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小学数学（人教版）五年级上册专题培优
小数乘除法与综合拓展
本专题紧扣人教版五年级上册小数乘法、小数除法的教学要求与考查重点，涵盖“算理本质与规律”、“巧算速算与数感”、“循环小数与探究”、“实际建模与应用”四大板块，共 12 个专题.
第一板块：算理本质与运算规律
专题 1：小数点的“移位”魔法与积商变化规律
【核心考点精讲】
积的变化规律：
两个因数同时扩大或缩小，积的变化是两个因数变化倍数的乘积.
若一个因数乘 ，另一个因数乘 ，则积乘 （小数点向右移动三位）；若一个因数乘 ，另一个因数除以 ，则积不变.
商的变化规律：
被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（ 除外），商不变，但余数会随之发生相同的倍数变化.
被除数乘 ，除数乘 ，新商为原来的商乘 .
小数乘除法转化本质：
小数乘法 转化为整数乘法算积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点.
小数除法 利用商不变的性质，将除数转化为整数再进行计算.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（积商变化应用）已知 ，请直接写出下列各题的得数：
(1) （　　）　(2) （　　）　(3) （　　）　(4) （　　）
【思路点拨】 利用因数中小数位数与积的小数位数的关系，以及被除数、除数与商的小数点移动规律求解.
【规范解答】
(1) 因数一共有两位小数，积为 ；
(2) 缩小到原来的 ， 扩大到原来的 倍，积缩小到原来的 ，为 ；
(3) ；
(4) 被除数缩小到原来的 ，除数不变，商缩小到原来的 ，为 .
【典例 2】（易错考题·带余除法中的小数点）计算 时，商是 ，余数是（　　）.
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
【思路点拨】 根据“被除数 除数 商 余数”，余数 被除数 除数 商.在坚式中，除数和被除数同时扩大 倍变成 ，坚式底部的 在原来被除数的十分位上，表示 个 即 .
【规范解答】 .答案选 B.
【全能实战·过关精练】
（填空题）如果 ，当 扩大到原来的 倍， 缩小到原来的 时，积是（　　）；如果 ，当 扩大到原来的 倍， 缩小到原来的 时，商是（　　）.
2．（选择题）在计算 时，商是 ，余数是（　　）.
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
3．（判断题）两个小数相乘，积一定小于其中任何一个因数.（　　）
4．（解答题）已知甲、乙两数的和是 ，把甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数.甲数和乙数各是多少？
专题 2：积与因数、商与被除数的大小关系判定
【核心考点精讲】
积与因数的大小比较规律（因数 ）：
当另一个因数 时，；
当另一个因数 时，；
当另一个因数 （且 ）时，.
商与被除数的大小比较规律（被除数 ）：
当除数 时，；
当除数 时，；
当除数 （且 ）时，.
字母比较大小题型法宝：
若 （），运用“设参数法（设结果为 1）”快速得出各字母的大小关系.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（不等关系比较）在 里填上“”“”或“”：
　　　　　　
【思路点拨】 乘小于 的数积变小；除以小于 的数商变大；乘大于 的数大于原数，而除以大于 的数小于原数.
【规范解答】
；；.
【典例 2】（字母代数设数法）已知 （ 均大于 ），将 按从小到大的顺序排列.
【思路点拨】 设算式的值均为 .
；；；.
【规范解答】
因为 ，所以 .
【全能实战·过关精练】
5．（填空题）不计算，在横线上填“”“”或“”：
______ ； ______ ； ______ .
6．（选择题）如果 （ 均大于 ），那么 和 相比，（　　）.
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 无法比较
7．（填空题）一个大于 的数除以 ，相当于把这个数（　　）到原来的（　　）倍；一个大于 的数乘 ，相当于把这个数除以（　　）.
8．（解答题）已知 均不为 ，且 .请将 按从大到小的顺序排列并写出说理过程.
专题 3：近似数的艺术与“进一法”“去尾法”深度应用
【核心考点精讲】
常规近似数求法（四舍五入法）：
精确到十分位（保留一位小数）看百分位；精确到百分位（保留两位小数）看千分位.
易错点：近似数末尾的“”不能去掉，因为末尾的 表示精确度（例如 比 更精确）.
实际情境中的取近似值法则：
“进一法”：装油用油桶、载客用汽车、装货用箱子、搭帐篷等场景，即使剩余一点点，也必须多准备一个容器/载体.
“去尾法”：做衣服用布料、扎花束用丝带、包装礼盒等场景，不够做一件完整成品的余料必须舍弃.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（最大与最小取值范围）一个三位小数，四舍五入保留两位小数后的近似数是 ，这个三位小数最大是（　　），最小是（　　）.
【思路点拨】
“四舍”得到的最大值：千分位最大是 ，即 ；
“五入”得到的最小值：百分位是 ，千分位最小是 ，即 .
【规范解答】 最大是 ，最小是 .
【典例 2】（进一法与去尾法对比）
(1) 每个油桶最多装油 ，要把 油装进油桶，至少需要多少个这样的油桶？
(2) 做一套童装需要布料 ， 布料最多可以做多少套这样的童装？
【思路点拨】 装油需全部装完用“进一法”；做童装不够做一套不能算用“去尾法”.
【规范解答】
(1) ，采用进一法：.答：至少需要 个油桶.
(2) ，采用去尾法：只能做 .答：最多可以做 套童装.
【全能实战·过关精练】
（填空题）一个两位小数保留一位小数是 ，这个两位小数最大是（　　），最小是（　　）.
10．（选择题）妈妈要买 苹果，每千克 .妈妈拿出 ，应找回（　　）元.
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
11．（解答题）果农们要将 葡萄装进纸箱运走，每个纸箱最多可以装 葡萄.装完这些葡萄至少需要多少个纸箱？
12．（解答题）一条彩带长 ，包装一个礼盒需要 彩带.这条彩带最多可以包装多少个礼盒？
第二板块：巧算速算与数感提升篇
专题 4：乘法分配律在小数中的逆用与变式凑整
【核心考点精讲】
逆向提取公因数基本型：.
符号与除法变式：
；
（切勿漏掉 ）；
.
变因数制造公因数：
如 .
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（变因数提取公因数）简便计算：.
【思路点拨】 观察发现 .两项都含有公因数 .
【规范解答】
原式 .
【典例 2】（乘除转化与多项提取）简便计算：.
【思路点拨】 把末尾的 写成 ，然后提取公因数 .
【规范解答】
原式 .
【全能实战·过关精练】
（计算题）简便计算：.
14．（计算题）简便计算：.
15．（计算题）简便计算：.
16．（计算题）简便计算：.
专题 5：特殊基准数巧算与乘法拆数变形
【核心考点精讲】
黄金计算搭档（相乘凑整）：
；；；.
拆数凑整策略：
接近整十、整百数的因数：；；.
合数因数拆分法：如 .
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（拆数凑整）简便计算：.
【思路点拨】 将 拆成 ，利用乘法分配律计算.
【规范解答】
原式 .
【典例 2】（双组合搭档拆分）简便计算：.
【思路点拨】 将 拆成 ；让 与 相乘， 与 相乘.
【规范解答】
原式 .
【全能实战·过关精练】
（计算题）简便计算：.
（计算题）简便计算：.
19．（计算题）简便计算：.
20．（计算题）简便计算：.
专题 6：错中求解与还原逆算探究
【核心考点精讲】
看错小数点的解题抓手：
若把一个因数的小数点看漏或点错，明确该因数被扩大或缩小了多少倍，从而找出“倍数差”与“具体差值”的对应关系.
多加/漏减题型逆推法则：
错误的结果 结合错看数字的差值，通过乘除加减的逆运算还原真实数据.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（乘法错看小数点）小明在计算一个数乘 时，把 误看成了 进行计算，得到的结果比正确的结果多出了 .正确的结果应该是多少？
【思路点拨】 把 看作 ，相当于将因数扩大了 倍，得到的积是正确积的 倍，比正确积多了 倍.多出的 对应正确积的 倍.
【规范解答】
正确的结果：.
答：正确的结果应该是 .
【典例 2】（加法错看小数点）小华在计算 加上一个一位小数时，误把一位小数的小数点漏掉了（即当成了整数），算出的结果是 .正确的和应该是多少？
【思路点拨】 一位小数漏掉小数点后，扩大到了原来的 倍.误加的整数为 .原来的这一位小数即为 .
【规范解答】
误加的整数：；
原来的小数：；
正确的和：.
答：正确的和应该是 .
【全能实战·过关精练】
（解答题）小玲在计算一个数除以 时，误把除号看成了乘号，结果算出的得数是 .这道除法算式正确的得数应该是多少？
22．（解答题）小明在计算 时，错算成了 ，算出的结果比正确结果少了 .已知 和 都是小数，求 的值.
23．（解答题）小刚在计算一道小数减法题时，把被减数十分位上的“”看成了“”，把减数百分位上的“”看成了“”.算出的错误差是 ，正确的差应该是多少？
24．（解答题）两个数的积是 ，如果其中一个因数扩大到原来的 倍，另一个因数缩小到原来的 ，此时的积是多少？
第三板块：循环小数与数论探究篇
专题 7：循环小数的特征、周期性与第 位数字探究
【核心考点精讲】
循环小数的相关概念：
从小数部分某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数.
循环节：重复出现的数字序列.循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数（如 ）；不是第一位开始的叫混循环小数（如 ）.
周期性求第 位数字解题步骤：
确定不参与循环的位数 和循环节长度 .
计算循环部分的位数：.
余数 是几，就对应循环节中的第 个数字；余数为 则对应循环节的最后一个数字.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（求小数第 位数字）将分数 化成小数后，小数点后第 位上的数字是几？这 位数字的总和是多少？
【思路点拨】 ，循环节是 ，循环节长度为 .
【规范解答】
，循环节为 ，周期为 .
.
第 个数字是 ，故第 位上的数字是 7.
每个周期的数字和：.
前 位数字总和：.
答：第 位上的数字是 ，前 位数字的总和是 .
【全能实战·过关精练】
（填空题） 的商用简便记法表示是（　　），它的循环节是（　　），小数点后第 位上的数字是（　　）.
26．（选择题）在小数 、、、 中，最大的一个是（　　）.
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
27．（填空题）把 化成小数，小数点后面第 位上的数字是（　　）.
28．（解答题）已知小数 是由自然数顺次排列组成的，求这个小数小数点后第 位上的数字是多少？
专题 8：循环小数与分数的互化规律及大小比较
【核心考点精讲】
纯循环小数化分数公式：
分子是循环节数字，分母由若干个 组成（ 的个数等于循环节的位数）.
例如：；；.
混循环小数化分数公式：
分子是“非循环部分与第一个循环节组成的数”减去“非循环部分的数”；分母由若干个 （个数等于循环节位数）和若干个 （个数等于不循环位数）组成.
例如：；.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（循环小数化分数探究）请将纯循环小数 和混循环小数 分别化为最简分数.
【思路点拨】 设数法：令 ，则 ，相减得 ，.
【规范解答】
；
.
【全能实战·过关精练】
29．（填空题）将循环小数 化为最简分数是（　　）；将 化为最简分数是（　　）.
30．（计算题）计算：.（提示：化为分数后计算）
31．（排序题）把 、、、 按从小到大的顺序排列：________________________.
32．（解答题）已知 ，，求 的值（结果用最简分数表示）.
第四板块：解决问题与实际建模篇
专题 9：分段计费模型深度探究
【核心考点精讲】
分段计费核心要素：
起步价与起步里程：在基础里程内收取固定费用.
超出单价与超出里程：超过基础里程部分按单位里程计价.
不足整计费单位时的进位处理：通常采用“不足 按 计算（进一法）”.
解题模型：.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（出租车分段计费）某市出租车收费标准如下： 以内（含 ）收费 ；超过 的部分，每千米收费 （不足 按 计算）.
(1) 李叔叔乘出租车行驶了 ，他应付车费多少元？
(2) 王阿姨乘出租车付了 ，她乘车的最远里程是多少千米？
【思路点拨】
(1) 超出 部分为 ，不足 按 算，应计 .
(2) 先扣除起步价 ，再求超出里程：，加上起步里程.
【规范解答】
(1) 超出部分：，按 计费.
总费用：.答：他应付车费 .
(2) 超出里程：.
最远里程：.答：她乘车的最远里程是 .
【全能实战·过关精练】
（阶梯水费）某市阶梯水费标准：每月每户用水量在 以内（含 ），按 收费；超过 的部分，按 收费.小明家五月份用水 ，应缴水费多少元？
34．（阶梯电费逆推）某地居民用电收费标准：每月用电不超过 时，每度电 ；超过 的部分，每度电 .李奶奶家上个月共缴电费 ，李奶奶家上月用电多少度？
35．（停车分段计费）某停车场收费标准如下：停车 以内免费；超过 不超过 收费 ；超过 的部分，每半小时收费 （不足半小时按半小时计算）.一辆车停了 ，应付停车费多少元？
36．（跨区间解答题）某快递公司寄包裹收费标准：省内寄件，首重 以内收费 ；续重每增加 收费 （不足 按 算）.张老师寄一份重 的教具包裹，应付运费多少元？
专题 10：方案优化与最省钱决策
【核心考点精讲】
买赠与打折对比策略：
“买四送一” 相当于买 件只需付 件的钱，单价相当于原价的 .
比较单价或总价时，将不同优惠方案统一置于同等采购数量下进行测算.
多规格包装选购策略：
优先多买“性价比高（即单位单价更低）”的大规格包装，剩余部分用小规格包装补足.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（两店优惠方案比选）某品牌饮料标价每箱 .甲、乙两家超市搞促销活动，甲超市“买五送一”，乙超市“每箱打八折（即按原价乘 ）”.学校要买 这种饮料，去哪家超市购买更合算？
【思路点拨】 分别计算两家超市购买 所需的总费用.
【规范解答】
甲超市：买五送一，每买 箱可得 箱.，只需购买 .
甲超市费用：.
乙超市：每箱按 计算.
乙超市费用：.
因为 ，所以去乙超市更合算.
答：去乙超市购买更合算.
【全能实战·过关精练】
（解答题）五年级师生 准备租车去秋游.大客车限乘 ，每天每辆租金 ；小客车限乘 ，每天每辆租金 .怎样租车最省钱？最少需要租金多少元？
38．（解答题）某果汁原价每瓶 .A 超市买 瓶送 瓶；B 超市每瓶降价 ；C 超市满 减 .买 瓶果汁去哪家超市最省钱？
39．（解答题）甲、乙两个文具店出售同款单价 的笔记本.甲店买 本送 本；乙店全场九折.买 本笔记本去哪家店更合算？
40．（解答题）某旅行社推出“家庭套票”与“散客票”两种收费方案.散客成人票 ，儿童票 ；团体票（满 5 人及以上）每人 .现有 4 位大人和 2 位儿童一起去旅游，怎样购票最划算？
专题 11：双向行程与相遇追及在小数中的应用
【核心考点精讲】
基本相遇模型：；.
基本追及模型：；.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（相向相遇问题）甲、乙两辆汽车同时从相距 的 A、B 两地相对开出，经过 两车相遇.已知甲车每小时行 ，乙车每小时行多少千米？
【思路点拨】 先求出速度和：，再减去甲车的速度.
【规范解答】
两车速度和：；
乙车速度：.
答：乙车每小时行 .
【全能实战·过关精练】
（解答题）两列火车从相距 的两城同时相对开出.客车每小时行 ，货车每小时行 .两车开出几小时后还相距 ？
42．（解答题）甲、乙两名骑手在一条长 的环形跑道上从同一起点同向骑行.甲骑手每分钟行 ，乙骑手每分钟行 .出发后几分钟甲骑手第一次追上乙骑手？
43．（解答题）A、B 两地相距 .小张骑自行车每小时行 ，小李骑电瓶车每小时行 .两人分别从 A、B 两地同时同向而行（小李在前面），小张开汽车从 A 地以 追赶，几小时可以追上小李？
44．（解答题）甲、乙两队合挖一条长 的隧道，各从一端开工.甲队每天挖 ，乙队每天挖 .挖通这条隧道一共需要多少天？
专题 12：小数几何直观与铺地砖/割补问题
【核心考点精讲】
铺地砖块数计算策略：
理论块数 房间总面积 单块地砖面积.
实际施工（整块切割）（长边可铺块数 宽边可铺块数），不足整块按进一法.
面积单位进率与小数转换：
.
【精选典例·名师精析】
【典例 1】（铺地砖实际应用）一个长方形会议室长 ，宽 .如果用边长为 的正方形地砖铺地面，至少需要多少块这样的地砖？
【思路点拨】 长边可铺 ；宽边可铺 .或者计算总面积除以单块面积.
【规范解答】
会议室面积：；
单块地砖面积：；
地砖块数：.
答：至少需要 块地砖.
【全能实战·过关精练】
45．（填空题）一个长方形的宽是 ，长是宽的 倍，这个长方形的面积是（　　）平方分米.
46．（解答题）一块长方形草坪的面积是 ，长是 .如果将宽扩大到原来的 倍，长保持不变，扩建后草坪的面积是多少？
47．（解答题）有一面长方形的墙，长 ，高 .墙上有一扇长 、宽 的窗户.现在要粉刷这面墙，每平方米需要涂料 ，粉刷这面墙一共需要多少千克涂料？
48．（解答题）一个梯形茶园上底是 ，下底是 ，高是 .如果平均每棵茶树占地 ，这个茶园一共可以种多少棵茶树？
参考答案与详解
【答案】；【解析】；.
【答案】C【解析】.
【答案】×【解析】例如 ，不满足题意.
【答案】甲数是 ，乙数是 .【解析】乙数是甲数的 倍，甲数 ，乙数 .
【答案】；；【解析】；；.
【答案】A【解析】设等式为 ，，，.
【答案】扩大；；【解析】；.
【答案】【解析】设等式为 ，，，，故 .
【答案】；【解析】四舍最大 ，五入最小 .
【答案】B【解析】.
【答案】 个【解析】 个.
【答案】 个【解析】 个.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】原数 ，正确得数 .
【答案】【解析】.
【答案】【解析】被减数少了 ，减数少了 ，正确差 .
【答案】【解析】.
【答案】；；【解析】 个周期整，第 位是循环节最后一个数字 .
【答案】B【解析】展开比较千分位与万分位， 最大.
【答案】【解析】，不循环 位，循环节 位.，第 位是 .
【答案】【解析】第 位占 位，后面每个两位数占 位.，对应两位数 的十位数字 （或精准数位）.
【答案】；【解析】；.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】，，.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】前 度电费 元，超出部分 度，总用电 度.
【答案】【解析】超出 小时部分为 ，按 个半小时算，费用 .
【答案】【解析】续重 按 算，.
【答案】租 辆大客车和 辆小客车最省钱，最少需要 .【解析】大客车人均 元，小客车人均 元.，租金 元.
【答案】去 A 超市最省钱【解析】A 超市需付 元；B 超市 元；C 超市 元.
【答案】甲店更合算【解析】甲店只需付 本钱： 元；乙店： 元.
【答案】买 1 张团体票（5人）加 1 张儿童散客票（或家庭组合），总费用 485 元.【解析】分开买： 元；全买团体票： 元；4 大 1 小买团体 + 1 小散客： 元最划算.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】.
【答案】（若相向或追及依题意计算）【解析】 小时.
【答案】【解析】.
【答案】【解析】长为 ，面积 .
【答案】【解析】面积直接扩大 倍：.
【答案】【解析】粉刷面积 .涂料 .
【答案】【解析】梯形面积 .茶树棵数 .

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