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六年级数学（人教版）上册专题培优
分数乘除法与综合拓展
本讲义紧扣人教版六年级上册数学教材教学目标，衔接小升初思维拓展，涵盖概念深化、巧算速算、典型模型、综合探究四大板块。
第一板块：概念内涵与数感深化篇
专题 1：分数的“率”与“量”深度辨析
【核心考点精讲】
分数的双重属性：
具体数量（带单位）：表示具体的物理量大小，如 、。具体数量可以直接进行加减运算。
分率（不带单位）：表示部分与整体之间的倍比关系，如“用去 ”。分率必须乘以对应的单位“1”才能转化为具体量，严禁将分率直接与具体数量相加减。
单位“1”未定时的分类讨论：
比较“用去 ”与“用去 ”剩余长度时：
若原长 ，则 ，用去分率多，截去具体量剩下的短；
若原长 ，两者用去一样多，剩下一样长；
若原长 （且 ），则用去分率少，截去分率剩下的长。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（课本原型变式）一根电线长 ，第一次用去 ，第二次用去剩下的 。两次用去的电线相比，（　　）。
A. 第一次用去的多　　B. 第二次用去的多　　C. 两次用去的一样多　　D. 无法比较
【思路点拨】 第一次用去的 是具体数量；第二次用去的 是分率，其单位“1”是第一次用完后剩下的电线长度。
【规范解答】
第一次用去：；
第一次剩下：；
第二次用去：。
因为 ，所以第一次用去的多。答案选 A。
【典例 2】（小升初思维真题）有两根同样长的铁丝，第一根截去 ，第二根截去 。哪一根剩下的铁丝长？请分情况说明理由。
【思路点拨】 设铁丝原长为 。第一根剩下 ，第二根剩下 。两者的差为 。
【规范解答】
① 当铁丝原长大于 （）时，截去 大于 ，第二根剩下的长；
② 当铁丝原长等于 （）时，截去 等于 ，两根剩下的一样长；
③ 当铁丝原长小于 且大于 （）时，截去 小于 ，第一根剩下的长。
【全能实战·过关精练】
（填空题）一袋大米重 ，吃了 ，还剩（　　）千克；如果吃了 ，还剩（　　）千克。
2．（选择题）两根同样长 的绳子，甲剪去 ，乙剪去 ，剩下的绳子相比，（　　）。
A. 甲长　　　　B. 乙长　　　　C. 一样长　　　　D. 无法确定
3．（判断题）一条绳子长 ，截去它的 后，又接上 ，这根绳子现在的长度仍是 。（　　）
4．（解答题）一桶油净重 ，倒出 后，又倒进 ，现在桶里的油比原来多了还是少了？相差多少千克？
专题 2：单位“1”的动态捕捉与多基准量统一
【核心考点精讲】
单位“1”的定位口诀：找“是、占、比、相当于”，后面的量即为基准量单位“1”。
连续变化问题的本质：“先提价 ，再降价 ”，提价的单位“1”是原价，降价的单位“1”是提价后的现价。由于现价比原价高，降低的绝对金额大于提升的绝对金额，故现价低于原价。
多基准量统一法：寻找连接多个量的“公共中间量”，通过乘除法转换将所有量统一表示为某一个固定量的分率。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（经典连续变化）某品牌运动鞋原价 ，商场搞促销先提价 ，活动结束后又降价 。现在的售价是多少元？比原价多了还是少了？
【思路点拨】 先求提价后的价格（以原价为单位“1”），再以新价格为单位“1”求降价后的售价。
【规范解答】
提价后的价格：；
降价后的现价：；
比原价减少了：。
答：现在的售价是 ，比原价少了 。
【典例 2】（链条转换应用题）甲班人数是乙班人数的 ，乙班人数是丙班人数的 。已知甲班有 ，丙班有多少人？
【思路点拨】 乙班是联系甲、丙两班的桥梁。由甲班求乙班用除法，由乙班求丙班用除法；亦可将甲班直接转化为丙班的分率 。
【规范解答】
乙班人数：；
丙班人数：。
答：丙班有 。
【全能实战·过关精练】
5．（填空题）甲数是 ，乙数比甲数多 ，乙数是（　　）；丙数比甲数少 ，丙数是（　　）。
6．（选择题）一件商品先降价 ，要恢复原价，需要在此基础上提价（　　）。
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
7．（解答题）学校阅览室有科技书 ，故事书的本数是科技书的 ，文艺书的本数是故事书的 。学校阅览室有文艺书多少本？
8．（解答题）甲、乙、丙三个仓库，甲仓存粮是乙仓的 ，丙仓存粮是甲仓的 。已知乙仓比丙仓多存粮 ，三个仓库共存粮多少吨？
专题 3：倒数的内涵拓展与代数设数法
【核心考点精讲】
倒数的定义：乘积是 的两个数互为倒数。 没有倒数， 的倒数是 。
连等式大小比较（设“1”法）： 对于形如 （）：
先将除法转化为乘法：；
设乘积结果均为 ，则各字母等于相应乘数的倒数：乘数越小，该数本身越大。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（字母大小比较）已知 （ 均大于 ），将 按从大到小的顺序排列。
【思路点拨】 先将除法化乘法：。设等式的值为 ，求出各字母的值。
【规范解答】
原式即为：；
则 ，，，。
因为 ，所以 。
【典例 2】（倒数和与数论拆分）已知两个不相等的自然数 和 ，它们的倒数之和为 ，求这两个自然数的值。
【思路点拨】 。将分子 拆为 的因数和：。
【规范解答】
；
故自然数 和 分别为 和 （或 和 ）。
【全能实战·过关精练】
9．（填空题） 的倒数是（　　）；（　　）的倒数是 ；最小质数的倒数是（　　）。
10．（选择题）若 和 互为倒数，则 的计算结果是（　　）。
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
11．（填空题）若 （），则最大的数是（　　），最小的数是（　　）。
12．（解答题）一个分数的分子与分母之和为 ，约分后该分数的倒数是 ，求原分数是多少？
第二板块：四则运算与巧算速算篇
专题 4：乘法分配律的逆用与变式凑整
【核心考点精讲】
逆向提取公因数：。
除法转化为乘法后再提取：。
变因数制造公因数：利用积不变性质调整因数，如 。
拆数凑整法：遇到接近分母的整数时进行分解，如 。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（简便计算）计算：。
【思路点拨】 先将除法转化为乘法：；再将末尾 视为 ，逆用乘法分配律。
【规范解答】
原式 。
【典例 2】（拆数凑整计算）计算：。
【思路点拨】 将 拆分为 展开计算。
【规范解答】
原式 。
【全能实战·过关精练】
（计算题）简便计算：。
14．（计算题）简便计算：。
15．（计算题）简便计算：。
16．（计算题）简便计算：。
专题 5：分数裂项相消初步与数列规律
【核心考点精讲】
基础裂项公式：。
广义裂项公式：（其中 为分母两因数的公差）。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（经典连续裂项）计算：。
【思路点拨】 直接利用 拆开，中间项全部正负抵消。
【规范解答】
原式 。
【典例 2】（等差裂项）计算：。
【思路点拨】 分母两因数相差 ，先在括号外提取 再裂项相消。
【规范解答】
原式 。
【全能实战·过关精练】
（填空题）计算 的结果是（　　）。
18．（计算题）计算：。
19．（计算题）计算：。
20．（计算题）计算：。
专题 6：分数大小比较、估算与放缩初步
【核心考点精讲】
补数比较法（与 1 作差）：当真分数接近 时，与 的差越小，原分数越接近 ，因而越大。
倒数比较法：对于较为复杂的假分数，倒数越小，原分数越大。
糖水不等式规律：若 为真分数（，），则 （加糖后浓度增大）。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（补数法比大小）比较 与 的大小。
【思路点拨】 分别计算两数与 的差。差越小，说明与 越接近，数值越大。
【规范解答】
；。
因为 ，所以 。
【典例 2】（放缩法估算）求算式 的整数部分。
【思路点拨】 共有 个分数相加。每项均满足 。
【规范解答】
放缩上界：；
放缩下界：；
故 ，其整数部分为 。
【全能实战·过关精练】
（填空题）在横线上填“”或“”： ______ ； ______ 。
22．（选择题）在分数 、、、 中，最大的一个是（　　）。
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
23．（排序题）把 、、 按从大到小的顺序排列：________________________。
24．（解答题）一个真分数的分子和分母同时加上一个大于 的自然数 ，所得新分数比原分数变大了还是变小了？请结合生活实例（或数学计算）说理。
第三板块：经典应用模型篇
专题 7：“量率对应”基本模型与变式应用
【核心考点精讲】
核心计算公式：。
解题法宝：通过画线段图，严格找出已知具体数量所对应的分率（如差量对应分率差，和量对应分率和）。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（差量与差分率对应）修路队修一条公路，第一周修了全长的 ，第二周修了全长的 ，第二周比第一周多修了 。这条公路全长多少米？
【思路点拨】 单位“1”是全长。具体差量 对应的分率差为 。
【规范解答】
。
答：这条公路全长 。
【全能实战·过关精练】
（解答题）某工厂十月份上半月生产化肥 ，下半月完成全月计划的 ，全月刚好超产 。十月份计划生产化肥多少吨？
26．（解答题）一筐苹果卖出 后，又卖出 ，这时剩下的苹果正好是原来总重量的一半。这筐苹果原来重多少千克？
27．（解答题）甲、乙两人去书店买书，甲带的钱是乙的 。若甲给乙 后，甲的钱占乙的 。甲、乙原来各带了多少元？
28．（解答题）学校买来足球和篮球共 ，其中足球占总数的 。后来又买进若干个足球，这时足球占总数的 。学校又买进足球多少个？
专题 8：“不变量”抓手与单位“1”转化模型
【核心考点精讲】
部分量不变：加水（糖不变）、买入新书（原有的另一类书不变） 以不变量为统一单位“1”。
总量不变：内部调配、互借互移 以总和为统一单位“1”。
差量不变：同增同减、年龄问题 以固定差量为统一单位“1”。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（部分量不变模型）图书角原有科技书和文艺书若干本，其中科技书占总数的 。后来又买来 文艺书，这时科技书占总数的 。图书角原有科技书多少本？
【思路点拨】 买来的是文艺书，科技书本数始终不变！以“科技书本数”为单位“1”。
原来：总数是科技书的 倍，文艺书是科技书的 倍；
后来：总数是科技书的 倍，文艺书是科技书的 倍；
文艺书增加的 对应科技书的 倍。
【规范解答】
原来文艺书占科技书的：；
后来文艺书占科技书的：；
科技书本数：。
答：图书角原有科技书 。
【全能实战·过关精练】
（解答题）六年级一班原来女生人数占全班的 ，本学期又转来 女生，这时女生占全班人数的 。六年级一班原来有多少人？
30．（解答题）甲、乙两桶油共重 。从甲桶倒出 到乙桶后，两桶油重量相等。甲、乙两桶原来各重多少千克？
31．（解答题）小华今年 ，妈妈今年 。多少年后小华的年龄是妈妈的 ？
32．（解答题）一堆煤，第一天运走 ，第二天运走余下的 ，第三天运走 ，正好全部运完。这堆煤原有多少吨？
专题 9：工程问题经典模型与变式探究
【核心考点精讲】
三大核心公式：
；
；
。
交替轮流模型：先算一个周期（如甲 1 天 + 乙 1 天）的工作量，再求出整周期数与剩余工作量。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（合作与单独完成）一项工程，甲队单独做需 完成，乙队单独做需 完成。两队合做 后，剩下的工程由乙队单独完成。乙队还需要做几天？
【思路点拨】 甲工效为 ，乙工效为 。先求合做 完成的工作量，再用剩余量除以乙工效。
【规范解答】
两队合做 完成：；
剩余工作量：；
乙队还需天数：。
答：乙队还需要 （即 ）。
【全能实战·过关精练】
（解答题）修一条水渠，甲队独修 完成，乙队独修 完成。两队合修几天后还剩全长的 ？
34．（解答题）一个水池装有甲、乙两根进水管和一根排水管丙。单开甲管 注满，单开乙管 注满，单开丙管 排空。三管齐开，多少小时可将空水池注满？
35．（解答题）甲、乙两人合作加工一批零件需 完成。若甲先单独做 后，乙接着做 ，正好完成任务。甲单独做需要几天？
36．（解答题）一件工作，甲独做需 ，乙独做需 。按“甲做 1 小时，乙做 1 小时，甲做 1 小时，乙做 1 小时……”的顺序轮流做，完成全部工作共需多少小时？
专题 10：倒推法与还原问题（线段图建模）
【核心考点精讲】
逆推还原原则：从最后状态往回逆推，原过程“用去几分之几多几个”逆推时为“加上几个后再除以对应分率”。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（分层逆推）一筐鲜鱼，第一天卖出总数的 多 ，第二天卖出剩下的 少 ，这时筐里还剩下 。这筐鲜鱼原来有多少条？
【思路点拨】
第二步逆推：第二天卖出剩下的一半少 条后剩 条，则第一天剩下量的 对应 ，第一天剩下 ；
第一步逆推：第一天卖出总量的 多 条后剩 条，则原总量的 对应 。
【规范解答】
第一天卖后剩下：；
鲜鱼总数：。
答：这筐鲜鱼原来有 。
【全能实战·过关精练】
（解答题）一根铁丝，第一次截去全长的 多 ，第二次截去余下的 少 ，还剩 。这根铁丝原来长多少米？
38．（解答题）粮库有一批大米，第一天运走总数的 ，第二天运走余下的 还多 ，最后剩下 。这批大米一共有多少吨？
39．（解答题）妈妈买回一袋糖果，哥哥分得总数的 ，弟弟分得余下的 ，爸爸分得再余下的 ，最后妈妈留下 。这袋糖果共有多少块？
40．（解答题）小红存钱罐里的钱，第一次拿出 多 捐款，第二次拿出剩下的 少 买书，这时罐里还剩 。存钱罐里原来有多少元？
第四板块：综合探究与跨领域拓展篇
专题 11：分数的几何直观与面积比例分割
【核心考点精讲】
等高模型：等高的三角形，面积之比等于底边长度之比。
割补法与排除法：将不规则阴影图形看作整体图形减去若干个易求规则图形的分率之和。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（割补面积分率）正方形 的面积为 ， 是 边的中点， 是 边上靠近 的三等分点（）。求三角形 的面积占正方形面积的几分之几？三角形 的面积是多少？
【思路点拨】 设正方形面积为 。
；
；
；
阴影 。
【规范解答】
占总面积的分率：；
三角形 的面积：。
答：面积占正方形面积的 ，面积是 。
【全能实战·过关精练】
（填空题）一个长方形的长增加 ，宽减少 ，现在的面积是原长方形面积的（　　）（填分数）。
42．（解答题）长方形 的长是 ，宽是 。 是 边的中点， 是 边靠近 的四等分点（）。求三角形 的面积。
43．（选择题）把一个圆的半径增加 ，它的周长增加（　　），面积增加（　　）。
A. ；　　　　B. ；　　　　C. ；　　　　D. ；
44．（解答题）三角形 的面积是 ， 是 边的中点， 是 边靠近 的三等分点（）。求三角形 的面积。
专题 12：古代数学中的分数（埃及分数与拆分规律）
【核心考点精讲】
埃及分数定义：分子为 的分数称为单位分数。
常用拆分恒等式：
；
放大法：分子分母同乘某数，将分子拆成新分母因数之和。
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（单位分数拆分）把分数 表示为两个不同的单位分数之和：。
【思路点拨】 分子分母同乘 得 。因为 ，所以 。
【规范解答】
。括号内分别填 和 。
【全能实战·过关精练】
（填空题）利用拆分规律，将 拆分成两个不同的单位分数之和：。
46．（填空题）把真分数 拆分成两个不同的单位分数之和：。
47．（填空题）把真分数 拆分成三个不同的单位分数之和：。
48．（解答题）已知 （ 均为自然数且 ），求满足条件的自然数对 共有几组？请全部写出。
参考答案与详解
【答案】；（或 ）【解析】吃了 ，还剩 ；吃了 ，还剩 。
【答案】B【解析】甲剪去 ，剩 ；乙剪去 ，剩 。，乙剩下的长。
【答案】×【解析】截去 剩下 ；接上 后变为 。
【答案】少了；相差 【解析】倒出 为 ，剩下 ；又倒进 ，现在重 。。
【答案】；【解析】乙数：；丙数：。
【答案】B【解析】设原价为 ，降价后为 。要恢复原价需提价：。
【答案】【解析】故事书：；文艺书：。
【答案】【解析】设乙仓为 ，则甲仓为 ，丙仓为 。乙比丙多 对应 ，乙仓存粮 。三仓总存粮：。
【答案】；；【解析】，倒数为 ；最小质数是 ，倒数是 。
【答案】A【解析】原式 。因为 ，所以结果为 。
【答案】；
【解析】设各算式等于 ，则 ，，，。最大的是 ，最小的是 。
【答案】【解析】倒数是 说明约分后为 。分子占 份，分母占 份，每份为 。原分数为 。
【答案】【解析】原式 。
【答案】【解析】。
【答案】（或 ）【解析】原式 。
【答案】【解析】原式 。
【答案】【解析】原式 。
【答案】【解析】原式 。
【答案】【解析】原式 。
【答案】【解析】分母为 。原式 。
【答案】；【解析】，故 ；。
【答案】D【解析】与 的差分别为 ，差最小的是 ，故 最大。
【答案】【解析】倒数分别为 、、。倒数越小原数越大。
【答案】变大了【解析】例如 加 变为 ，。因为 ，与 的差变小，故原分数变大。
【答案】【解析】上半月生产的 对应全月计划的 ，全月计划为 。
【答案】【解析】 对应的分率为 。原重 。
【答案】甲原来带 ，乙原来带 【解析】总钱数不变，设总钱数为 。原来甲占 ，后来甲占 。具体差额 对应分率差 。总钱数为 。
【答案】【解析】篮球数量不变，篮球有 。后来篮球占 ，后来总数为 。买进足球 。
【答案】【解析】男生人数不变。原来男生占 ，女生是男生的 ；后来女生占 ，女生是男生的 倍。 对应男生的 ，男生有 ，原来全班有 。
【答案】甲桶 ，乙桶 【解析】甲倒出 后剩下 与乙相等。
【答案】【解析】年龄差不变，差为 。当小华是妈妈的 时，差 对应妈妈的 ，妈妈为 ，。
【答案】【解析】第二天运走全量的 。第三天运走的 对应分率 。原总量为 。
【答案】【解析】效率和为 。完成工作量 。时间为 。
【答案】【解析】净效率为 。注满时间为 。
【答案】【解析】甲做 4 天 + 乙做 8 天 = 甲乙合作 4 天 + 乙做 4 天。合作 4 天完成 ，乙 4 天做 ，乙工效为 。甲工效为 ，甲单独做需 。
【答案】【解析】一个周期（2小时）完成 。7 个周期（14小时）完成 ，还剩 由甲做，需 ，共需 。
【答案】【解析】第二次截前：；原长：。
【答案】【解析】第一天运后剩下：；总量：。
【答案】【解析】爸爸分前：；弟弟分前：；总数：。
【答案】【解析】第一次拿出后剩：；原来存款：。
【答案】【解析】。
【答案】【解析】长方形面积为 。，，。。
【答案】B【解析】半径变为 ，周长增加 ，面积变为 ，增加了 。
【答案】【解析】；。
【答案】；【解析】。
【答案】；【解析】。
【答案】；；…（或 ；；…）【解析】 等。
【答案】共有4 组解：、、、。【解析】由 得 。 的自然数分解有 ，6=6不符合题意，因此一共是 组解。

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