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第十章　静电场中的能量
第5节　带电粒子在电场中的运动
核心要点 点点过
1
目录
即时演练 堂堂清
2
课时作业
3
课程要求 学科素养
能分析带电粒子在电场中的运动情况,能解释相关的物理现象 物理观念 知道带电粒子在电场中加速和偏转的原理。了解示波管的基本原理
科学思维 建立类平抛运动模型,运用动力学和功能关系分析带电粒子的运动
科学探究 通过对示波管的构造和工作原理的认识,进一步理解加速和偏转问题
科学态度 与责任 体会静电场知识对科学技术的影响
核心要点 点点过
电场中带电粒子运动的两类分析方法及适用场景
(1)利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式分析。适用于____电场且涉及运动时间等描述运动过程的物理量,公式有qE=____、v=________等。
(2)利用静电力做功结合动能定理分析。适用于问题涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时,公式有qEd=(匀强电场)或____=(任何电场)等。
要点一　带电粒子在电场中的加速
匀强
ma
v0+at
qU
(1)质量很小的粒子不受重力的作用。(　 　)
(2)带电粒子在电场中只受静电力作用时,静电力一定做正功。(　 　)
(3)动能定理能分析匀强电场中的直线运动问题,也能分析非匀强电场中的直线运动问题。(　 　)
(4)带电粒子仅在静电力作用下运动时,动能一定增加。(　 　)
(5)带电粒子在匀强电场中偏转时,其速度和加速度均不变。(　 　)
×
×
√
×
×
1.关于带电粒子在电场中的重力
(1)基本粒子:如电子、质子、α粒子、离子等,除有说明或有明确的暗示以外,此类粒子一般不考虑重力(但并不忽略质量)。
(2)带电微粒:如液滴、油滴、尘埃、小球等,除有说明或有明确的暗示以外,一般都不能忽略重力。
2.处理带电粒子在电场中加速问题的两种方法
【例1】　如图所示,P和Q为两平行金属板,板间有恒定的电压,在P板附近有一带电粒子(不计重力)由静止开始向Q板运动,下列说法正确的是(　 　)
A.粒子到达Q板时的速率与板间距离、加速电压两个因素有关
B.粒子到达Q板时的速率与两板间距离无关
C.两板间距离越大,加速时间越长,加速度越大
D.若电压、粒子的电荷量均变为原来的2倍,则到达Q板的速率变为原来的4倍
B
【解析】　设两板间电压为U,板间的距离为d,粒子的电荷量为q,粒子在板间运动的加速度大小为a。根据动能定理可得eU=mv2,解得粒子到达Q板时的速率v=,可知v与两板间距离无关,与加速电压U有关,A错误,B正确。根据牛顿第二定律可得=ma,则粒子的加速度大小为a=,而d=at2,粒子加速的时间为t=,故两极板间距离越大,粒子的加速度越小,加速时间越长,C错误。由于粒子到达Q板时的速率v=,电压、电荷量均变为原来的2倍,则速率变为原来的2倍,D错误。
【例2】　如图所示,平行板电容器两极板间的距离为d=10 cm,电势差为U=100 V。一质量为m、带正电、电荷量为q的α粒子,在静电力的作用下由静止开始从正极板A向负极板B运动。
(1)比较α粒子所受静电力和重力的大小,说明重力能否忽略不计(α粒子质量是质子质量的4倍,即mα=4×1.67×10-27 kg,电荷量是质子的2倍,重力加速度g取10 m/s2)。
【解析】　α粒子受静电力大小F= N=3.2×10-16 N,重力大小G=mg=4×1.67×10-27×10 N=6.68×10-26 N,因重力远小于静电力,故可以忽略重力。
【答案】　见解析
(2)α粒子的加速度大小是多少 在电场中做何种运动
【解析】　α粒子的加速度大小为a=≈4.8×1010 m/s2,做初速度为0的匀加速直线运动。
【答案】　4.8×1010 m/s2　初速度为0的匀加速直线运动
(3)计算α粒子到达负极板时的速度大小(尝试用不同的方法)。
【解析】　方法一　利用动能定理求解。
在α粒子的运动过程中,静电力对它做的功是W=qU,设α粒子到达负极板时的速率为v,则Ek=mv2,由动能定理可知qU=mv2,解得v=≈9.8×104 m/s。
方法二　利用牛顿运动定律结合运动学公式求解。
设α粒子到达负极板时所用时间为t,则d=at2,v=at,a=,联立解得v=≈9.8×104 m/s。
【答案】　9.8×104 m/s
分析带电粒子加速运动问题的两点技巧
(1)对于匀强电场虽然用动力学观点和功能观点均可求解,但运用功能观点列式更简单,故应优先选用功能观点。
(2)若电场为非匀强电场,带电粒子做变加速直线运动,不能通过牛顿运动定律途径求解。注意W=qU对一切电场均适用,因此从能量的观点入手,由动能定理来求解。
1.受力特点:带电粒子进入电场后,忽略____,粒子只受______,速度方向垂直于电场方向。运动情况类似于____运动。
2.运动性质
(1)沿初速度方向:速度为____的________运动,穿越两极板的时间t=。(极板长度为l)
(2)垂直v0的方向:初速度为__的______直线运动,加速度a=______。(极板间距离为d)
要点二　带电粒子在电场中的偏转
重力
静电力
平抛
v0
匀速直线
0
匀加速
(1)带电粒子在匀强电场中偏转时,加速度不变,粒子的运动是匀变速曲线运动。(　 　)
(2)带电粒子在匀强电场中偏转时,可用平抛运动的知识分析。 (　 　)
(3)带电粒子在匀强电场中偏转时,若已知进入电场和离开电场两点间的电势差以及带电粒子的初速度,可用动能定理求解末速度大小。(　 　)
(4)带电粒子在匀强电场中无论是直线加速还是偏转,均做匀变速运动。(　 　)
(5)带电粒子仅在静电力作用下运动,电势能和动能可能同时增加。(　 　)
√
√
√
√
×
1.基本规律
带电粒子在电场中的偏转,轨迹如图所示。
(1)沿初速度方向
(2)沿电场线方向
(3)离开电场时的偏转角的正切值tan θ=。
(4)离开电场时位移与初速度方向的夹角的正切值tan α=。
2.常用推论
(1)速度偏转角θ的正切值是位移方向与初速度方向夹角α的正切值的2倍,即tan θ=2tan α。
(2)粒子从偏转电场中射出时,其速度反向延长线与初速度方向交于沿初速度方向位移的中点。
(3)不同的带电粒子(电性相同,初速度为0),经同一电场加速后,再进入同一偏转电场,则它们的运动轨迹必定重合。
3.分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理,即qEy=ΔEk,其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。
【例3】如图所示,带电荷量之比为qA︰qB=1︰3的带电粒子A、B,先后以相同的速度从同一点水平射入平行板电容器中,不计重力,带电粒子偏转后打在同一极板上,水平飞行距离之比为xA︰xB=2︰1,则带电粒子的质量之比mA︰mB以及在电场中飞行的时间之比tA︰tB分别为(　 　)
A.1︰1,2︰3 B.2︰1,3︰2
C.1︰1,3︰4 D.4︰3,2︰1
D
【解析】　粒子在水平方向上做匀速直线运动,x=v0t,由于初速度相同,
xA︰xB=2︰1,所以tA︰tB=2︰1,竖直方向上粒子做匀加速直线运动,y=at2,
且yA=yB,故aA︰aB==1︰4。而ma=qE,m=,。综上所述,D正确。
【例4】　一束电子流经U1=5 000 V的加速电压加速后,在到两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场,如图所示,两极板间电压U2=400 V,两极板间距d=2.0 cm,板长L1=5.0 cm。
(1)求电子在两极板间穿过时的偏移量y。
【解析】　加速过程,由动能定理得eU1=①,进入偏转电场,电子在平行于极板的方向上做匀速运动,L1=v0t②,在垂直于极板的方向上做初速度为0的匀加速直线运动,加速度为a=③,偏移量y=at2④,由①②③④得y=,代入数据得y=0.25 cm。
【答案】　0.25 cm　
(2)若平行板的右边缘与屏的距离L2=5 cm,求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y(O点位于平行板水平中线的延长线上)。
【解析】　如图,由几何关系知:,解得Y=,
代入数据得Y=0.75 cm。
【答案】　0.75 cm
(3)若另一个质量为m的二价负离子(不计重力)经同一电压U1加速,再经同一偏转电场,射出偏转电场的偏移量y'和打在屏上的偏移量Y'各是多大
【解析】　因y=,Y=,与粒子的质量m和电荷量q无关。故二价负离子经同样装置后,y'=y=0.25 cm,Y'=Y=0.75 cm。
【答案】　0.25 cm　0.75 cm
分析带电粒子在匀强电场中的偏转问题的方法
(1)条件分析:若不计重力,且带电粒子的初速度v0方向与电场方向垂直,则带电粒子将在电场中只受静电力作用做类平抛运动。
(2)运动分析:一般用分解的思想来处理,即将带电粒子的运动分解为沿静电力方向上的匀加速直线运动和垂直静电力方向上的匀速直线运动。
1.构造:______是示波器的核心部件,外部是一个抽成真空的玻璃壳,内部主要由______(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、________(由一对X偏转电极板和一对Y偏转电极板组成)和______组成,如图所示。
要点三　示波管的原理
示波管
电子枪
偏转电极
荧光屏
2.原理
(1)扫描电压:XX'偏转电极接入的是由仪器自身产生的______电压。
(2)灯丝被电源加热后,出现热电子发射,发射出来的电子经加速电场加速后,以很大的速度进入偏转电场,如果在YY'偏转电极上加一个周期性的________,在XX'偏转电极上加一个________,如果扫描电压与信号电压的周期相同,在荧光屏上就会出现按______偏转电压规律变化的可视图像。
锯齿形
信号电压
扫描电压
YY'
(1)如果在偏转电极YY'和XX'上不加电压,电子束不偏转,打在荧光屏中心。(　 　)
(2)只在YY'上加恒定电压时,电子束不偏转。 (　 　)
(3)只在XX'上加恒定电压时,电子束沿YY'方向偏转。(　 　)
(4)示波管电子枪的作用是产生高速飞行的电子束,偏转电极的作用是使电子束偏转,打在荧光屏的不同位置。 (　 　)
√
×
×
√
【例5】　(多选)示波管是示波器的核心部件,它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成,如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑,那么示波管中的(　 　)
A.极板X应带正电
B.极板X'应带正电
C.极板Y应带正电
D.极板Y'应带正电
【解析】　由题意可知,在XX'方向上向X方向偏转,X带正电,A正确,B错误;在YY'方向上向Y方向偏转,Y带正电,C正确,D错误。
AC
即时演练 堂堂清
1.一带电粒子在电场中只受静电力作用时,它不可能出现的运动状态是(　 　)
A.匀速直线运动 B.匀加速直线运动
C.匀变速曲线运动 D.匀速圆周运动
解析:只在静电力的作用下,说明粒子受到的合力的大小为静电力,不为0,不可能做匀速直线运动,故A不可能;当粒子在匀强电场中由静止释放后,粒子做匀加速直线运动,故B可能;当粒子垂直进入匀强电场后,粒子做类平抛运动,故C可能;正电荷周围的电子只在静电力作用下,可以做匀速圆周运动,故D可能。
A
2.如图所示,三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔,小孔分别位于O、M、P点。由O点静止释放的电子恰好能运动到P点。现将C板向右平移到P'点,则由O点静止释放的电子 (　 　)
A.运动到P点返回
B.运动到P和P'点之间返回
C.运动到P'点返回
D.穿过P'点
A
解析:分析题意可知,电子在A、B板间做加速运动,在B、C板间做减速运动,恰好运动到P点,将C板向右平移到P'点,则B、C板间距变大,根据平行板电容器电容的决定式可知,C=,电场强度E=,分析可知,B、C板间电场强度恒定不变,故电子仍然运动到P点返回,A正确。
3.如图所示,质子H)和α粒子He)以相同的初动能垂直射入偏转电场(不计粒子重力),则这两个粒子射出电场时的侧位移y之比为 (　 　)
A.4︰1 B.1︰2
C.2︰1 D.1︰4
B
解析:两粒子进入电场后,均做类平抛运动,根据牛顿第二定律有a=,粒子射出电场时的侧位移y=at2,电场中水平方向上有t=,联立可得y=,依题意两粒子的初动能相同,电场强度E和极板长度L相同,则y与q成正比,质子和α粒子电荷量之比为1︰2,则侧位移y之比为1︰2,故B正确。
4.如图甲为示波管的原理图。如果在电极YY'之间所加的电压按如图乙所示的规律变化,在电极XX'之间所加的电压按如图丙所示的规律变化,则在荧光屏上看到的图形是(　 　)
B
解析:由于电极XX'之间所加的是扫描电压,电极YY'之间所加的电压为信号电压,所以荧光屏上会看到B所示的图形。
课时作业11
1. (5分)在如图所示的匀强电场中,若一个点电荷从P点由静止释放(不计粒子重力),则下列说法正确的是 (　 　)
A.该点电荷可能做匀变速曲线运动
B.该点电荷一定向右运动
C.静电力对该点电荷可能不做功
D.该点电荷一定做匀加速直线运动
D
解析:点电荷受到水平方向上的静电力做匀加速直线运动,因为点电荷的电性未知,无法确定向哪个方向做匀加速直线运动,故A、B错误,D正确;点电荷在运动的过程中,静电力做正功,故C错误。
2.(5分)质量和电荷量不同的带电粒子,在电场中由静止开始经相同电压加速后(　 　)
A.比荷大的粒子速度大,电荷量大的粒子动能大
B.比荷大的粒子动能大,电荷量大的粒子速度大
C.比荷大的粒子速度和动能都大
D.电荷量大的粒子速度和动能都大
A
解析:根据动能定理得qU=mv2,得v=,由此可知,在电场中由静止开始经相同电压加速后,比荷大的粒子速度v大,电荷量q大的粒子动能大,故A正确,B、C、D错误。
3.(5分)(多选)喷墨打印机的简化模型如图所示,重力可忽略的墨汁微滴,经带电室带负电后,以速度v垂直匀强电场飞入极板间,最终打在纸上。则微滴在极板间电场中(　 　)
A.向正极板偏转
B.电势能逐渐增大
C.运动轨迹是抛物线
D.运动轨迹与电荷量无关
AC
解析:由于微滴带负电,电场方向向下,因此微滴受到的静电力方向向上,微滴向正极板偏转,A正确;偏转过程中静电力做正功,根据静电力做功与电势能变化的关系,电势能减小,B错误;微滴在垂直于电场方向做匀速直线运动,位移x=vt,沿电场反方向做初速度为0的匀加速直线运动,位移y=,此为抛物线方程,C正确;从式中可以看出,运动轨迹与电荷量q有关,D错误。
4.(5分)(多选)示波管的内部结构如图甲所示。如果在偏转电极XX'、YY'之间都没有加电压,电子束将打在荧光屏中心。如果在偏转电极XX'之间和YY'之间加上图丙所示的几种电压,荧光屏上可能会出现图乙中(a)、(b)所示的两种波形。则(　 　)
AC
A.若XX'和YY'分别加电压(3)和(1),荧光屏上可以出现图乙中(a)所示波形
B.若XX'和YY'分别加电压(4)和(1),荧光屏上可以出现图乙中(a)所示波形
C.若XX'和YY'分别加电压(3)和(2),荧光屏上可以出现图乙中(b)所示波形
D.若XX'和YY'分别加电压(4)和(2),荧光屏上可以出现图乙中(b)所示波形
解析:若在XX'加恒定电压,电子会左右偏转,左右偏转的位移为x=,再根据电子经同一加速电场加速,则由动能定理有eU0=,联立得偏转位移x=。同理在YY'加恒定电压,电子上下偏转,偏转的位移为y=。所以若XX'加电压(3),则荧光屏上出现波形图与YY'所加的电压波形一致,A、C正确;若XX'加电压(4),则电子左右偏移在某一位置不变,上下偏移量与YY'加的电压成正比,故若YY'加电压(1),则荧光屏上出现波形图是一条平行于YY'轴的直线段,若YY'加电压(2),则荧光屏上出现的是一个点,且半个周期在XX'轴上方,半个周期在XX'轴下方,B、D错误。
5. (5分)如图所示,一价氢离子和二价氦离子的混合体,经同一加速电场由静止加速后,垂直射入同一偏转电场中,偏转后,打在同一荧光屏上,则它们(　 　)
A.同时到达屏上同一点
B.先后到达屏上同一点
C.同时到达屏上不同点
D.先后到达屏上不同点
B
解析:在加速电场中,有qU1=,在偏转电场中的偏转距离y=,故两离子运动轨迹相同,打在屏上同一点;一价氢离子和二价氦离子的比荷不同,经过加速电场后的末速度不同,因此两离子运动的时间不同,故B正确。
6.(10分)如图所示,有一电子(电荷量为e)经电压U0加速后,进入两块间距为d、电压为U的平行金属板间。若电子从两板正中间垂直电场方向射入,且正好能从金属板边缘穿出电场,求:
(1)金属板AB的长度;
解析:设电子飞离加速电场时的速度为v0,由动能定理得eU0=①,
设金属板AB的长度为L,电子偏转时间
t=②,
a=③,
y=at2④,由①②③④得L=d。
答案:d　
(2)电子穿出电场时的动能。
解析:设电子穿出电场时的动能为Ek,
根据动能定理得
Ek=eU0+e。
答案:e
7.(5分)(多选)如图所示,从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动,则下列对电子运动的描述中错误的是(设两个电源的电动势均为U) (　 　)
A.电子到达B板时的动能是eU
B.电子从B板到达C板动能变化量为eU
C.电子到达D板时动能是3eU
D.电子在A板和D板之间做往复运动
BC
解析:释放出一个无初速度电荷量为e的电子,在电压为U的电场中被加速,当出电场时,所获得的动能等于静电力做的功,即W=qU=eU,故A正确;由题图可知,B、C间没有电压,则没有电场,所以电子在此处做匀速直线运动,则电子的动能不变,故B错误;电子以eU的动能进入CD电场中,在静电力的阻碍下,电子做减速运动,由于C、D间的电压也为U,所以电子到达D板时速度减为0,所以电子从D板开始反向运动,故C错误;由上可知,电子将会在A板和D板之间加速、匀速再减速到速度为0,之后再反向加速、匀速再减速到速度为0,电子在A板和D板之间做往复运动,故D正确。
8.(5分)氢元素的两种同位素的原子核——氕核H)、氘核H)的质量之比为1︰2,电荷量之比为1︰1。如图所示,氕核、氘核由静止开始经同一加速电场加速后,又经同一匀强电场偏转,最后打在荧光屏上。下列说法正确的是(　 　)
A.两原子核飞出加速电场时的速度之比为1︰2
B.两原子核在偏转电场的偏转距离之比为1︰2
C.两原子核飞出偏转电场时的动能之比为1︰2
D.两原子核打在荧光屏上的偏移量之比为1︰1
D
解析:两原子核在加速电场中运动时,根据动能定理可得U1q=mv2,解得v=,因此,A错误;两原子核在偏转电场中做类平抛运动,有L=vt、y=t2,联立可得偏转距离y=,可知偏转距离与原子核的质量和电荷量无关,因此两原子核在偏转电场中的偏转距离之比为1︰1,B错误;原子核飞出偏转电场时,根据动能定理得U1q+mv'2,由于两原子核在偏转电场中的偏转距离相等,则两原子核飞出偏转电场时的动能之比为1︰1,C错误;设原子核离开偏转电场时的速度偏转角为θ,则tan θ=,可知两原子核离开偏转电场时速度偏转角相等,偏转距离也相等,因此运动路径完全重合,打在荧光屏上的偏移量之比为1︰1,D正确。
9.(12分)静电喷涂是使雾化了的带负电油漆微粒在静电场的作用下,定向喷向工件,并吸附在工件表面的一种技术,其可简化成如图所示的模型:竖直放置的A、B两块平行金属板间距为d,两板间所加电压为U,在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P,油漆喷枪的半球形喷嘴可向各个方向均匀地喷出带电油漆微粒。油漆微粒的质量为m、电荷量为q,喷出时的初速度大小均为v0,忽略空气阻力和带电微粒之间的相互作用力,微粒的重力忽略不计。求:
(1)油漆微粒到达B板的速度大小;
解析:设油漆微粒到达B板的速度大小为v,由动能定理得=qU,得v=。
答案:　
(2)初速度方向沿平行于金属板A喷出的油漆微粒运动至B板的时间;
解析:以初速度v0沿平行于金属板A方向喷出的油漆微粒做类平抛运动,微粒在垂直板方向做初速度为0的匀加速直线运动。
由d=at2,a=,F=Eq,E=,
联立解得t=。
答案:d
(3)估算喷到B板的油漆区可能的最大面积。
解析:当油漆微粒初速度v0沿平行金属板方向时,油漆微粒射到B板的位置偏离P最远,
在平行于金属板方向上有r=v0t
油漆区的面积为S=πr2
联立解得S=。
答案:
10.(13分)一群速率不同的一价离子从A、B两平行极板正中央水平射入如图所示的偏转电场,离子的初动能为Ek,A、B两极板间电压为U,间距为d,C为竖直放置并与A、B间隙正对的金属挡板,屏MN足够大。若A、B极板长为L,C到极板右端的距离为L,C的长为d。不考虑离子所受重力,元电荷为e。
(1)写出离子射出A、B极板时的偏转距离y的表达式。
解析:设离子的质量为m,初速度为v0,则离子在偏转电场中的加速度a=,离子在偏转电场中运动的时间t=,射出电场时的偏转距离y=at2,所以y=,而Ek=,则y=。
答案:y=
(2)初动能范围是多少的离子才能打到屏MN上
解析:离子射出电场时的竖直分速度vy=at,射出电场时的速度偏转角的正切值tan φ=,故tan φ=,离子射出电场后做匀速直线运动,要使离子打在屏MN上,需满足y<,且Ltan φ+y>,所以。
答案:
本课结束第5节　带电粒子在电场中的运动
课程要求 学科素养
能分析带电粒子在电场中的运动情况,能解释相关的物理现象 物理观念 知道带电粒子在电场中加速和偏转的原理。了解示波管的基本原理
科学思维 建立类平抛运动模型,运用动力学和功能关系分析带电粒子的运动
科学探究 通过对示波管的构造和工作原理的认识,进一步理解加速和偏转问题
科学态度 与责任 体会静电场知识对科学技术的影响
要点一　带电粒子在电场中的加速
电场中带电粒子运动的两类分析方法及适用场景
(1)利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式分析。适用于匀强电场且涉及运动时间等描述运动过程的物理量,公式有qE=ma、v=v0+at等。
(2)利用静电力做功结合动能定理分析。适用于问题涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时,公式有qEd=(匀强电场)或qU=(任何电场)等。
(1)质量很小的粒子不受重力的作用。(　×　)
(2)带电粒子在电场中只受静电力作用时,静电力一定做正功。(　×　)
(3)动能定理能分析匀强电场中的直线运动问题,也能分析非匀强电场中的直线运动问题。(　√　)
(4)带电粒子仅在静电力作用下运动时,动能一定增加。(　×　)
(5)带电粒子在匀强电场中偏转时,其速度和加速度均不变。(　×　)
1.关于带电粒子在电场中的重力
(1)基本粒子:如电子、质子、α粒子、离子等,除有说明或有明确的暗示以外,此类粒子一般不考虑重力(但并不忽略质量)。
(2)带电微粒:如液滴、油滴、尘埃、小球等,除有说明或有明确的暗示以外,一般都不能忽略重力。
2.处理带电粒子在电场中加速问题的两种方法
【例1】　如图所示,P和Q为两平行金属板,板间有恒定的电压,在P板附近有一带电粒子(不计重力)由静止开始向Q板运动,下列说法正确的是(　B　)
A.粒子到达Q板时的速率与板间距离、加速电压两个因素有关
B.粒子到达Q板时的速率与两板间距离无关
C.两板间距离越大,加速时间越长,加速度越大
D.若电压、粒子的电荷量均变为原来的2倍,则到达Q板的速率变为原来的4倍
【解析】　设两板间电压为U,板间的距离为d,粒子的电荷量为q,粒子在板间运动的加速度大小为a。根据动能定理可得eU=mv2,解得粒子到达Q板时的速率v=,可知v与两板间距离无关,与加速电压U有关,A错误,B正确。根据牛顿第二定律可得=ma,则粒子的加速度大小为a=,而d=at2,粒子加速的时间为t=,故两极板间距离越大,粒子的加速度越小,加速时间越长,C错误。由于粒子到达Q板时的速率v=,电压、电荷量均变为原来的2倍,则速率变为原来的2倍,D错误。
【例2】　如图所示,平行板电容器两极板间的距离为d=10 cm,电势差为U=100 V。一质量为m、带正电、电荷量为q的α粒子,在静电力的作用下由静止开始从正极板A向负极板B运动。
(1)比较α粒子所受静电力和重力的大小,说明重力能否忽略不计(α粒子质量是质子质量的4倍,即mα=4×1.67×10-27 kg,电荷量是质子的2倍,重力加速度g取10 m/s2)。
(2)α粒子的加速度大小是多少 在电场中做何种运动
(3)计算α粒子到达负极板时的速度大小(尝试用不同的方法)。
【答案】　(1)见解析
(2)4.8×1010 m/s2　初速度为0的匀加速直线运动
(3)9.8×104 m/s
【解析】　(1)α粒子受静电力大小F= N=3.2×10-16 N,重力大小G=mg
=4×1.67×10-27×10 N=6.68×10-26 N,因重力远小于静电力,故可以忽略重力。
(2)α粒子的加速度大小为a=≈4.8×1010 m/s2,做初速度为0的匀加速直线运动。
(3)方法一　利用动能定理求解。
在α粒子的运动过程中,静电力对它做的功是W=qU,设α粒子到达负极板时的速率为v,则Ek=mv2,由动能定理可知qU=mv2,解得v=≈9.8×104 m/s。
方法二　利用牛顿运动定律结合运动学公式求解。
设α粒子到达负极板时所用时间为t,则d=at2,v=at,a=,联立解得v=≈9.8×104 m/s。
分析带电粒子加速运动问题的两点技巧
(1)对于匀强电场虽然用动力学观点和功能观点均可求解,但运用功能观点列式更简单,故应优先选用功能观点。
(2)若电场为非匀强电场,带电粒子做变加速直线运动,不能通过牛顿运动定律途径求解。注意W=qU对一切电场均适用,因此从能量的观点入手,由动能定理来求解。
要点二　带电粒子在电场中的偏转
1.受力特点:带电粒子进入电场后,忽略重力,粒子只受静电力,速度方向垂直于电场方向。运动情况类似于平抛运动。
2.运动性质
(1)沿初速度方向:速度为v0的匀速直线运动,穿越两极板的时间t=。(极板长度为l)
(2)垂直v0的方向:初速度为0的匀加速直线运动,加速度a=。(极板间距离为d)
(1)带电粒子在匀强电场中偏转时,加速度不变,粒子的运动是匀变速曲线运动。(　√　)
(2)带电粒子在匀强电场中偏转时,可用平抛运动的知识分析。 (　√　)
(3)带电粒子在匀强电场中偏转时,若已知进入电场和离开电场两点间的电势差以及带电粒子的初速度,可用动能定理求解末速度大小。(　√　)
(4)带电粒子在匀强电场中无论是直线加速还是偏转,均做匀变速运动。(　√　)
(5)带电粒子仅在静电力作用下运动,电势能和动能可能同时增加。(　×　)
1.基本规律
带电粒子在电场中的偏转,轨迹如图所示。
(1)沿初速度方向
(2)沿电场线方向
(3)离开电场时的偏转角的正切值tan θ=。
(4)离开电场时位移与初速度方向的夹角的正切值tan α=。
2.常用推论
(1)速度偏转角θ的正切值是位移方向与初速度方向夹角α的正切值的2倍,即tan θ=2tan α。
(2)粒子从偏转电场中射出时,其速度反向延长线与初速度方向交于沿初速度方向位移的中点。
(3)不同的带电粒子(电性相同,初速度为0),经同一电场加速后,再进入同一偏转电场,则它们的运动轨迹必定重合。
3.分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理,即qEy=ΔEk,其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。
【例3】如图所示,带电荷量之比为qA︰qB=1︰3的带电粒子A、B,先后以相同的速度从同一点水平射入平行板电容器中,不计重力,带电粒子偏转后打在同一极板上,水平飞行距离之比为xA︰xB=2︰1,则带电粒子的质量之比mA︰mB以及在电场中飞行的时间之比tA︰tB分别为(　D　)
A.1︰1,2︰3 B.2︰1,3︰2
C.1︰1,3︰4 D.4︰3,2︰1
【解析】　粒子在水平方向上做匀速直线运动,x=v0t,由于初速度相同,xA︰xB=2︰1,所以tA︰tB=2︰1,竖直方向上粒子做匀加速直线运动,y=at2,且yA=yB,故aA︰aB==1︰4。而ma=qE,m=,。综上所述,D正确。
【例4】　一束电子流经U1=5 000 V的加速电压加速后,在到两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场,如图所示,两极板间电压U2=400 V,两极板间距d=2.0 cm,板长L1=5.0 cm。
(1)求电子在两极板间穿过时的偏移量y。
(2)若平行板的右边缘与屏的距离L2=5 cm,求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y(O点位于平行板水平中线的延长线上)。
(3)若另一个质量为m的二价负离子(不计重力)经同一电压U1加速,再经同一偏转电场,射出偏转电场的偏移量y'和打在屏上的偏移量Y'各是多大
【答案】　(1)0.25 cm　(2)0.75 cm
(3)0.25 cm　0.75 cm
【解析】　(1)加速过程,由动能定理得eU1=①,进入偏转电场,电子在平行于极板的方向上做匀速运动,L1=v0t②,在垂直于极板的方向上做初速度为0的匀加速直线运动,加速度为a=③,偏移量y=at2④,由①②③④得y=,代入数据得y=0.25 cm。
(2)如图,由几何关系知:
,解得Y=,代入数据得Y=0.75 cm。
(3)因y=,Y=,与粒子的质量m和电荷量q无关。故二价负离子经同样装置后,y'=y=0.25 cm,Y'=Y=0.75 cm。
分析带电粒子在匀强电场中的偏转问题的方法
(1)条件分析:若不计重力,且带电粒子的初速度v0方向与电场方向垂直,则带电粒子将在电场中只受静电力作用做类平抛运动。
(2)运动分析:一般用分解的思想来处理,即将带电粒子的运动分解为沿静电力方向上的匀加速直线运动和垂直静电力方向上的匀速直线运动。
要点三　示波管的原理
1.构造:示波管是示波器的核心部件,外部是一个抽成真空的玻璃壳,内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由一对X偏转电极板和一对Y偏转电极板组成)和荧光屏组成,如图所示。
2.原理
(1)扫描电压:XX'偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。
(2)灯丝被电源加热后,出现热电子发射,发射出来的电子经加速电场加速后,以很大的速度进入偏转电场,如果在YY'偏转电极上加一个周期性的信号电压,在XX'偏转电极上加一个扫描电压,如果扫描电压与信号电压的周期相同,在荧光屏上就会出现按YY'偏转电压规律变化的可视图像。
(1)如果在偏转电极YY'和XX'上不加电压,电子束不偏转,打在荧光屏中心。(　√　)
(2)只在YY'上加恒定电压时,电子束不偏转。 (　×　)
(3)只在XX'上加恒定电压时,电子束沿YY'方向偏转。(　×　)
(4)示波管电子枪的作用是产生高速飞行的电子束,偏转电极的作用是使电子束偏转,打在荧光屏的不同位置。 (　√　)
【例5】　(多选)示波管是示波器的核心部件,它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成,如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑,那么示波管中的(　AC　)
A.极板X应带正电
B.极板X'应带正电
C.极板Y应带正电
D.极板Y'应带正电
【解析】　由题意可知,在XX'方向上向X方向偏转,X带正电,A正确,B错误;在YY'方向上向Y方向偏转,Y带正电,C正确,D错误。
1.一带电粒子在电场中只受静电力作用时,它不可能出现的运动状态是(　A　)
A.匀速直线运动 B.匀加速直线运动
C.匀变速曲线运动 D.匀速圆周运动
解析:只在静电力的作用下,说明粒子受到的合力的大小为静电力,不为0,不可能做匀速直线运动,故A不可能;当粒子在匀强电场中由静止释放后,粒子做匀加速直线运动,故B可能;当粒子垂直进入匀强电场后,粒子做类平抛运动,故C可能;正电荷周围的电子只在静电力作用下,可以做匀速圆周运动,故D可能。
2.如图所示,三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔,小孔分别位于O、M、P点。由O点静止释放的电子恰好能运动到P点。现将C板向右平移到P'点,则由O点静止释放的电子 (　A　)
A.运动到P点返回
B.运动到P和P'点之间返回
C.运动到P'点返回
D.穿过P'点
解析:分析题意可知,电子在A、B板间做加速运动,在B、C板间做减速运动,恰好运动到P点,将C板向右平移到P'点,则B、C板间距变大,根据平行板电容器电容的决定式可知,C=,电场强度E=,分析可知,B、C板间电场强度恒定不变,故电子仍然运动到P点返回,A正确。
3.如图所示,质子H)和α粒子He)以相同的初动能垂直射入偏转电场(不计粒子重力),则这两个粒子射出电场时的侧位移y之比为 (　B　)
A.4︰1 B.1︰2
C.2︰1 D.1︰4
解析:两粒子进入电场后,均做类平抛运动,根据牛顿第二定律有a=,粒子射出电场时的侧位移y=at2,电场中水平方向上有t=,联立可得y=,依题意两粒子的初动能相同,电场强度E和极板长度L相同,则y与q成正比,质子和α粒子电荷量之比为1︰2,则侧位移y之比为1︰2,故B正确。
4.如图甲为示波管的原理图。如果在电极YY'之间所加的电压按如图乙所示的规律变化,在电极XX'之间所加的电压按如图丙所示的规律变化,则在荧光屏上看到的图形是(　B　)
解析:由于电极XX'之间所加的是扫描电压,电极YY'之间所加的电压为信号电压,所以荧光屏上会看到B所示的图形。
课时作业11
(总分:70分)
1. (5分)在如图所示的匀强电场中,若一个点电荷从P点由静止释放(不计粒子重力),则下列说法正确的是 (　D　)
A.该点电荷可能做匀变速曲线运动
B.该点电荷一定向右运动
C.静电力对该点电荷可能不做功
D.该点电荷一定做匀加速直线运动
解析:点电荷受到水平方向上的静电力做匀加速直线运动,因为点电荷的电性未知,无法确定向哪个方向做匀加速直线运动,故A、B错误,D正确;点电荷在运动的过程中,静电力做正功,故C错误。
2.(5分)质量和电荷量不同的带电粒子,在电场中由静止开始经相同电压加速后 (　A　)
A.比荷大的粒子速度大,电荷量大的粒子动能大
B.比荷大的粒子动能大,电荷量大的粒子速度大
C.比荷大的粒子速度和动能都大
D.电荷量大的粒子速度和动能都大
解析:根据动能定理得qU=mv2,得v=,由此可知,在电场中由静止开始经相同电压加速后,比荷大的粒子速度v大,电荷量q大的粒子动能大,故A正确,B、C、D错误。
3.(5分)(多选)喷墨打印机的简化模型如图所示,重力可忽略的墨汁微滴,经带电室带负电后,以速度v垂直匀强电场飞入极板间,最终打在纸上。则微滴在极板间电场中(　AC　)
A.向正极板偏转
B.电势能逐渐增大
C.运动轨迹是抛物线
D.运动轨迹与电荷量无关
解析:由于微滴带负电,电场方向向下,因此微滴受到的静电力方向向上,微滴向正极板偏转,A正确;偏转过程中静电力做正功,根据静电力做功与电势能变化的关系,电势能减小,B错误;微滴在垂直于电场方向做匀速直线运动,位移x=vt,沿电场反方向做初速度为0的匀加速直线运动,位移y=,此为抛物线方程,C正确;从式中可以看出,运动轨迹与电荷量q有关,D错误。
4.(5分)(多选)示波管的内部结构如图甲所示。如果在偏转电极XX'、YY'之间都没有加电压,电子束将打在荧光屏中心。如果在偏转电极XX'之间和YY'之间加上图丙所示的几种电压,荧光屏上可能会出现图乙中(a)、(b)所示的两种波形。则(　AC　)
A.若XX'和YY'分别加电压(3)和(1),荧光屏上可以出现图乙中(a)所示波形
B.若XX'和YY'分别加电压(4)和(1),荧光屏上可以出现图乙中(a)所示波形
C.若XX'和YY'分别加电压(3)和(2),荧光屏上可以出现图乙中(b)所示波形
D.若XX'和YY'分别加电压(4)和(2),荧光屏上可以出现图乙中(b)所示波形
解析:若在XX'加恒定电压,电子会左右偏转,左右偏转的位移为x=,再根据电子经同一加速电场加速,则由动能定理有eU0=,联立得偏转位移x=。同理在YY'加恒定电压,电子上下偏转,偏转的位移为y=。所以若XX'加电压(3),则荧光屏上出现波形图与YY'所加的电压波形一致,A、C正确;若XX'加电压(4),则电子左右偏移在某一位置不变,上下偏移量与YY'加的电压成正比,故若YY'加电压(1),则荧光屏上出现波形图是一条平行于YY'轴的直线段,若YY'加电压(2),则荧光屏上出现的是一个点,且半个周期在XX'轴上方,半个周期在XX'轴下方,B、D错误。
5. (5分)如图所示,一价氢离子和二价氦离子的混合体,经同一加速电场由静止加速后,垂直射入同一偏转电场中,偏转后,打在同一荧光屏上,则它们(　B　)
A.同时到达屏上同一点
B.先后到达屏上同一点
C.同时到达屏上不同点
D.先后到达屏上不同点
解析:在加速电场中,有qU1=,在偏转电场中的偏转距离y=,故两离子运动轨迹相同,打在屏上同一点;一价氢离子和二价氦离子的比荷不同,经过加速电场后的末速度不同,因此两离子运动的时间不同,故B正确。
6.(10分)如图所示,有一电子(电荷量为e)经电压U0加速后,进入两块间距为d、电压为U的平行金属板间。若电子从两板正中间垂直电场方向射入,且正好能从金属板边缘穿出电场,求:
(1)金属板AB的长度;
(2)电子穿出电场时的动能。
答案:（1）d　（2）e
解析:（1）设电子飞离加速电场时的速度为v0,由动能定理得eU0=①,
设金属板AB的长度为L,电子偏转时间
t=②,
a=③,
y=at2④,
由①②③④得L=d。
（2）设电子穿出电场时的动能为Ek,
根据动能定理得
Ek=eU0+e。
7.(5分)(多选)如图所示,从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动,则下列对电子运动的描述中错误的是(设两个电源的电动势均为U) (　BC　)
A.电子到达B板时的动能是eU
B.电子从B板到达C板动能变化量为eU
C.电子到达D板时动能是3eU
D.电子在A板和D板之间做往复运动
解析:释放出一个无初速度电荷量为e的电子,在电压为U的电场中被加速,当出电场时,所获得的动能等于静电力做的功,即W=qU=eU,故A正确;由题图可知,B、C间没有电压,则没有电场,所以电子在此处做匀速直线运动,则电子的动能不变,故B错误;电子以eU的动能进入CD电场中,在静电力的阻碍下,电子做减速运动,由于C、D间的电压也为U,所以电子到达D板时速度减为0,所以电子从D板开始反向运动,故C错误;由上可知,电子将会在A板和D板之间加速、匀速再减速到速度为0,之后再反向加速、匀速再减速到速度为0,电子在A板和D板之间做往复运动,故D正确。
8.(5分)氢元素的两种同位素的原子核——氕核H)、氘核H)的质量之比为1︰2,电荷量之比为1︰1。如图所示,氕核、氘核由静止开始经同一加速电场加速后,又经同一匀强电场偏转,最后打在荧光屏上。下列说法正确的是(　D　)
A.两原子核飞出加速电场时的速度之比为1︰2
B.两原子核在偏转电场的偏转距离之比为1︰2
C.两原子核飞出偏转电场时的动能之比为1︰2
D.两原子核打在荧光屏上的偏移量之比为1︰1
解析:两原子核在加速电场中运动时,根据动能定理可得U1q=mv2,解得v=,因此,A错误;两原子核在偏转电场中做类平抛运动,有L=vt、y=t2,联立可得偏转距离y=,可知偏转距离与原子核的质量和电荷量无关,因此两原子核在偏转电场中的偏转距离之比为1︰1,B错误;原子核飞出偏转电场时,根据动能定理得U1q+mv'2,由于两原子核在偏转电场中的偏转距离相等,则两原子核飞出偏转电场时的动能之比为1︰1,C错误;设原子核离开偏转电场时的速度偏转角为θ,则tan θ=,可知两原子核离开偏转电场时速度偏转角相等,偏转距离也相等,因此运动路径完全重合,打在荧光屏上的偏移量之比为1︰1,D正确。
9.(12分)静电喷涂是使雾化了的带负电油漆微粒在静电场的作用下,定向喷向工件,并吸附在工件表面的一种技术,其可简化成如图所示的模型:竖直放置的A、B两块平行金属板间距为d,两板间所加电压为U,在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P,油漆喷枪的半球形喷嘴可向各个方向均匀地喷出带电油漆微粒。油漆微粒的质量为m、电荷量为q,喷出时的初速度大小均为v0,忽略空气阻力和带电微粒之间的相互作用力,微粒的重力忽略不计。求:
(1)油漆微粒到达B板的速度大小;
(2)初速度方向沿平行于金属板A喷出的油漆微粒运动至B板的时间;
(3)估算喷到B板的油漆区可能的最大面积。
答案:(1)　(2)d
(3)
解析:(1)设油漆微粒到达B板的速度大小为v,由动能定理得=qU,得v=。
(2)以初速度v0沿平行于金属板A方向喷出的油漆微粒做类平抛运动,微粒在垂直板方向做初速度为0的匀加速直线运动。
由d=at2,a=,F=Eq,E=,
联立解得t=。
(3)当油漆微粒初速度v0沿平行金属板方向时,油漆微粒射到B板的位置偏离P最远,
在平行于金属板方向上有r=v0t
油漆区的面积为S=πr2
联立解得S=。
10.(13分)一群速率不同的一价离子从A、B两平行极板正中央水平射入如图所示的偏转电场,离子的初动能为Ek,A、B两极板间电压为U,间距为d,C为竖直放置并与A、B间隙正对的金属挡板,屏MN足够大。若A、B极板长为L,C到极板右端的距离为L,C的长为d。不考虑离子所受重力,元电荷为e。
(1)写出离子射出A、B极板时的偏转距离y的表达式。
(2)初动能范围是多少的离子才能打到屏MN上
答案:(1)y=
(2)
解析:(1)设离子的质量为m,初速度为v0,则离子在偏转电场中的加速度a=,离子在偏转电场中运动的时间t=,射出电场时的偏转距离y=at2,所以y=,而Ek=,则y=。
(2)离子射出电场时的竖直分速度vy=at,射出电场时的速度偏转角的正切值tan φ=,故
tan φ=,离子射出电场后做匀速直线运动,要使离子打在屏MN上,需满足y<,且
Ltan φ+y>,所以。

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