资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版六年级上册第四单元——圆
知识导图
知识点一 圆的认识
1. 圆是平面上的一种曲线图形。用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示。
2. 半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。半径决定圆的大小。
3. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。
重要关系：4. 在同圆或等圆中：
（1）半径有无数条，直径也有无数条；
（2）所有半径都相等，所有直径都相等；
（3）直径是半径的2倍，半径是直径的一半，即 d=2r，r=d/2。
5. 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
6. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
知识点二 圆的周长
1. 围成圆的曲线的长叫做圆的周长，用字母C表示。
2. 圆周率：圆的周长与它直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。
圆周率是一个固定的数，是一个无限不循环小数。计算时一般取 π≈3.14。
核心公式：3. 圆的周长公式：
已知直径：C=πd；已知半径：C=2πr。
易错：4. 半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径 = πr + 2r。
注意：半圆周长不是圆周长的一半，还要加上一条直径的长度。
知识点三 圆的面积
1. 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。
核心公式：2. 圆的面积公式：
S = πr 。计算圆的面积必须先知道半径（或先求出半径）。
3. 半圆的面积 = πr ÷ 2。
知识点四 圆环的面积
1. 两个半径不同的同心圆之间的部分叫做圆环。外圆半径用R表示，内圆半径用r表示。
核心公式：2. 圆环面积公式：
S圆环 = πR - πr = π(R - r )。
简便算法：先算 R -r ，再乘π。例如 R=5，r=3：5 -3 =16，S=3.14×16=50.24。
知识点五 扇形与实际应用
1. 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
2. 外方内圆：正方形里画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
3. 外圆内方：圆里画最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径。
典例分析
例1：一个圆的半径是 3 厘米，它的直径是多少厘米？周长和面积各是多少？（π取3.14）
答案：直径6厘米，周长18.84厘米，面积28.26平方厘米。
解析：d=2r=2×3=6（厘米）；C=2πr=2×3.14×3=18.84（厘米）；S=πr =3.14×3 =28.26（平方厘米）。
例2：一个圆形花坛的周长是 25.12 米，它的面积是多少平方米？（π取3.14）
答案：它的面积是50.24平方米。
解析：已知周长先求半径：r=C÷π÷2=25.12÷3.14÷2=4（米）；再求面积：S=πr =3.14×4 =50.24（平方米）。
例3：一个圆环，外圆半径是 6 厘米，内圆半径是 4 厘米，求圆环的面积。（π取3.14）
答案：圆环的面积是62.8平方厘米。
解析：S圆环=π(R -r )=3.14×(6 -4 )=3.14×(36-16)=3.14×20=62.8（平方厘米）。
例4：一个半圆的半径是 5 分米，它的周长是多少分米？（π取3.14）
答案：它的周长是25.7分米。
解析：半圆周长=圆周长一半+直径=πr+2r=3.14×5+2×5=15.7+10=25.7（分米）。
变式训练
选择题
(2026 六上 广州期末)(见下图) 图①中的阴影部分是四个圆心角为90°的扇形，图②中的阴影部分是两个圆心角为180°的扇形，它们的半径都相等，比较这两个图形的阴影部分，（ ）。
周长与面积都相等 B．周长不相等，面积相等
周长相等，面积不相等 D．周长与面积都不相等
(2026 六上 禅城期末) 下图把一个半圆分成 12 等份、拼成一个新图形。新图形与半圆相比，（ ）。
面积一样大，周长一样长 B．面积一样大，半圆的周长更长
面积一样大，新图形的周长更长 D．面积不一样大，周长不一样长
3.(2026 六上 禅城期末) 如下图，沿半圆形草坪外围铺一条 4m 宽的小路，小路的面积是多少平方米？列式正确的是（ ）。
A．3.14×42÷2 B．3.14×202÷2
C．3.14×242÷2-3.14×202÷2 D．3.14×(24-20)2÷2
4.(2026 六上 永康期末) 下列两个图形中的圆面积相等，比较阴影部分的面积，正确的是（ ）。
①＞② B．①＜② C．①＝② D．无法比较
5.(2026 六上 桐乡市期末)“黄金螺旋线” 是一种优美曲线，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形弧线画出来，如下图，第一步扇形的半径是 1cm，第五步的弧 AB 的长度是 ( ) cm。
填空题
6.圆规两脚之间的距离是2厘米，画出这个圆的周长是 厘米，它的面积是 平方厘米。
7. 如图所示， 把一个圆分成若干等份， 分的份数越多， 每一份就越小， 拼成的图形就越接近一个长方形。若这个长方形的长是9.42cm，那么这个圆的周长是 cm，面积是 cm2。
8.(2026 六上 禅城期末) 下图的周长是 cm，面积是 cm2。
.(2026 六上 桐乡市期末) 从一张半径为 3dm 的圆形纸片上剪去一个圆心角为60°的扇形，剩余部分的面积是______dm2，剩余部分的周长是______dm。
（用含π的式子表示结果）
如图，AB是圆的直径，AB=20厘米，E、F、D 是圆上的点，且∠EBF=∠FBD=30°，BA平分∠FBD，阴影部分的面积是 平方厘米。
判断题
若长方形、正方形和圆的周长相等，则它们的面积也相等。( )
在面积相等的长方形、正方形和圆中，周长最长的是长方形。( )
左图是一个半圆形，如果把它的半径缩小到原来的 ， 它的周长也缩小到原来的 ， 面积就缩小到原来的。（ ）
半径是2厘米的圆，周长和面积相等。（ ）
圆的半径扩大到原来的4倍，它的周长和面积也扩大到原来的4倍。( )
解决问题
16.求如图直角梯形中阴影部分的面积（单位：厘米）
17.如图，在过角三角形ABC中，AB与BC的长度分别为8厘米、10厘米，以BC为直径而半圆，D是半圆的中点，阴影部分的面积是多少平方厘米？
18.求下图中阴影部分的面积．(π取3)
19. 如图，圆O的直径AB与CD互相垂直，AB=10厘米，以C为圆心，CA为半径画弧。求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积。
20.工人叔叔准备在光明湖内周长为62.8m的圆形草坪上安装自动水龙头喷灌装置，现有射程8m、10m和15m三种喷灌装置。
（1） 选用哪种射程的喷灌装置比较合适，并说明理由。
这块圆形草坪的面积是多少平方米？
（3） 在这个圆形草坪外围铺一条4m宽的小路，请你计算出这条小路的面积是多少平方米？
参考答案
选择题
1.B
解析：图①：周长 = 圆的周长 + 大正方形的周长
面积 = 圆的面积图
②：周长 = 圆的周长 + 大正方形的边长 ×2
面积 = 圆的面积
所以这两个图形的阴影部分周长不相等，面积相等
2.A
解析：面积分析：新图形是由半圆分割后拼接而成，没有增加或减少任何部分，所以面积和原半圆完全相等。
周长分析：
原半圆的周长 = 半圆弧长 + 直径。
新图形的周长 = 半圆弧长 + 两条半径（拼接后新增的两条竖直边，长度之和等于原半圆的直径）+ 额外的两条斜边。因此，新图形的周长比原半圆的周长更长。
C
解析：小路的面积是大半圆面积减去小半圆面积。
20+4=24 m。
小路面积=×3.14×242-×3.14×202
A
设两个图形中圆的面积为S，圆的直径为 d，根据题意，可得
2=S÷π
d2=4．S÷π
所以，正方形的面积为：4（S÷π）
图 1 中阴影部分的面积为：4（S÷π）-S=-S
图 2 中正方形的面积为：4（S÷）
所以，图 2 中阴影部分的面积为：S-4（S÷π）=S-
图 1 的阴影部分面积 - 图 2 的阴影部分面积
=-S - S+
= - 2S
=
=
=
=>0
所以，图 1 阴影部分面积大于图 2 阴影部分面积
解析：设两个图形中圆的面积为 S，圆的直径为 d，观察图 1 可知，圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，用正方形的面积减去圆的面积，求出图 1 阴影部分的面积-S；图 2 中的圆的直径等于里面正方形的对角线，根据正方形的面积公式：S = 直径 × 直径，用图 2 圆的面积减去4（S÷π），即可求出图 2 阴影部分面积，最后再用图 1 中的阴影部分面积减去图 2 中的阴影部分的面积，即可比较。
C
第一步扇形半径为 1cm，观察图形变化可知每一步的扇形半径是前几步半径的累加。第五步的弧 AB 对应的扇形，其半径是前 5 步中对应长度的累加：结合图形，第五步弧 AB 的半径为1×5=5cm。
弧 AB 是圆心角为90°的扇形的弧，弧长公式为L=×2πr；
即L=×2π×5=×10π=π cm。
解析：本题考查弧长公式的应用，以及 “黄金螺线” 中扇形半径的变化规律。先根据 “黄金螺线” 的拼接规律确定第五步弧 AB 对应的扇形半径，再利用圆心角为90°的弧长公式计算弧长。
填空题
6.12.56；12.56
解析：根据题意，可得圆的周长为：2×3.14×2=12.56（厘米）
圆的面积为：3.14×22=12.56（平方厘米）
7.18.84；28.26
解析：9.42÷3.14=3（厘米）
3×2×3.14=18.84（厘米）
3×3×3.14=28.26（平方厘米）
8.24.84；28.26
解析：计算周长：这个图形的周长由一个大圆的周长和一条大圆的直径组成。
周长=2π×3 + 6=6π + 6=24.84cm；
计算面积：这个图形可以拼接成一个完整的大圆。大圆的半径r=3cm。
面积=π×32=9π≈28.26cm2。
9.7.5π；5π+6
解析：圆形纸片的总面积：π×32=9π(dm2)；
剪去的扇形面积：=；
9π×=1.5π(dm2)；
剩余部分面积：9π- 1.5π=7.5π(dm2)
剩余部分的周长由三部分组成：圆周长的}=，加上 2 条半径的长度。6π×=5π(dm)；
2×3=6(dm)；
剩余部分周长=5π+6(dm)。
10.128.5
解析：如解图所示，设圆心为 O，连接 EO，因为∠EBF=∠FBD=30°，BA 平分∠FBD，可知阴影部分 ABF 的面积，所以阴影部分的面积等于扇形 AOE 的面积加上三角形 EOB 的面积。因为圆的直径为20÷2=10(厘米)，可得扇形 AOE 的面积是圆 O 面积的，即10×10×3.14÷4=78.5(平方厘米)，10×10÷2=50(平方厘米)，所以阴影部分的面积是78.5+50=128.5(平方厘米)。
判断题
错误
解析：假设长方形、正方形、圆的周长都是一样的数，比如周长都是 12.56。
分别算出面积
圆：算出半径是 2，面积是 12.56。
正方形：边长 3.14，面积 9.8596。
长方形：长 + 宽 = 6.28，举个例子长 4、宽 2.28，面积只有 9.12。
正确
解析：设三种图形的面积均为 4，则正方形的边长为 2，周长为2×4=8；
圆的半径的平方为4÷3.14≈1，半径也约等于 1，
周长约为2×3.14×1=6.28；
此时正方形的周长比圆的假长方形的宽是 1，长就是 4，周长就是(1+4)×2=10，综合比较，长方形的周长最长。
正确
解析：设原半圆半径为r：
原半圆周长：C1=πr+2r
半径缩小到 r后，新半圆周长：C2=πr+2r=(πr+2r)=C1
原半圆面积：S1=πr2
新半圆面积：S2=π( r)2= πr
2=S1
14.错误
解析：圆的周长和面积无法比较大小，原题说法错误。
15.错误
解析：设圆的半径为 r，则扩大后圆的半径为 4r
扩大后圆的周长为：C=2π×4r=8πr
所以，扩大后圆的周长扩大到原来的 4 倍
扩大后圆的面积为：S=π（4r）2=16π r2
所以，扩大后圆的面积扩大到原来的 16 倍
四、解决问题
16.解：直角梯形面积：((3+4)×2÷2=7×2÷2=7（平方厘米）
个圆面积：3.14×22×=3.14×4×=3.14（平方厘米）
三角形面积：(4-2)×2÷2=2×2÷2=2（平方厘米）
7-3.14-2=1.86（平方厘米）
答：阴影部分的面积为 1.86 平方厘米。
解析：求直角梯形总面积
梯形面积公式：S梯=(上底+下底×高÷2
S梯=(3+4)×2÷2=7 (平方厘米)
求四分之一圆的面积
圆面积公式：S圆=π r2，这里取π=3.14，r=2
S圆=×3.14×22=×3.14×4=3.14(平方厘米)
求右下角空白小三角形面积
三角形底：4-2=2cm，高：2cm
S三角=底×高÷2=(4-2)×2÷2=2 (平方厘米)
阴影面积 = 梯形面积 圆面积 空白三角形面积
S阴影=7-3.14-2=1.86 (平方厘米)
17.解：首先，求出直角三角形 ABC 的斜边 AC 的长度。根据勾股定理，有：AC=====
直角三角形 ABD 的面积可以通过 × ×来计算，其中，底为 AB，高为 BD。因此，直角三角形 ABD
SABD=×AB×BD=×8×5=20
半圆的面积为π r2，因此，半圆的面积为：
S=×3.14×52=39.25
最后，阴影部分的面积等于半圆的面积减去直角三角形 ABD 的面积，即：
S=S-SABD=39.25-20=19.25
答：阴影部分的面积 19.25 平方厘米。
解析：观察到题目中的直角三角形 ABC，其中 AB 与 BC 的长度分别为 8 厘米、10 厘米。根据勾股定理以 BC 为直径画半圆，半圆的半径是 BC 的一半，即 5 厘米。D 是半圆的中点，因此，BD 的长度也是 5 厘理解为半圆面积减去直角三角形 ABD 的面积。
18.解：如图，将左半圆绕 B 点逆时针方向旋转 180°，使 A 与 C 重合，则
所以阴影部分面积为：×π×102-×10×10=100(平方厘米)
解析：如图，欲求图①中阴影部分的面积，可将左半圆绕 B 点逆时针方向旋转 180°，使 A 与 C 重合，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积，代入数据即可求解
解：如图，连接 AC 和 BC
因为 AB 与 CD 是互相垂直的直径，所以∠ACB 是直角，AC = BC。
在直角△ABC 中，由勾股定理得，
AC2+BC2=AB2
则2AC2=102=100
所以AC2=50
所以△ABC 的面积=AC×BC÷2=AC2÷2=50÷2=25(平方厘米)
扇形 AEBC =π×AC2=的面积(平方厘米)
半圆的面积(平方厘米)
所以月牙形 ADBEA（阴影部分）的面积 = 半圆的面积 + △ABC 的面积 扇形 AEBC 的面积（平方厘米）
答：月牙形 ADBEA 的面积是 25 平方厘米。
20.（1）解：62.8÷3.14÷2=10（米）
答：选用 10 米射程的喷灌装置比较合适。
（2）解：10×10×3.14 = 314（平方米）
答：这块圆形草坪的面积是 314 平方米。
解：(10+4)×(10+4)×3.14 - 10×10×3.14
=(196 - 100)×3.14
=301.44（平方米）
答：这条小路的面积是 301.44 平方米。
解析：本题主要考察圆的周长、面积公式，以及环形面积的计算。
根据周长算出草坪半径为 10 米，所以选用射程 10 米的装置才能完全覆盖草坪。
直接代入圆的面积公式，用半径 10 米算出草坪面积为 314 平方米。
（3）先算出包含小路的外圆半径为 14 米，再用外圆面积减去内圆面积，得到小路的面积为 301.44平方米。

展开更多......

收起↑