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第1章 有理数
1.6 有理数的乘方（第一课时）
学习目标与重难点
学习目标：
1.借助正方形、正方体实例抽象出乘方概念，认识底数、指数符号，发展符号意识与几何直观。
2.会进行有理数乘方运算，通过探究归纳乘方符号规律，提升运算能力与推理意识。
3.能用乘方表示实际问题，建立乘方模型，运用乘方解决实际问题，发展模型与应用意识。
学习重点：理解乘方、底数、指数、幂的概念，掌握有理数乘方的符号法则并能正确进行乘方运算。
学习难点：准确区分负数乘方的书写含义，理解负数乘方的符号确定依据，会用乘方模型解决实际问题。
预习自测
一、知识链接
1.回顾上节课有理数除法的相关知识，复习有理数乘除互为逆运算的关系，明确有理数除法可转化为乘法计算，为本节课将乘方转化为乘法运算做好知识铺垫。
2.回顾上节课有理数除法运算中的符号判断规则，即同号得正、异号得负，借助有理数乘法的符号规律，帮助探究有理数乘方的符号法则。
3.小学阶段学习的相同数连续相乘的运算，当多个相同因数反复相乘时书写繁琐，由此引出乘方这种简化书写形式，建立新旧知识联系。
自学自测
1.填空：在(-3)4中，底数是____，指数是____，读作________________。
2.计算：(-2)3=________。
3.列式：一张纸对折1次变成2层，对折5次，总层数用乘方表示为________。
教学过程
一、创设情境、导入新课
如图（1），边长为5的正方形，它的面积是5×5=25，5×5可记作52.
如图（2），棱长为2的正方体，它的体积是2×2×2=8，2×2×2可记作23.
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数的除法
教材第42页
1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，即
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
2.乘方各部分名称：在乘方运算an中，a叫作底数，n叫作a的幂的指数，简称指数。 an读作a的n次方， an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。
3.乘方的几何引入：例如：在幂52中，底数是5，指数是2，52读作5的2次方（或5的平方）或5的2次幂；23读作2的3次方（或2的立方）或2的3次幂。
4.一个数的一次方，就是这个数本身，例如61就是6，指数1通常省略不写。
5.乘方运算的法则：求非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号。
6.计算器进行乘方运算：输入括号、底数、指数、等号，可快速算出乘方结果。
交流：拉面师傅制作拉面时，按对折、拉伸的步骤，重复多次，如图所示：
先用乘法计算拉12次得到的面条数，再改用计算器计算幂，这两种方法哪种算得快？
（2）如果拉面师傅每次都将面条的长度拉伸到0.8m，那么拉12次后，得到的面条总长是多少米？
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.23表示的含义是（ ）
A．3个2相加 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．2个3相乘
2.计算2+2+2+…+2+4×4×4×…×4的结果是（ ）
A．2m+4n B．m2+4n C．2m+4n D．2m+n4
3.下列各组数相等的是（ ）
A． （ 3）和 3 B．（ 2）2与 22 C． | |和 （+） D．|a|与a
4.在 （ 7）， （ 7）2， | 7|，（ 7）2中，负数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【知识技能类作业】选做题：
1.已知| a|=2，b2=25，且ab>0，则 2ab时值为（ ）
A． 20 B．±10 C．20 D．±20
2.下列关于有理数的说法中，正确的说法的个数是（ ）
①只有正数的绝对值等于它本身；
② 28的底数是 2；
③若a、b互为相反数，且ab≠0，则= 1；
④若m是有理数，则m+|m|不可能是负数；
⑤除以一个数，等于乘这个数的倒数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3.地震震级是划分震源放出的能量大小的等级，（n+2）级地震释放的能量大约是n级地震的1000倍，则6级地震释放的能量大约是2级地震的_____倍．
4.把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么．
(1)( 2)×( 2)×( 2)
(2)×××
(3)m m m … m
【综合拓展类作业】
1.当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个．
(1)一个细菌在分裂n次后，数量变为_____个．
(2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有_____个细菌．
(3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？
2.【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”
【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，_____；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算．
【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式
_____；_____，_____
（3）请利用（2）中结论计算：
四、总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.从正方形面积、正方体体积的几何问题出发，结合拉面实例，发现多个相同因数相乘的书写麻烦，引出乘方的必要性。
2.学习乘方的定义，认识底数、指数、幂，掌握乘方的读法，明白乘方本质是特殊的乘法运算。
3.归纳有理数乘方符号法则：正数任何次幂为正；负数奇次幂负、偶次幂正，计算时先算绝对值乘方，再定符号。
4.会进行有理数乘方计算，能用乘方解决拉面倍增这类实际问题，体会乘方简化重复乘法的作用。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1．的4次幂应记为（ ）
A． B． C． D．
2.若m，n均为正有理数，且a=（ m）×（ n）×（ m）×（ n），b=（ m）×（ n）×（ mn），则下列叙述正确的是（ ）
A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数
C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数
3.如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（ ）
A．27个 B．82个 C．24个 D．28个
4.已知，则_____，若， _____．
【知识技能类作业】选做题：
1.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．小明采用“满五进一”的方式，记录自己打卡背单词的天数．图1中表示打卡的天数为，那么图2表示打卡的天数为（ ）
A．50 B．214 C．159 D．234
2.利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为 ,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 ，如图2第一行数字从左到右依次为,序号为 ，表示该生为5班学生，那么表示7班学生的识别图案是（ ）

A． B． C． D．
3.有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（ ）
A．114 B．128 C．56 D．42
【综合拓展类作业】
1.《庄子》中记载：「一尺之捶，日取其半，万世不竭。」意思是：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完。
现有一根长 1 米的木棍，第 1 天截去它的一半，剩下 米；第 2 天再截去剩下的一半，剩下 米；以后每天都截去前一天剩下的一半。
（1）第 3 天截取后剩下多少米？第 4 天呢？
（2）第 n 天截取后剩下多少米？（用幂的形式表示）
（3）已知 = 1024，要使剩下的长度首次小于 0.01 米，至少需要截取多少天？
（4）这个结论说明了什么？请谈谈你的理解。
答案
自学自测：1.-3；4；负3的4次方（或负3的4次幂）；2.-8；3.25
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.B
2.A
3.C
4.C
【知识技能类作业】选做题
1.A
2.A
3.106
4.（1）解：，底数是，指数是3．
（2）解：，底数是，指数是4．
（3）解：，底数是m，指数是．
【综合拓展类作业】
1.（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个；
（2）解：，
1小时后，盘子里有个细菌；
（3）解：，
两个小时后的数量是，
∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）．
2.解：（1）由题意得：，
，
故答案为：1；．
（2）；
；
；
故答案为：，；
（3）
．
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】本题考查有理数乘方的表示方法，熟练掌握乘方的书写是解题的关键，根据乘方中底数与指数的对应关系即可得到答案．解：∵求的4次幂，是将作为底数，4作为指数，∴应记为，
故选：C．
【详解】C
2.【解析】本题考查有理数的乘法符号法则，通过计算表达式中负因数的个数判断符号：有四个负因数，乘积为正；有三个负因数，乘积为负．，，，，．对于a：，共有四个负因数，∵偶数个负数相乘为正，．对于b：，，再乘以，．为正数，为负数．故选C．
【详解】C
3.【解析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数．解：4小时求出分裂的次数为（次），经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个，经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个，...，∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个．
【详解】D
4.【解析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算．解：∵，∴，∵，∴．故答案为：；．
【详解】；
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】本题考查乘方的应用,含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算．
根据题意中的计算方法，列式计算，即可．解：由题意得，图2所表示打卡的天数为：（天）．故选：B．
【详解】B
2.【解析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可．A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为，表示该生为10班学生；
B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，1，序号为，表示该生为7班学生；
C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生；
D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为，表示该生为6班学生．
故选：B．
【详解】B
3.【解析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键．
根据题目给出的数列规则，先通过已知的前三个数求出a的值，再依次求出第四、第五、第六个数，利用相邻三个数的关系逐步推导即可．
解：∵数列中任意相邻三个数满足第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差，
且前三个数为，a，
∴，
即
解得
由a、、b的关系得：
∴第五个数为
则第六个数为，
∴第6个数为．
故选：B．
【详解】B
【综合拓展类作业】
1.【解析】（1）木棍初始长1米，每天截去前一天剩下的一半，也就是每次剩余长度乘。第1天剩下米，第2天剩下米，那么第3天的剩余长度就是第2天剩下的长度再乘，算出是米；第4天就用第3天剩下的长度继续乘，得到米。
（2）观察前面计算的结果，第1天剩下（）1米，第2天剩下（）2米，第3天剩下（）3米，能够发现天数和2的指数是相同的，按照这个规律可以推出，第n天截取后剩下（）n米。
（3）题目要求剩下长度首次小于0.01米，根据第(2)小题得到的式子列出不等式（）n<0.01，变形后得到2n>100。再代入计算，26=64，小于100，不符合条件；27=128，大于100，满足要求，所以至少需要截取7天。
（4）观察式子（）n，当截取天数n不断变大时，（）n的值会越来越小，无限靠近0，但是永远不会等于0。这就是极限思想，说明木棍可以无限分割，能无限变小，但不会消失，对应古文“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。
【详解】（1）第 3 天截取后剩下 米，第 4 天截取后剩下 米；
（2）第 n 天截取后剩下 米；
（3）要使 < 0.01，即 < ，也就是 > 100。
因为 = 64 < 100， = 128 > 100，所以 n 至少是 7，即至少需要截取 7 天；
（4）无论截取多少次，剩下的长度总是一个正数，永远不可能等于 0，所以木棍永远截不完。这说明有限的长度可以无限地分割下去，「万世不竭」正是对这一数学事实的生动描述。
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