方程不变，则曲线关于对应轴或原点对称，可只算一部分再乘倍数；去绝对值（或平方去根号）后配方识别出圆，注意原方程的范围限制会把整圆截成半圆或弧段；扇形弧长 、面积 与圆环面积公式.
步骤：先查对称性，确定只算第几象限、结果乘几倍；再在该象限内去绝对值、配方识别图形，由图形与坐标轴的交点定出弧的端点与圆心角；按公式算一段弧长或面积（常用"扇形面积 三角形面积"），乘对称倍数得总量；求两点距离最大值时取相对的两段弧，最大值等于两圆圆心距加两条半径.
易错：去绝对值后忘掉原方程的范围限制，把半圆或弧段当整圆算；端点找错（与坐标轴的另一交点可能不在所考察象限，要舍去）；圆心角应由两端点对应半径的倾斜角之差确定，取弧实际经过的那段；"围成的面积"与"曲线的长度"勿混；求周长时漏乘对称倍数.
例3、已知曲线 .（1）说明曲线 由怎样的图形组成；（2）求曲线 围成的图形的面积与曲线 的长度.
解：（1）把 换成 ，方程不变，故曲线关于 轴对称.当 时，，方程为 ，配方得 ，这是以 为圆心、 为半径的圆；由 知取该圆上横坐标为正的部分，而该圆上各点的横坐标满足 ，其中 只有 一个点，故右半部分是这个完整的圆.由对称性，当 时方程为 ，即 ，是以 为圆心、 为半径的圆.所以曲线 由两个半径都为 、圆心分别为 与 的圆组成，两圆外切于原点.（2）围成的图形就是这两个圆，面积为 ；曲线的长度等于两个圆的周长之和，即 .
设 ，在复平面内对应的点为 ，则满足 的点 的集合形成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】 的几何意义是复平面内点 到点 的距离，因此 表示到点 的距离不小于 且不大于 的所有点，即以 为圆心、内半径为 、外半径为 的圆环（含边界）.其面积等于大圆面积减小圆面积：.故选 D.
（多选）已知曲线 ，则以下说法正确的是（ ）
A.点 在曲线内部 B.曲线关于原点对称
C.曲线与坐标轴围成的面积为 D.曲线的周长是
【答案】BC
【详解】对于 A：把 代入方程得 ，即 .由 解得 ，故曲线在 处的两个纵坐标为 与 .因 ，所以点 在曲线外部，A 错误.对于 B：把 换成 、 换成 ，、 均不变，方程不变，故曲线关于原点对称，B 正确.对于 C：同理把 换成 方程不变，曲线关于 轴对称；把 换成 方程不变，曲线关于 轴对称.当 ， 时方程为 ，即 ，圆心为 、半径 .令 得 或 ，故这段弧的两个端点为 与 ，弦长 ；由 知 .于是第一象限内弧与坐标轴围成的面积为 ，由对称性总面积为 ，C 正确.对于 D：每段弧的圆心角为 、半径为 ，四段弧的总长为 ，故 D 错误.故选 BC.
（多选）已知曲线的方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线关于直线 轴对称 B.曲线上的点到原点的最大距离为
C.该曲线围成的图形的周长为 D.该曲线围成的图形的面积为
【答案】ABD
【详解】对于 A：把 代入方程，左端 、右端 都与原来相同，方程不变，故曲线关于直线 对称，A 正确.对于 B：方程中 、 分别换成 、 后不变，故曲线关于 轴、 轴都对称，也关于原点对称，只需考察第一象限（含坐标轴）：此时 ，配方得 ，，.它与坐标轴交于 、、，而 、 所在直线 过圆心 ，故 是该圆的直径，第一象限内的曲线是以 为半径的半圆（含两个端点与原点）.坐标原点也在这个整圆上，因此曲线上的点到原点的最大距离就等于该圆的直径 ，B 正确.对于 C：由对称性，整个曲线由四个半径为 的半圆组成，周长 ，而不是 ，C 错误.对于 D：围成的面积等于四个半圆的面积加上四个直角边长为 的等腰直角三角形的面积，，D 正确.故选 ABD.
方程 所表示的曲线的长度是______.
【答案】
【详解】根式有意义需 ，且右端非负，故左端 ，即 .两边平方得 ，.当 时，，方程为 ，，表示以 为圆心、半径 的上半圆，弧长 .当 时，，方程为 ，，表示以 为圆心、半径 的下半圆，弧长 .故曲线的总长度为 .
课后作业
若圆 关于直线 对称，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】把圆的方程配方：，即 ，故圆心为 .圆是中心对称图形，它关于一条直线对称当且仅当圆心在这条直线上（过圆心的任一直线都平分圆），所以把圆心 代入直线方程得 ，即 .故选 A.
（多选）已知圆 的半径为 ，则（ ）
A. B.点 在圆 的内部
C.圆 与圆 外切 D.当直线 平分圆 的周长时，
【答案】AC
【详解】由半径为 得 ，解得 ，此时圆 为 ，故 A 正确.把点 代入左端：，故该点在圆外，B 错误.另一个圆的圆心为 、半径 ，圆 的圆心为 、半径 ，两圆心距离 ，而 ，故两圆外切，C 正确.直线平分圆的周长当且仅当它过圆心，把圆心 代入得 ，解得 ，故 D 错误.故选 AC.
对任意实数 ，圆 恒过定点，则定点坐标为______.
【答案】 或
【详解】把方程按参数 整理为 .要使它对任意实数 都成立，需 ，即 .由第二式得 ，代入第一式得 ，即 ，解得 或 ；对应地 或 .故定点坐标为 或 .
若点 在圆 ： 的外部，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】点 在圆的外部，把坐标代入方程左端得 ，解得 .又该方程要表示圆，需 ，即 ，解得 .两者取交集得 .故选 C.
已知圆 的直径 ，动点 与 的距离是它与 的距离的 倍，当 面积最大时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】以 所在直线为 轴、线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，.设 ，由 得 ，展开得 ，整理得 ，即 ，所以点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆.，当 最大，即 取 时面积最大.当 时，，，；当 时，，，.故选 D.
（多选）已知曲线 的方程是 ，则下列关于曲线 的说法正确的是（ ）
A.曲线 与 轴和 轴共有 个公共点
B.曲线 总长度为
C.点 、 在曲线 上，则 的最大值为
D.曲线 与坐标轴围成的图形面积为
【答案】BD
【详解】方程中 、 有意义，故 且 ，曲线与两条坐标轴都没有公共点，A 错误.按四个象限去掉绝对值：当 时为 ；当 时为 ；当 时为 ；当 时为 .四段都是半径为 的圆弧，由对称性它们等长.看第一象限这一段：圆心为 ，令 得 ，其中 ，故与 轴正半轴交于 ；令 得 ，故与 轴正半轴交于 .由 知 的倾斜角为 ，由 知 的倾斜角为 ，故这段弧对应的圆心角为 ，弧长为 ，四条弧的总长度为 ，B 正确.面积：围成的图形可分成四个圆心角为 、半径为 的扇形，以及八个直角边分别为 与 的直角三角形，故 ，D 正确.对于 C：由对称性，当 、 位于相对的两段弧上且两点连线过相应两个圆心时 最大，最大值为两个圆心距加两条半径，即 ，而不是 ，C 错误.故选 BD.

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