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第1章 有理数
1.6 有理数的乘方（第二课时）
学习目标与重难点
学习目标：
1.观察有理数混合运算的算式，识别乘方、括号等运算符号，分析算式结构，发展符号意识和数感，能区分不同运算的先后层级。
2.理解有理数混合运算顺序，遵循先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内的规则，规范分步演算，提升运算能力与推理意识。
3.运用有理数混合运算的模型进行计算，有条理地表达运算过程，建立模型意识，能利用运算规则解决相关计算问题，发展应用意识。
学习重点：掌握有理数乘方的概念，牢记有理数混合运算顺序，能正确完成有理数乘方、乘除、加减的综合计算。
学习难点：准确辨析乘方的底数，处理符号问题，在复杂混合运算中灵活运用运算律简化计算。
预习自测
一、知识链接
1.回顾乘方的定义，知道an表示n个a相乘，能够准确识别乘方式子中的底数和指数，区分-an与(-a)n的不同含义，会进行基础的乘方求值计算。
2.复习乘方运算的符号法则，正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负、负数的偶次幂为正，能快速判断乘方结果的正负。
3.回顾有理数的加、减、乘、除运算法则，以及括号的运算优先级，这些基础运算是开展有理数混合运算的前提，便于本节课按运算顺序综合计算。
自学自测
1.计算：-23-3×（-1）3-（-1）4
2.计算：（- ）×（- ）2+（- ）÷[（- ）3- ]
3.计算：（ - 3+ - ）×（-6）2
教学过程
一、创设情境、导入新课
周末奶茶店，这一单到底该付多少钱？
4名同学各买一杯奶茶，原价8元，每杯降价3元；另买两份小食，每份原价10元，打对折；出示会员券，再减去（-2）2元。
请列出综合算式：
想一想：这里的（-2）2，能直接当成-22来计算吗？
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数的除法
教材第44页
1.有理数乘方回顾：an：a是底数，n是指数，表示n个a相乘。区分(-a)n与-an： (-a)n底数为-a；-an底数是a，是an的相反数。
2.有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先算括号内部（由内向外）。
3.乘除同级运算规则：乘、除属于同级运算，必须从左向右依次计算。
4.运算技巧：乘法分配律 形如（a+b+c）×m，可以展开为a×m+b×m+c×m，简化分数运算。
5.绝对值运算：算式中含有绝对值，优先计算绝对值内部，再去掉绝对值符号。
6.符号判断要点：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负；计算时先定符号，再算数值。
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.小明从家带来一些苹果，第一天吃了全部的一半又多半个，第二天吃了余下的一半又多半个，第三天再吃余下的一半又多半个，恰好吃完．小明从家带来了（ ）个苹果
A．10 B．7 C．13 D．9
2.下列计算结果是负数的是( )
A．( 2) × ( 3) × ( 4) ×0 B．( 4)2+ ( 5)2 62
C．( 1.2) × | 3.75| × ( 0.125) D．5 × ( 0.5) ÷ ( 1.84)2
3.如图，由相同大小的圆圈按照一定规律摆放，那么第n个图形中圆圈的个数是（ ）
A．4n 1 B．4n+1 C．4n 2 D．4n+2
4.定义Δ运算，观察下列运算：
（+5）Δ（+14）=+19， （ 13）Δ（ 7）=+20，
（ 2）Δ（+15）= 17， （+18）Δ（ 7）= 25，
0Δ（ 19）=+19， （+13）Δ0=+13．
请你认真思考上述运算，归纳Δ运算的法则，并解答下列问题：
（1）计算：（+17）Δ[0Δ 16]=______．
（2）若2×（2Δa） 1=3a，则a=________．
【知识技能类作业】选做题：
1.式子 22+（ 2）2 （ 2）3 23的值为( ）
A．-18 B．-2 C．0 D．6
2.如图，关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为2，则最后输出因变量y的值为（ ）
A．3 B．8 C．63 D．64
3.某校规定英语竞赛成绩85分以上为优秀，老师将85分记为0，并将一组5名同学的成绩简记为 3，+14，0，+5， 6，这5名同学的平均成绩是（ ）
A．83 B．87 C．82 D．84
4.进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
十进制数1024=1×103+0×102+2×101+4，记作1024；
八进制数（1024）8=1×83+0×82+2×81+4，记作（1024）8；
二进制数（1101）2转化为十进制数为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【综合拓展类作业】
1.已知A=4x2+ax+b，B=2bx2 3x 1，且A 2B的值与x的取值无关．
（1）求a，b的值；
（2）求代数式a2 2ab ( b)2022的值．
2.计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机．
(1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为2，则输出的结果为____．
(2)如图，B同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和1，那么输出的结果分别为_____和______．
(3)同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件：
①若A，B分别输入1，则输出结果1，记K=C（1，1）=1；②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记k=C（m，1）=3C（m-1，1）；③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记k=C（m，n）=C（m，n-1）+，问：当A输入自然数6，B输入自然数6时，k的值是多少？
四、总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.回顾有理数乘方的概念，明确底数、指数含义，辨析(-a)n与-an的差别，结合实际算式，引出有理数混合运算的学习，感受学习混合运算的必要性。
2.认识有理数混合运算包含乘方、乘除、加减，还会涉及括号、绝对值运算；掌握乘方符号规律，负数的奇次幂结果为负，负数的偶次幂结果为正。
3.总结有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的，同级运算要从左向右依次计算；可以灵活运用乘法分配律简化分数算式。
4.借助课本例题和课堂练习进行计算，重点规避运算顺序、乘方符号判断等常见错误，规范书写解题步骤，提高有理数综合运算的能力。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1.计算（）2×（-）2的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．
2.下列各式计算正确的是（ ）
A．4×（-3）2-6=30 B． + ÷ = 2
C．0-23÷（-4）3= - D．16.8÷（- ）×0= - 25.2
3.下列算式中，①（2016）2；②（-2）5；③-32016，④4×（- ）2-23÷（-8）；⑤3024÷（-36）-2016：⑥（-2）3- ×5 - ×（-32）；计算结果是负数的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4.计算：(1)(-1)2025＋|-22+4|-（ - + ）×(-24)；
(2)（- ）2÷（- ）4×(-1)6-（1＋1－2）×48；
(3)[-14-（1-0.5×）]×|3-(-3)2|-（- ）。
【知识技能类作业】选做题：
1.小刚平时很爱跟爸爸一起研究数学，一天爸爸带小刚去一家餐厅吃饭．刚进门，小刚就发现，这个餐厅把WIFI密码设置成了一道如下图所示的数学题．小刚与爸爸讨论了一会儿，拿出爸爸的手机输入密码，顺利连接到了这家餐厅的WIFI，那么他输入的密码是（ ）
A．143549 B．103545 C．113545 D．123545
2.现有这样一种算法程序，任意输入一个数后会不断地反复进行“先乘以-1/3，后加上4”的运算，即若输入2，通过第一次运算输出x1，随后输入x1，通过第二次运算输出x2，随后输入x2，……，一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于（ ）
A．3.3 B．3 C．2 D．2.5
3.如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上的三个数之和都等于-3，则c3+a-b-d-e=_____．
【综合拓展类作业】
1.聪明的小明根据某市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图：
(1)根据该程序转换机计算下列各户月应缴纳水费（元）
(2)当x>15时，月应缴纳水费_____元.（用含x的代数式表示）；
(3)小丽家某月缴纳水费120元，则小丽家该月用水多少m3？
答案
自学自测：1.-6；2.-4；3.-81
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.B
2.D
3.B
4.33；-5或3
【知识技能类作业】选做题
1.C
2.C
3.B
4.B
【综合拓展类作业】
1.（1）解：由题意可得：A 2B=4x2+ax+b 2（2bx2 3x 1）=4x2+ax+b 4bx2+6x+2=（4 4b）x2+(a+6)x+b+2
∵A 2B的值与x的取值无关∴4-4b=0，a+6=0。解得：b=1，a-6
（2）解：原式=（ 6）2 2×（ 6）×1 （ 1）2022=36+12-1=47
2.解（1）将a=2代入流程：2×2=4，∴4 - =3.5，∴3.5+0.375=3.875，∴3.875-|-2|=1.625，故答案为：1.625；（2）若输入的x为时，x= × = ，∵ <1，∴ -（-2）= + = ，∴×2 = × = ，若输入的x为1时， x= ×1 = × = ，∵>1，∴ +（1）= + = 3。故答案为：和3；（3）由三个条件可知，当A，B均为1时，输出结果为1，先输入B数值为1，则可得到当A输入2时，C（2，1）=3C（1，1）=3，∴当A输入3时，C=（3，1）=3C（2，1）=3×3=9，同理可得C（4，1）=3C（3，1）=27，C（5，1）=3C（4，1）=81，C（6，1）=3C（5，1）=243，若A输入固定值为6，C=（6，2）=C（6，1）+ ，同理可得k=C（6，6）=243+5× =243，答：当A输入自然数6，B输入自然数6时，k的值是243.
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】先算乘方，再算乘法，平方后负号消失，两数互为倒数，乘积为1，选C。
【详解】C
2.【解析】按有理数混合运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，逐个验算选项，A计算正确，其余选项结果错误，选A。
【详解】A
3.【解析】逐个判断正负：
①(2016)2：正数，正；②(-2)5：负数奇次幂，负；③-32016：32016为正，前面加负号，负；④计算结果为正；⑤正数除以负数得负，再减正数，结果负；⑥结果负。负数共4个，选B。
【详解】B
4.【解析】(1)先算乘方、绝对值，再用乘法分配律，最后加减。(2)先乘方，同级从左往右算乘除；后面括号乘48用分配律，再合并。(3)先算小括号，再中括号，接着乘方、绝对值，最后算乘法减法。
【详解】解：（1）原式=-1+0+12-6+3=8。
（2）原式=×16×1-（×48+ ×48- ×48）
=1-（66+64-132）
=1-（-2）=3。
（3）原式=[-1-（1- ×）]×|3－9|+
＝[-1-（1- ）]×6+
＝（-1- ）×6+
＝（- ）×6+
＝-11+
＝-10。
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】先把等式右侧的六位数拆成三段两位数字，对比式子中的三个数，可得出规律：对于a b c，结果的前两位是a×b，中间两位是a×c，最后两位是a×(b+c)；代入5 2 7计算，前两位5×2=10，中间两位5×7=35，最后两位5×(2+7)=45，拼接得到密码103545，选B。
【详解】B
2.【解析】我们可以设最终无限接近的数为x，根据运算规则“先乘- ，再加4”，当数值稳定不变时可列出方程x=- x+4，移项合并得x=4，解得x=3，因此反复运算后结果会越来越接近3，选B。
【详解】B
3.【解析】由正五边形每条边上三数之和为-3，列出方程组：a-7+b=-3，a-8+e=-3，e-9+d=-3，d-10+c=-3，c-11+b=-3，结合a,b,c,d,e是正整数，解得a=1,b=3,e=4,d=2,c=5，将数值代入c3+a-b-d-e，得到53+1-3-2-4=117。
【详解】117
【综合拓展类作业】
1.【解析】本题根据程序流程图分段计算水费，用水量不超过15立方米时，水费为用水量乘3；超过15立方米时，15立方米按3元/立方米，超出部分按5元/立方米，由此算出表格里四家水费，化简得到x>15时水费代数式5x-30；小丽家水费120元大于15立方米的最高水费45元，说明用水量超标，代入代数式列方程求解，得到用水量为30立方米。
【详解】（1）解：张大爷应缴纳水费：7×3=21（元），刘奶奶应缴纳水费：15×3=45（元），王阿姨应缴纳水费：（18-15）×5+15×3=60（元），小明家应缴纳水费：（25-15）×5+15×3=95（元），故答案为：21、45、60、95；
（2）由水费计算程序转换机示意图可知：
当x>15时，月应缴纳水费为（x-15）×5+15×3=（5x-30）（元），
故答案为：（5x-30）；
（3）∵120>45，∴小丽家该月用水>15m3，∴5x-30=120，解得x=30，答：小丽家该月用水30m3.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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